2020版高考数学一轮复习 第八章 立体几何 第6讲 空间向量的运算及应用教案 理（含解析）新人教A

1第6讲空间向量的运算及应用基础知识整合1．空间向量的有关定理(1)共线向量定理对空间任意两个向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ，使□01a＝λb.(2)共面向量定理如果两个向量a，b不共线，那么向量p与向量a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使□02p＝xa＋yb.(3)空间向量基本定理如果三个向量a，b，c不共面，那么对空间任一向量p，存在有序实数组{x，y，z}，使得□03p＝xa＋yb＋zc.其中，{a，b，c}叫做空间的一个□04基底．推论：设O，A，B，C是不共面的四点，则对空间任一点P，都存在唯一的三个有序实数x，y，z，使OP→＝□05xOA→＋yOB→＋zOC→.2．数量积及坐标运算(1)两个向量的数量积①a·b＝|a||b|cos〈a，b〉．②a⊥b⇔□06a·b＝0(a，b为非零向量)．③|a|2＝□07a2，|a|＝x2＋y2＋z2.(2)空间向量的坐标运算设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则①|a|＝a21＋a22＋a23；②a＋b＝□08(a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3)；③a－b＝□09(a1－b1，a2－b2，a3－b3)；④λa＝□10(λa1，λa2，λa3)；⑤a·b＝□11a1b1＋a2b2＋a3b3；⑥设A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，则AB→＝□12(x2－x1，y2－y1，z2－z1)；⑦cos〈a，b〉＝□13a1b1＋a2b2＋a3b3a21＋a22＋a23·b21＋b22＋b23.点共线和点共面问题(1)点共线问题：证明点共线问题可转化为证明向量共线问题，如证明A，B，C三个点共线，即证明AB→与AC→共线(或AB→与BC→共线；或AC→与BC→共线)．2(2)点共面问题：点共面问题可转化为向量共面问题，要证明P，A，B，C四点共面，只要能证明PA→＝xPB→＋yPC→，或对空间任一点O，有OA→＝OP→＋xPB→＋yPC→，或OP→＝xOA→＋yOB→＋zOC→(x＋y＋z＝1)即可．1．已知a＝(λ＋1,0,2)，b＝(6,2μ－1,2λ)，若a∥b，则λ与μ的值可以是()A．2，12B．－13，12C．－3,2D．2,2答案A解析∵a∥b，∴b＝ka，即(6,2μ－1,2λ)＝k(λ＋1,0,2)，∴6＝＋，2μ－1＝0，2λ＝2k.解得λ＝2，μ＝12或λ＝－3，μ＝12.故选A.2．已知a＝(－2,1,3)，b＝(－1,2,1)，若a⊥(a－λb)，则实数λ的值为()A．－2B．－143C.145D．2答案D解析由题意知a·(a－λb)＝0，即a2－λa·b＝0，又a2＝14，a·b＝7，∴14－7λ＝0，∴λ＝2.故选D.3．在长方体ABCD－A1B1C1D1中，BA→＋BC→＋DD1→＝()A.D1B1→B.D1B→C.DB1→D.BD1→答案D解析BA→＋BC→＋DD1→＝CD→＋BC→＋DD1→＝BD→＋DD1→＝BD1→，故选D.4．若直线l的方向向量为a＝(1,0,2)，平面α的法向量为n＝(－2,0，－4)，则()A．l∥αB．l⊥αC．l⊂αD．l与α斜交答案B解析∵a＝(1,0,2)，n＝(－2,0，－4)，∴n＝－2a，即a∥n，∴l⊥α.故选B.35．已知a＝(1,2，－2)，b＝(0,2,4)，则a，b夹角的余弦值为________．答案－2515解析cos〈a，b〉＝a·b|a||b|＝－2515.6．(2018·江苏启东中学期中)已知向量a＝(2，－1,2)，b＝(－1,3，－3)，c＝(13,6，λ)，若向量a，b，c共面，则λ＝________.答案3解析因为a＝(2，－1,2)，b＝(－1,3，－3)，c＝(13,6，λ)，且a，b，c共面，所以存在实数x，y使得c＝xa＋yb，所以(13,6，λ)＝(2x－y，－x＋3y,2x－3y)，即2x－y＝13，－x＋3y＝6，2x－3y＝λ，解得x＝9，y＝5，λ＝3.核心考向突破考向一空间向量的线性运算例1如图所示，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，设AA1→＝a，AB→＝b，AD→＝c，M，N，P分别是AA1，BC，C1D1的中点，试用a，b，c表示以下各向量：(1)AP→；(2)A1N→；(3)MP→＋NC1→.解(1)∵P是C1D1的中点，∴AP→＝AA1→＋A1D1→＋D1P→＝a＋AD→＋12D1C1→＝a＋c＋12AB→＝a＋c＋12b.(2)∵N是BC的中点，∴A1N→＝A1A→＋AB→＋BN→＝－a＋b＋12BC→＝－a＋b＋12AD→＝－a＋b＋12c.(3)∵M是AA1的中点，4∴MP→＝MA→＋AP→＝12A1A→＋AP→＝－12a＋a＋c＋12b＝12a＋12b＋c.又NC1→＝NC→＋CC1→＝12BC→＋AA1→＝12AD→＋AA1→＝12c＋a，∴MP→＋NC1→＝12a＋12b＋c＋a＋12c＝32a＋12b＋32c.触类旁通用已知向量表示某一向量的方法用已知不共面的向量表示某一向量时，应结合图形，利用三角形法则或平行四边形法则，把所求向量用已知向量表示出来．即时训练1.在三棱锥O－ABC中，M，N分别是OA，BC的中点，G是△ABC的重心，用基向量OA→，OB→，OC→表示OG→，MG→.解OG→＝OA→＋AG→＝OA→＋23AN→＝OA→＋23(ON→－OA→)＝OA→＋2312OB→＋OC→－OA→＝13OA→＋13OB→＋13OC→.MG→＝OG→－OM→＝OG→－12OA→＝13OA→＋13OB→＋13OC→－12OA→＝－16OA→＋13OB→＋13OC→.考向二共线向量与共面向量定理的应用例2如图，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，G为△A1BD的重心，设AB→＝a，AD→＝b，AA1→＝c，试用a，b，c表示AC1→，AG→，并证明A，G，C1三点共线．5解AC1→＝AB→＋BC→＋CC1→＝AB→＋AD→＋AA1→＝a＋b＋c.AG→＝AA1→＋A1G→＝AA1→＋13(A1D→＋A1B→)＝AA1→＋13(AD→－AA1→)＋13(AB→－AA1→)＝13AA1→＋13AD→＋13AB→＝13a＋13b＋13c.因为AC1→＝3AG→，所以A，G，C1三点共线．触类旁通证明三点共线和空间四点共面的方法比较三点(P，A，B)共线空间四点(M，P，A，B)共面PA→＝λPB→且同过点PMP→＝xMA→＋yMB→对空间任一点O，OP→＝OA→＋tAB→对空间任一点O，OP→＝OM→＋xMA→＋yMB→对空间任一点O，OP→＝xOA→＋(1－x)OB→对空间任一点O，OP→＝xOM→＋yOA→＋(1－x－y)OB→即时训练2.如图，已知斜三棱柱ABC－A1B1C1，点M，N分别在AC1和BC上，且满足AM→＝kAC1→，BN→＝kBC→(0≤k≤1)．6(1)向量MN→是否与向量AB→，AA1→共面？(2)直线MN是否与平面ABB1A1平行？解(1)∵AM→＝kAC1→，BN→＝kBC→，∴MN→＝MA→＋AB→＋BN→＝kC1A→＋AB→＋kBC→＝k(C1A→＋BC→)＋AB→＝k(C1A→＋B1C1→)＋AB→＝kB1A→＋AB→＝AB→－kAB1→＝AB→－k(AA1→＋AB→)＝(1－k)AB→－kAA1→，∴由共面向量定理知向量MN→与向量AB→，AA1→共面．(2)当k＝0时，点M，A重合，点N，B重合，MN在平面ABB1A1内．当0k≤1时，MN不在平面ABB1A1内，又由(1)知MN→与AB→，AA1→共面，所以MN∥平面ABB1A1.考向三空间向量的数量积角度1.