2020版高考数学一轮复习 第九章 平面解析几何 第1讲 直线的倾斜角与斜率、直线的方程教案 理（含

1第1讲直线的倾斜角与斜率、直线的方程基础知识整合1．直线的倾斜角与斜率(1)直线的倾斜角①定义：x轴□01正向与直线□02向上的方向所成的角叫做这条直线的倾斜角．当直线与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为□030°.②倾斜角的范围为□040°≤α180°.(2)直线的斜率①定义：一条直线的倾斜角α的□05正切值叫做这条直线的斜率，斜率常用小写字母k表示，即k＝□06tanα，倾斜角是90°的直线斜率不存在．②过两点的直线的斜率公式经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的直线的斜率公式为k＝□07y2－y1x2－x1.2．直线方程的几种形式2直线的斜率k与倾斜角θ之间的关系θ0°0°θ90°90°90°θ180°k0k0不存在k0牢记口诀：“斜率变化分两段，90°是分界线；遇到斜率要谨记，存在与否要讨论”．1．已知直线过A(2,4)，B(1，m)两点，且倾斜角为45°，则m＝()A．3B．－3C．5D．－1答案A解析∵直线过A(2,4)，B(1，m)两点，∴直线的斜率为m－41－2＝4－m.又∵直线的倾斜角为45°，∴直线的斜率为1，即4－m＝1，∴m＝3.故选A.2．直线x＋3y＋1＝0的倾斜角是()A.π6B.π3C.2π3D.5π6答案D解析由直线的方程得直线的斜率k＝－33，设倾斜角为α，则tanα＝－33，所以α＝5π6.3．(2019·青海模拟)倾斜角为135°，在y轴上的截距为－1的直线方程是()A．x－y＋1＝0B．x－y－1＝0C．x＋y－1＝0D．x＋y＋1＝03答案D解析直线的斜率为k＝tan135°＝－1，所以直线方程为y＝－x－1，即x＋y＋1＝0.4．已知直线l：ax＋y－2－a＝0在x轴和y轴上的截距相等，则a的值是()A．1B．－1C．－2或－1D．－2或1答案D解析当a＝0时，直线方程为y－2＝0，不满足题意，所以a≠0，直线在x轴上的截距为2＋aa，在y轴上的截距为2＋a，则由2＋a＝2＋aa，得a＝－2或a＝1.5．(2019·沈阳模拟)直线ax＋by＋c＝0同时要经过第一、第二、第四象限，则a，b，c应满足()A．ab0，bc0B．ab0，bc0C．ab0，bc0D．ab0，bc0答案A解析由于直线ax＋by＋c＝0经过第一、二、四象限，所以直线存在斜率，将方程变形为y＝－abx－cb.易知－ab0且－cb0，故ab0，bc0.6．(2019·海淀区模拟)直线l经过点A(1,2)，在x轴上的截距的取值范围是(－3,3)，则其斜率的取值范围是()A．－1＜k＜15B．k＞1或k＜12C．k＞15或k＜1D．k＞12或k＜－1答案D解析设直线的斜率为k，则直线方程为y－2＝k(x－1)，直线在x轴上的截距为1－2k，令－3＜1－2k＜3，解不等式可得．也可以利用数形结合．核心考向突破考向一直线的倾斜角与斜率例1(1)(2019·重庆巴蜀中学诊断)直线x＋(a2＋1)y＋1＝0的倾斜角的取值范围是()A.0，π4B.3π4，πC.0，π4∪π2，πD.π4，π2∪3π4，π答案B解析依题意，直线的斜率k＝－1a2＋1∈[－1,0)，因此其倾斜角的取值范围是3π4，π.(2)直线l过点P(1,0)，且与以A(2,1)，B(0，3)为端点的线段有公共点，则直线l4斜率的取值范围为________．答案(－∞，－3]∪[1，＋∞)解析如图，∵kAP＝1－02－1＝1，kBP＝3－00－1＝－3，∴k∈(－∞，－3]∪[1，＋∞)．触类旁通即时训练1.(2019·南昌模拟)直线2xcosα－y－3＝0α∈π6，π3的倾斜角的变化范围是()A.π6，π3B.π4，π3C.π4，π2D.π4，2π3答案B解析直线2xcosα－y－3＝0的斜率k＝2cosα.由于α∈π6，π3，所以125≤cosα≤32，因此k＝2cosα∈[1，3]．设直线的倾斜角为θ，则有tanθ∈[1，3]．由于θ∈[0，π)，所以θ∈π4，π3，即倾斜角的变化范围是π4，π3.2．设点A(－2,3)，B(3,2)，若直线ax＋y＋2＝0与线段AB没有交点，则a的取值范围是()A.－∞，－52∪43，＋∞B.－43，52C.－52，43D.－∞，－43∪52，＋∞答案B解析易知直线ax＋y＋2＝0过定点P(0，－2)，kPA＝－52，kPB＝43，因为直线ax＋y＋2＝0的斜率为－a，若直线ax＋y＋2＝0与线段AB没有交点，根据图象(图略)可知－52＜－a＜43，解得－43＜a＜52，故选B.6考向二求直线的方程例2根据所给条件求直线的方程：(1)直线过点(－4,0)，倾斜角的正弦值为1010；(2)直线过点(－3,4)，且在两坐标轴上的截距之和为12；(3)与直线3x－4y－5＝0关于y轴对称．解(1)由题设知该直线的斜率存在，故可采用点斜式．设倾斜角为α，则sinα＝1010(0απ)，从而cosα＝±31010，则k＝tanα＝±13，故所求直线方程为y＝±13(x＋4)，即x＋3y＋4＝0或x－3y＋4＝0.(2)由题设知截距不为0，设直线方程为xa＋y12－a＝1，又直线过点(－3,4)，从而－3a＋412－a＝1，解得a＝－4或a＝9.故所求直线方程为4x－y＋16＝0或x＋3y－9＝0.(3)直线3x－4y－5＝0与y轴的交点为A0，－54，所求直线过A0，－54，且斜率k＝－34，所求直线方程为y＝－34x－54，即3x＋4y＋5＝0.触类旁通根据各种形式的方程，采用待定系数的方法求出其中的系数，在求直线方程时凡涉及斜率的要考虑其存在与否，凡涉及截距的要考虑是否为零截距以及其存在性.即时训练3.已知△ABC的三个顶点分别为A(－3,0)，B(2,1)，C(－2,3)，求：(1)BC边所在直线的方程；(2)BC边上中线AD所在直线的方程；(3)BC边的垂直平分线DE的方程．解(1)因为直线BC经过B(2,1)和C(－2,3)两点，由两点式得BC的方程为y－13－1＝x－2－2－2，即x＋2y－4＝0.(2)设BC边的中点D的坐标为(x，y)，则x＝2－22＝0，y＝1＋32＝2.BC边的中线AD过点A(－3,0)，D(0,2)两点，由截距式得AD所在直线方程为x－3＋y2＝1，即2x－3y＋6＝0.7(3)由(1)知直线BC的斜率k1＝－12，则直线BC的垂直平分线DE的斜率k2＝2.由(2)知点D的坐标为(0,2)．可求出直线的点斜式方程为y－2＝2(x－0)，即2x－y＋2＝0.考向三直线方程的应用角度1，即k＝－1时，|MA|2＋|MB|2取得最小值4，此时直线l的方程为x＋y－2＝0.