2020版高考数学一轮复习 第九章 平面解析几何 第9讲 直线与圆锥曲线的位置关系教案 理（含解析）

1第9讲直线与圆锥曲线的位置关系基础知识整合1．直线与圆锥曲线的位置关系要解决直线与圆锥曲线的位置关系问题，可把直线方程与圆锥曲线方程联立，消去y(或消去x)得到关于x(或关于y)的一元二次方程．如联立后得到以下方程：Ax2＋Bx＋C＝0(A≠0)，Δ＝B2－4AC.若Δ0，则直线与圆锥曲线□01没有公共点；若Δ＝0，则直线与圆锥曲线□02有且只有一个公共点；若Δ0，则直线与圆锥曲线□03有两个不同的公共点．2．弦长公式直线与圆锥曲线相交时，常常借助根与系数的关系解决弦长问题．直线方程与圆锥曲线方程联立，消去y后得到关于x的一元二次方程．当Δ0时，直线与圆锥曲线相交，设交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线AB的斜率为k，则直线被圆锥曲线截得的弦长|AB|＝□04x1－x22y1－y22＝□051＋k2|x1－x2|＝□061＋k2·x1＋x22－4x1x2.再利用根与系数的关系得出x1＋x2，x1x2的值，代入上式计算即可．3．直线与圆锥曲线相交弦的中点问题中点弦问题常用“根与系数的关系”或“点差法”求解．(1)利用根与系数的关系：将直线方程代入圆锥曲线的方程，消元后得到一个一元二次方程，利用根与系数的关系和中点坐标公式建立等式求解，注意不能忽视对判别式的讨论．(2)点差法：若直线l与圆锥曲线C有两个交点A，B，一般地，首先设出A(x1，y1)，B(x2，y2)，代入曲线方程，通过作差，构造出x1＋x2，y1＋y2，x1－x2，y1－y2，从而建立中点坐标和斜率的关系．解决直线与圆锥曲线关系问题的一般方法(1)解决焦点弦(过圆锥曲线焦点的弦)的长的有关问题，注意应用圆锥曲线的定义．(2)已知直线与圆锥曲线的某些关系求圆锥曲线的方程时，通常利用待定系数法．(3)圆锥曲线上的点关于某一直线的对称问题，解此类题的方法是利用圆锥曲线上的两点所在的直线与对称直线垂直，圆锥曲线上两点的中点一定在对称直线上，再利用根的判别式或中点与曲线的位置关系求解．21．直线y＝kx－k＋1与椭圆x29＋y24＝1的位置关系为()A．相交B．相切C．相离D．不确定答案A解析直线y＝kx－k＋1＝k(x－1)＋1恒过定点(1,1)，又点(1,1)在椭圆内部，故直线与椭圆相交．2．已知双曲线x2a2－y2b2＝1(a0，b0)与直线y＝2x有交点，则双曲线离心率的取值范围为()A．(1，5)B．(1，5]C．(5，＋∞)D．[5，＋∞)答案C解析因为双曲线的一条渐近线方程为y＝bax，则由题意得ba2，所以e＝ca＝1＋ba21＋4＝5.3．过抛物线y2＝2x的焦点作一条直线与抛物线交于A，B两点，它们的横坐标之和等于2，则这样的直线()A．有且只有一条B．有且只有两条C．有且只有三条D．有且只有四条答案B解析若直线AB的斜率不存在时，则横坐标之和为1，不符合题意．若直线AB的斜率存在，设直线AB的斜率为k，则直线AB为y＝kx－12，代入抛物线y2＝2x，得k2x2－(k2＋2)x＋14k2＝0，因为A，B两点的横坐标之和为2.所以k＝±2.所以这样的直线有两条．4．(2018·全国卷Ⅰ)设抛物线C：y2＝4x的焦点为F，过点(－2,0)且斜率为23的直线与C交于M，N两点，则FM→·FN→＝()A．5B．6C．7D．8答案D解析根据题意，过点(－2,0)且斜率为23的直线方程为y＝23(x＋2)，与抛物线方程联立y＝23x＋2y2＝4x，消去x并整理，得y2－6y＋8＝0，解得M(1,2)，N(4,4)，又F(1,0)，所以FM→3＝(0,2)，FN→＝(3,4)，从而可以求得FM→·FN→＝0×3＋2×4＝8，故选D.5．(2018·山西阳泉质检)椭圆mx2＋ny2＝1与直线x＋y－1＝0相交于A，B两点，过AB中点M与坐标原点的直线的斜率为22，则mn的值为________．答案22解析解法一：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(x0，y0)，所以kOM＝y0x0＝22，kAB＝y2－y1x2－x1＝－1，由AB的中点为M可得x1＋x2＝2x0，y1＋y2＝2y0.由A，B在椭圆上，可得mx21＋ny21＝1，mx22＋ny22＝1，两式相减可得m(x1－x2)(x1＋x2)＋n(y1－y2)(y1＋y2)＝0，则m(x1－x2)·2x0－n(x1－x2)·2y0＝0，整理可得mn＝22.解法二：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(x0，y0)，联立方程mx2＋ny2＝1，x＋y－1＝0，可得(m＋n)x2－2nx＋n－1＝0，所以x1＋x2＝2nm＋n，y1＋y2＝2－(x1＋x2)＝2mm＋n.由中点坐标公式可得，x0＝x1＋x22＝nm＋n，y0＝y1＋y22＝mm＋n.因为M与坐标原点的直线的斜率为22，所以y0x0＝mm＋nnm＋n＝mn＝22.6．(2018·太原模拟)已知抛物线y2＝4x的焦点为F，过焦点F的直线交该抛物线于A，B两点，O为坐标原点，若|AB|＝6，则△AOB的面积为________．答案6解析因为抛物线y2＝4x的焦点F的坐标为(1,0)，当直线AB垂直于x轴时，|AB|＝4，不满足题意，所以设直线AB的方程为y＝k(x－1)，与y2＝4x联立，消去x得ky2－4y－4k＝0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1＋y2＝4k，y1y2＝－4，所以|y1－y2|＝16k2＋16，因为|AB|＝1＋1k2|y1－y2|＝6，所以41＋1k2＝6，解和k＝±2，所以|y1－y2|＝16k2＋16＝26，所以△AOB的面积为12×1×26＝6.核心考向突破考向一直线与圆锥曲线的位置关系例1已知直线l：y＝2x＋m，椭圆C：x24＋y22＝1.试问当m取何值时，直线l与椭圆C：(1)有两个不重合的公共点；4(2)有且只有一个公共点；(3)没有公共点．解将直线l的方程与椭圆C的方程联立，得方程组y＝2x＋m，①x24＋y22＝1，②将①代入②，整理得9x2＋8mx＋2m2－4＝0.③方程③根的判别式Δ＝(8m)2－4×9×(2m2－4)＝－8m2＋144.(1)当Δ0，即－32m32时，方程③有两个不同的实数根，可知原方程组有两组不同的实数解．这时直线l与椭圆C有两个不重合的公共点．(2)当Δ＝0，即m＝±32时，方程③有两个相同的实数根，可知原方程组有两组相同的实数解．这时直线l与椭圆C有两个互相重合的公共点，即直线l与椭圆C有且只有一个公共点．(3)当Δ0，即m－32或m32时，方程③没有实数根，可知原方程组没有实数解．这时直线l与椭圆C没有公共点．触类旁通判断直线与圆锥曲线的交点个数时，可直接求解相应方程组得到交点坐标，也可利用消元后的一元二次方程根的判别式来确定，需注意利用判别式的前提是二次项系数不为0.依据直线与圆锥曲线的交点个数求参数时，联立方程并消元，得到一元方程，此时注意观察方程的二次项系数是否为0，若为0，则方程为一次方程；若不为0，则将方程解的个数转化为判别式与0的大小关系求解.即时训练1.在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C1：x2a2＋y2b2＝1(ab0)的左焦点为F1(－1,0)，且点P(0,1)在C1上．(1)求椭圆C1的方程；(2)设直线l同时与椭圆C1和抛物线C2：y2＝4x相切，求直线l的方程．解(1)因为椭圆C1的左焦点为F1(－1,0)，所以c＝1.将点P(0,1)代入椭圆方程x2a2＋y2b2＝1，得1b2＝1，即b＝1，所以a2＝b2＋c2＝2.所以椭圆C1的方程为x22＋y2＝1.(2)由题意可知，直线l的斜率显然存在且不等于0，设直线l的方程为y＝kx＋m，由x22＋y2＝1，y＝kx＋m，消去y并整理得(1＋2k2)x2＋4kmx＋2m2－2＝0.因为直线l与椭圆C1相切，5所以Δ1＝16k2m2－4(1＋2k2)(2m2－2)＝0.整理得2k2－m2＋1＝0.①由y2＝4x，y＝kx＋m，消去y并整理得k2x2＋(2km－4)x＋m2＝0.因为直线l与抛物线C2相切，所以Δ2＝(2km－4)2－4k2m2＝0，整理得km＝1.②综合①②，解得k＝22，m＝2或k＝－22，m＝－2.所以直线l的方程为y＝22x＋2或y＝－22x－2.考向二弦长问题例2(2018·北京高考)已知椭圆M：x2a2＋y2b2＝1(ab0)的离心率为63，焦距为22.斜率为k的直线l与椭圆M有两个不同的交点A，B.(1)求椭圆M的方程；(2)若k＝1，求|AB|的最大值．解(1)由题意得2c＝22，所以c＝2，又e＝ca＝63，所以a＝3，所以b2＝a2－c2＝1，所以椭圆M的标准方程为x23＋y2＝1.(2)设直线AB的方程为y＝x＋m，由y＝x＋m，x23＋y2＝1消去y，可得4x2＋6mx＋3m2－3＝0，则Δ＝36m2－4×4(3m2－3)＝48－12m20，即m24，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝－3m2，x1x2＝3m2－34，则|AB|＝1＋k2|x1－x2|＝1＋k2·x1＋x22－4x1x2＝6×4－m22，易得当m2＝0时，|AB|max＝6，故|AB|的最大值为6.触类旁通弦长的计算方法求弦长时可利用弦长公式，根据直线方程与圆锥曲线方程联立消元后得到的一元二次方程，利用根与系数的关系得到两根之和、两根之积的代数式，然后整体代入弦长公式求解．6注意：两种特殊情况：直线与圆锥曲线的对称轴平行或垂直；直线过圆锥曲线的焦点.即时训练2.(2019·新疆乌鲁木齐联考)已知椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(ab0)的焦距为2，且过点1，22.(1)求椭圆C的方程；(2)过点M(2,0)的直线交椭圆C于A，B两点，P为椭圆C上一点，O为坐标原点，且满足OA→＋OB→＝tOP→，其中t∈263，2，求|AB|的取值范围．解(1)依题意得a2＝b2＋1，1a2＋12b2＝1，解得a2＝2，b2＝1，∴椭圆C的方程为x22＋y2＝1.(2)由题意可知，直线AB的斜率存在，设其方程为y＝k(x－2)．由y＝kx－2x22＋y2＝1，得(1＋2k2)x2－8k2x＋8k2－2＝0，∴Δ＝8(1－2k2)0，解得k212.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，P(x，y)，则x1＋x2＝8k21＋2k2，x1x2＝8k2－21＋2k2，y1＋y2＝kx1＋x2－44k1＋2k2.由OA→＋OB→＝tOP→得P8k2t1＋2k2，－4kt1＋2k2，代入椭圆C的方程得t2＝16k21＋2k2，由263t2得14k212，∴|AB|＝1＋k2·22·1－2k21＋2k2＝221＋2k22＋11＋2k2－1.7令u＝11＋2k2，则u∈12，23，∴|AB|＝22u2＋u－1，令y＝2u2＋u－1，其对称轴为u＝－14，∴y＝2u2＋u－1在12，23上单调递增，∴0y59，∴0|AB|253，故|AB|的取值范围为0，253.考向三中点弦问题例3(2019·陕西模拟)已知抛物线C：y2＝2px(p0)，过点M(5，－2)的直线交抛物线C于A，B两点．(1)若p＝12，且点M恰好是线段AB的中点，求直线AB的方程；(2)问在抛物线C上是否存在定点N(x0，y0)，使得NA⊥NB总成立？若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．解(1)当p＝12时，抛物线C的方程为y2＝x，由题意，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y21＝x1，y22＝x2，两式相减得(y1－y2)(y1＋y2)＝x1－x2.(*)因为点M(5，－2)恰好是线段AB的中点，所以y1＋y2＝－4，显然直线AB