2020版高考数学一轮复习 第九章 平面解析几何 第2讲 两直线的位置关系教案 理（含解析）新人教A

1第2讲两直线的位置关系基础知识整合1．两条直线的位置关系(1)两条直线平行与垂直①两条直线平行(ⅰ)对于两条不重合的直线l1，l2，若其斜率分别为k1，k2，则有l1∥l2⇔□01k1＝k2.(ⅱ)当直线l1，l2不重合且斜率都不存在时，l1∥l2.②两条直线垂直(ⅰ)如果两条直线l1，l2的斜率存在，设为k1，k2，则有l1⊥l2⇔□02k1k2＝－1.(ⅱ)当其中一条直线的斜率不存在，而另一条的斜率为0时，l1⊥l2.(2)两条直线的交点直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0，则l1与l2的交点坐标就是方程组□03A1x＋B1y＋C1＝0，A2x＋B2y＋C2＝0的解．2．几种距离(1)两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)之间的距离|P1P2|＝□04x2－x12y2－y12.(2)点P0(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离d＝□05|Ax0＋By0＋C|A2＋B2.(3)两条平行线Ax＋By＋C1＝0与Ax＋By＋C2＝0(其中C1≠C2)间的距离d＝□06|C1－C2|A2＋B2.1．与直线Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)垂直和平行的直线方程可设为：(1)垂直：Bx－Ay＋m＝0；(2)平行：Ax＋By＋n＝0.2．点到直线、两平行线间的距离公式的使用条件(1)求点到直线的距离时，应先化直线方程为一般式．(2)求两平行线之间的距离时，应先将方程化为一般式且x，y的系数对应相等．1．(2019·广东惠阳模拟)点A(2,5)到直线l：x－2y＋3＝0的距离为()A．25B.55C.5D.2552答案C解析点A(2,5)到直线l：x－2y＋3＝0的距离为d＝|2－10＋3|1＋4＝5.故选C.2．已知直线l1：ax＋2y＋1＝0与直线l2：(3－a)x－y＋a＝0，若l1∥l2，则a的值为()A．1B．2C．6D．1或2答案C解析∵直线l1：ax＋2y＋1＝0与直线l2：(3－a)x－y＋a＝0的斜率都存在，且l1∥l2，∴k1＝k2，即－a2＝3－a，解得a＝6.故选C.3．过点(1,0)且与直线x－2y－2＝0平行的直线方程是()A．x－2y－1＝0B．x－2y＋1＝0C．2x＋y－2＝0D．x＋2y－1＝0答案A解析因为所求直线与直线x－2y－2＝0平行，所以设直线方程为x－2y＋c＝0，又经过点(1,0)，得出c＝－1，故所求方程为x－2y－1＝0.4．(2019·重庆模拟)光线从点A(－3,5)射到x轴上，经x轴反射后经过点B(2,10)，则光线从A到B的距离为()A．52B．25C．510D．105答案C解析点B(2,10)关于x轴的对称点为B′(2，－10)，由对称性可得光线从A到B的距离为|AB′|＝3－22＋[510]2＝510.故选C.5．(2019·陕西黄陵模拟)不论m为何值，直线(m－1)x＋(2m－1)y＝m－5恒过定点()A.1，－12B．(－2,0)C．(2,3)D．(9，－4)答案D解析∵直线方程为(m－1)x＋(2m－1)y＝m－5，∴直线方程可化为(x＋2y－1)m＋(－x－y＋5)＝0.∵不论m为何值，直线(m－1)x＋(2m－1)y＝m－5恒过定点，∴x＋2y－1＝0，－x－y＋5＝0，∴x＝9，y＝－4.故选D.6．(2018·金华模拟)经过两条直线l1：x－2y＋4＝0和l2：x＋y－2＝0的交点且与直线l3：3x－4y＋5＝0垂直的直线l的方程为________．答案4x＋3y－6＝03解析由方程组x－2y＋4＝0，x＋y－2＝0，得x＝0，y＝2，即交点P(0,2)．因l3的斜率为34，且l⊥l3，故l的斜率为－43.故直线l的方程为y＝－43x＋2，即4x＋3y－6＝0.核心考向突破考向一平行与垂直问题例1(1)设不同直线l1：2x－my－1＝0，l2：(m－1)x－y＋1＝0，则“m＝2”是“l1∥l2”的()A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件答案C解析当m＝2时，将m＝2代入两直线方程中，易知两直线平行，即充分性成立；当l1∥l2时，显然m≠0，从而有2m＝m－1，解得m＝2或m＝－1，但当m＝－1时，两直线重合，不符合要求，故必要性成立，故选C.(2)(2019·湖北武汉调研)已知b0，直线(b2＋1)x＋ay＋2＝0与直线x－b2y－1＝0互相垂直，则ab的最小值为()A．1B．2C．22D．23答案B解析由已知两直线垂直得b2＋1－ab2＝0，即ab2＝b2＋1，根据b0，两边同时除以b得ab＝b＋1b≥2b·1b＝2，当且仅当b＝1时等号成立，故选B.触类旁通两直线位置关系问题的解题策略(1)充分掌握两直线平行与垂直的条件是解决此类试题的关键，对于斜率都存在且不重合的两条直线l1和l2，l1∥l2⇔k1＝k2，l1⊥l2⇔k1·k2＝－1.若有一条直线的斜率不存在，那么另一条直线的斜率是否存在一定要特别注意．2l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0，则l1⊥l2⇔A1A2＋B1B2＝0.即时训练1.“m＝3”是“直线l1：2(m＋1)x＋(m－3)y＋7－5m＝0与直线l2：(m－3)x＋2y－5＝0垂直”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件答案A解析由l1⊥l2，得2(m＋1)(m－3)＋2(m－3)＝0，∴m＝3或m＝－2，∴m＝3是l1⊥l2的充分不必要条件．42．(2019·宁夏模拟)若直线l1：x＋2my－1＝0与l2：(3m－1)x－my－1＝0平行，则实数m的值为________．答案0或16解析因为直线l1：x＋2my－1＝0与l2：(3m－1)x－my－1＝0平行，则斜率相等或者斜率不存在，－12m＝3m－1m或者m＝0，所以m＝16或0.考向二距离公式的应用例2(1)(2019·四川绵阳模拟)若P，Q分别为直线3x＋4y－12＝0与6x＋8y＋5＝0上任意一点，则|PQ|的最小值为()A.95B.185C.2910D.295答案C解析因为36＝48≠－125，所在两直线平行，由题意可知，|PQ|的最小值为这两条平行直线间的距离，即|－24－5|62＋82＝2910，所以|PQ|的最小值为2910.(2)已知点M(a，b)在直线3x＋4y＝15上，则a2＋b2的最小值为________．答案3解析∵M(a，b)在直线3x＋4y＝15上，∴3a＋4b＝15，而a2＋b2的几何意义是a，b坐标平面内原点到直线3a＋4b＝15上任意一点的距离，所以(a2＋b2)min＝1532＋42＝3.触类旁通点到直线的距离可直接利用点到直线的距离公式去求，注意直线方程应为一般式.运用两平行直线间的距离公式d＝\f(|C1－C2|,\r(A2＋B2))的前提是两直线方程中的x，y的系数对应相等.即时训练3.P点在直线3x＋y－5＝0上，且点P到直线x－y－1＝0的距离为2，则P点坐标为()A．(1,2)B．(2,1)C．(1,2)或(2，－1)D．(2,1)或(－1,2)答案C解析设P(x,5－3x)，则d＝|x－5＋3x－1|1212＝2，化简得|4x－6|＝2，即4x－6＝±2，解得x＝1或x＝2，故点P的坐标为(1,2)或(2，－1)．4．(2019·河南中原联考)已知直线l的方程为x－y＋2＝0，抛物线为y2＝2x，若点P是抛物线上任一点，则点P到直线l的最短距离是________．答案3245解析设与直线l平行的抛物线y2＝2x的切线方程为x－y＋k＝0，由y2＝2x，x－y＋k＝0消去x，得y2－2y＋2k＝0，所以Δ＝(－2)2－8k＝0，解得k＝12.所以切线方程为x－y＋12＝0.当点P为切点时，点P到直线l的距离是最短距离，最短距离为直线l到切线x－y＋12＝0的距离，所以最短距离为d＝2－121212＝324.考向三对称问题角度1，解得C＝－9，∴l′的方程为2x－3y－9＝0.解法三：设P(x，y)为l′上任意一点，则P(x，y)关于点A(－1，－2)的对称点为P′(－2－x，－4－y)．∵点P′在直线l上，∴2(－2－x)－3(－4－y)＋1＝0，即2x－3y－9＝0.