2020版高考数学一轮复习 第二章 函数与基本初等函数 第6讲 对数与对数函数教案 理（含解析）新人

1第6讲对数与对数函数基础知识整合1．对数的定义如果ax＝N(a0，且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作□01x＝logaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数．2．对数的运算法则如果a＞0且a≠1，M＞0，N＞0，那么(1)loga(M·N)＝□02logaM＋logaN，(2)logaMN＝□03logaM－logaN，(3)logaMn＝nlogaM(n∈R)．3．对数函数的图象与性质4．反函数2指数函数y＝ax(a＞0且a≠1)与对数函数y＝□07logax(a＞0且a≠1)互为反函数，它们的图象关于直线□08y＝x对称．1．对数的性质(a＞0且a≠1)(1)loga1＝0；(2)logaa＝1；(3)alogaN＝N.2．换底公式及其推论(1)logab＝logcblogca(a，c均大于0且不等于1，b＞0)；(2)logab·logba＝1，即logab＝1logba；(3)logambn＝nmlogab；(4)logab·logbc·logcd＝logad.3．对数函数的图象与底数大小的比较如图，作直线y＝1，则该直线与四个函数图象交点的横坐标为相应的底数．故0＜c＜d＜1＜a＜b.由此我们可得到以下规律：在第一象限内从左到右底数逐渐增大．1．(2018·广东湛江模拟)函数f(x)＝1－lnx的定义域是()A．(0，e)B．(0，e]C．[e，＋∞)D．(e，＋∞)答案B解析要使函数f(x)＝1－lnx有意义，则1－lnx≥0，x0，解得0x≤e，则函数f(x)的定义域为(0，e]．故选B.2．(2019·吉林模拟)不等式log3(2x－1)≤2的解集为()A.－∞，32B.12，5C．(－∞，5]D.－∞，72答案B3解析∵log3(2x－1)≤2可化为log3(2x－1)≤log39，∴02x－1≤9，∴12x≤5.∴原不等式的解集为12，5.故选B.3．(2017·全国卷Ⅱ)函数f(x)＝ln(x2－2x－8)的单调递增区间是()A．(－∞，－2)B．(－∞，1)C．(1，＋∞)D．(4，＋∞)答案D解析由x2－2x－80，得x4或x－2.设t＝x2－2x－8，则y＝lnt为增函数．要求函数f(x)的单调递增区间，即求函数t＝x2－2x－8的单调递增区间．∵函数t＝x2－2x－8的单调递增区间为(4，＋∞)，∴函数f(x)的单调递增区间为(4，＋∞)．故选D.4．已知函数f(x)＝log2x，x≥1，，0x1，则f22的值是()A．0B．1C.12D．－12答案C解析∵f(x)＝log2x，x≥1，，0x1，0221，21，∴f22＝f(2)＝log22＝12，故选C.5．(2019·长沙模拟)函数y＝log0.6(－x2＋2x)的值域是()A．[0,1]B．[0，＋∞)C．(－∞，0]D．[1，＋∞)答案B解析－x2＋2x＝－(x－1)2＋1≤1，又－x2＋2x0，则0－x2＋2x≤1.函数y＝log0.6x为(0，＋∞)上的减函数，则y＝log0.6(－x2＋2x)≥log0.61＝0，所以所求函数的值域为[0，＋∞)，故选B.6．(2015·浙江高考)若a＝log43，则2a＋2－a＝________.答案433解析原式＝2log43＋2－log43＝3＋13＝433.核心考向突破考向一对数的化简与求值例1(1)化简12lg3249－43lg8＋lg245＝________.4答案12解析12lg3249－43lg8＋lg245＝12×(5lg2－2lg7)－43×32lg2＋12(lg5＋2lg7)＝52lg2－lg7－2lg2＋12lg5＋lg7＝12lg2＋12lg5＝12lg(2×5)＝12.(2)设2a＝5b＝m，且1a＋1b＝2，则m＝________.答案10解析因为2a＝5b＝m0，所以a＝log2m，b＝log5m，所以1a＋1b＝1log2m＋1log5m＝logm2＋logm5＝logm10＝2.所以m2＝10，所以m＝10.(3)(2016·浙江高考)已知ab1，若logab＋logba＝52，ab＝ba，则a＝________，b＝________.答案42解析由于ab1，则logab∈(0,1)，因为logab＋logba＝52，即logab＋1logab＝52，所以logab＝12或logab＝2(舍去)，所以a12＝b，即a＝b2，所以ab＝(b2)b＝b2b＝ba，所以a＝2b，b2＝2b，所以b＝2(b＝0舍去)，a＝4.触类旁通解决对数运算问题的四种常用方法(1)将真数化为底数的指数幂的形式进行化简．将同底对数的和、差、倍合并.利用换底公式将不同底的对数式转化成同底的对数式，要注意换底公式的正用、逆用及变形应用.利用常用对数中的lg2＋lg5＝1.即时训练1.lg52＋23lg8＋lg5·lg20＋(lg2)2的值为________．答案3解析原式＝2lg5＋2lg2＋lg5(1＋lg2)＋lg22＝2(lg5＋lg2)＋lg5＋lg2(lg2＋lg5)＝2＋lg5＋lg2＝3.2．已知3a＝4b＝12，则1a＋1b＝________.答案2解析因为3a＝4b＝12，所以a＝log312，5b＝log412，1a＝log123，1b＝log124，所以1a＋1b＝log123＋log124＝log1212＝2.3．计算：(log32＋log92)·(log43＋log83)＝________.答案54解析原式＝log32＋12log32·12log23＋13log23＝32log32·56log23＝54.考向二对数函数的图象及其应用例2(1)函数y＝2log4(1－x)的图象大致是()答案C解析函数y＝2log4(1－x)的定义域为(－∞，1)，排除A，B；又函数y＝2log4(1－x)在定义域内单调递减，排除D.故选C.(2)当0x≤12时，4xlogax，则a的取值范围是()A.0，22B.22，1C．(1，2)D．(2，2)答案B6解析由题意知0a1，则函数y＝4x与y＝logax的大致图象如图，则只需满足loga122，解得a22，∴22a1.触类旁通利用对数函数的图象可求解的两类热点问题(1)对一些可通过平移、对称变换作出其对数型函数的图象，在求解其单调性(单调区间)、值域(最值)、零点时，常利用数形结合思想求解．一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解.即时训练4.(2019·大连月考)已知lga＋lgb＝0(a0且a≠1，b0且b≠1)，则函数f(x)＝ax与g(x)＝－logbx的图象可能是()答案B解析因为lga＋lgb＝0，所以ab＝1，所以g(x)＝－logbx＝logax，所以f(x)与g(x)的单调性相同，选B.5．当x∈(1,2)时，不等式(x－1)2＜logax恒成立，求a的取值范围．解设f1(x)＝(x－1)2，f2(x)＝logax，要使当x∈(1,2)时，不等式(x－1)2＜logax恒成立，只需f1(x)＝(x－1)2在(1,2)上的图象在f2(x)＝logax的下方即可，如图所示．7当0＜a＜1时，显然不成立．当a＞1时，如图，要使在(1,2)上，f1(x)＝(x－1)2的图象在f2(x)＝logax的下方，只需f1(2)≤f2(2)，即(2－1)2≤loga2.∵loga2≥1，∴1＜a≤2，即a的取值范围为(1,2]．考向三对数函数的性质及其应用角度1比较对数值的大小例3(1)(2018·天津高考)已知a＝log372，b＝1413，c＝log1315，则a，b，c的大小关系为()A．abcB．bacC．cbaD．cab答案D解析由题意可知：log33log372log39，即1a2,01411413140，即0b1，log1315＝log35log372，即ca，综上可得：cab.故选D.(2)设a＝log32，b＝log52，c＝log23，则()A．acbB．bcaC．cbaD．cab答案D解析log231log32log52，所以cab.故选D.触类旁通比较对数式大小的三种方法(1)单调性法：在同底的情况下直接得到大小关系，若不同底，先化为同底．中间量过渡法：即寻找中间数联系要比较的两个数，一般是用“0”“1”或其他特殊值进行“比较传递”.图象法：根据图象观察得出大小关系.即时训练6.(2019·辽宁省五校联考)设a＝201912020，b＝log20192020，c＝log202012019，则()A．cbaB．bcaC．acbD．abc答案D解析∵a＝20191202020190＝1,0b＝log20192020log20192019＝1，c＝log202012019log20201＝0，所以abc.故选D.7．已知x＝lnπ，y＝log52，z＝e－12，则()8A．xyzB．zxyC．zyxD．yzx答案D解析lnπ1，log52＝1log2512，z＝e－12＝1e，121e1，所以yzx.角度2解简单的对数不等式例4(1)(2019·福建厦门模拟)设函数f(x)＝21－x，x≤1，1－log2x，x1，则满足f(x)≤2的x的取值范围是()A．[－1,2]B．[0,2]C．[1，＋∞)D．[0，＋∞)答案D解析当x≤1时，由21－x≤2得1－x≤1，∴0≤x≤1.当x1时，由1－log2x≤2得x≥12，∴x1.综上，x的取值范围为[0，＋∞)．故选D.(2)(2018·西安模拟)已知f(x)是定义在R上的偶函数，且在[0，＋∞)上为增函数，f13＝0，则不等式f(log18x)0的解集为________．答案0，12∪(2，＋∞)解析∵f(x)是R上的偶函数，∴它的图象关于y轴对称．∵f(x)在[0，＋∞)上为增函数，∴f(x)在(－∞，0]上为减函数，由f13＝0，得f－13＝0.∴f(log18x)0⇒log18x－13或log18x13⇒x2或0x12，∴x∈0，12∪(2，＋∞)．触类旁通简单对数不等式问题的求解策略(1)解决简单的对数不等式，应先利用对数的运算性质化为同底数的对数值，再利用对9数函数的单调性转化为一般不等式求解．对数函数的单调性和底数a的值有关，在研究对数函数的单调性时，要按0a1和a1进行分类讨论.某些对数不等式可转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解.即时训练8.(2019·广州模拟)设函数f(x)＝log2x，x0，log12－x，x0.若f(a)f(－a)，则实数a的取值范围是()A．(－1,0)∪(0,1)B．(－∞，－1)∪(1，＋∞)C．(－1,0)∪(1，＋∞)D．(－∞，－1)∪(0,1)答案C解析由题意可得a0，log2a－log2a或a0，log12－a2－a，解得a1或－1a0.故选C.9．若函数f(x)＝12x－3，x≤2，logax，x2(a0且a≠1)的值域是[2，＋∞)，则实数a的取值范围是________．答案(1，2]解析当x≤2时，f(x)≥122－3＝2，即函数的值域为[2，＋∞)；当x2且a1时，f(x)loga2，即函数的值域为(loga2，＋∞)，由(loga2，＋∞)⊆[2，＋∞)，得loga2≥2，解得1a≤2；当x2且0a1时，f(x)loga2，