2020版高考数学一轮复习 第二章 函数与基本初等函数 第9讲 函数模型及其应用教案 理（含解析）新

1第9讲函数模型及其应用基础知识整合1．常见的函数模型函数模型函数解析式一次函数型f(x)＝ax＋b(a，b为常数，a≠0)二次函数型f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)指数函数型f(x)＝bax＋c(a，b，c为常数，a0且a≠1，b≠0)对数函数型f(x)＝blogax＋c(a，b，c为常数，a0且a≠1，b≠0)幂函数型f(x)＝axn＋b(a，b为常数，a≠0)2．指数、对数及幂函数三种增长型函数模型的图象与性质形如f(x)＝x＋ax(a＞0)的函数模型称为“对勾”函数模型：(1)该函数在(－∞，－a]和[a，＋∞)上单调递增，在[－a，0]和(0，a]上单调递减．(2)当x＞0时，x＝a时取最小值2a，当x＜0时，x＝－a时取最大值－2a.1．(2019·嘉兴模拟)为了预防信息泄露，保证信息的安全传输，在传输过程中需要对2文件加密，有一种秘密密钥密码系统(Private－KeyCryptosystem)，其加密、解密原理为：发送方由明文→密文(加密)，接收方由密文→明文(解密)．现在加密密钥为y＝kx3，若明文“4”通过加密后得到密文“2”，则接收方接到密文“1256”，解密后得到的明文是()A.12B.14C．2D.18答案A解析由已知，可得当x＝4时，y＝2，所以2＝k·43，解得k＝243＝132，故y＝132x3.令y＝132x3＝1256，即x3＝18，解得x＝12.故选A.2．某产品的总成本y(万元)与产量x(台)之间的函数关系是y＝3000＋20x－0.1x2(0x240，x∈N*)，若每台产品的售价为25万元，则生产者不亏本时(销售收入不小于总成本)的最低产量是()A．100台B．120台C．150台D．180台答案C解析设利润为f(x)万元，则f(x)＝25x－(3000＋20x－0.1x2)＝0.1x2＋5x－3000(0x240，x∈N*)．令f(x)≥0，得x≥150，所以生产者不亏本时的最低产量是150台．故选C.3．(2019·湖北模拟)在我国大西北，某地区荒漠化土地面积每年平均比上一年增长10.4%，经过x(x∈R，x≥0)年可增长到原来的y倍，则函数y＝f(x)的图象大致为()答案D解析由题意可得y＝(1＋10.4%)x.故选D.4．用清水洗衣服，若每次能洗去污垢的34，要使存留的污垢不超过1%，则至少要洗的次数是(参考数据lg2≈0.3010)()3A．3B．4C．5D．6答案B解析设至少要洗x次，则1－34x≤1100，∴x≥1lg2≈3.322，因此至少需洗4次．故选B.5．要制作一个容积为16m3，高为1m的无盖长方体容器，已知该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是________元．答案480解析设长方体底面矩形的长、宽分别为x，y，则y＝16x，所以容器的总造价为z＝2(x＋y)×1×10＋20xy＝20x＋16x＋20×16，由基本不等式得，z＝20x＋16x＋20×16≥40x·16x＋320＝480，当且仅当x＝y＝4，即底面是边长为4的正方形时，总造价最低．故填480.6．(2019·唐山模拟)在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积最大的内接矩形花园(阴影部分)，则其边长x为________m.答案20解析设矩形花园的宽为ym，则x40＝40－y40，即y＝40－x，矩形花园的面积S＝x(40－x)＝－x2＋40x＝－(x－20)2＋400，当x＝20m时，面积最大．故填20.核心考向突破考向一利用函数图象刻画实际问题例1(2017·全国卷Ⅲ)某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2014年1月至2016年12月期间月接待游客量(单位：万人)的数据，绘制了下面的折线图．4根据该折线图，下列结论错误的是()A．月接待游客量逐月增加B．年接待游客量逐年增加C．各年的月接待游客量高峰期大致在7,8月D．各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月，波动性更小，变化比较平稳答案A解析对于选项A，由图易知月接待游客量每年7,8月份明显高于12月份，故A错；对于选项B，观察折线图的变化趋势可知年接待游客量逐年增加，故B正确；对于选项C，D，由图可知显然正确．故选A.触类旁通用函数图象刻画实际问题的解题思路将实际问题中两个变量间变化的规律(如增长的快慢、最大、最小等)与函数的性质(如单调性、最值等)、图象(增加、减少的缓急等)相吻合即可．即时训练1.(2019·北京东城区模拟)汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程，下图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况．下列叙述中正确的是()A．消耗1升汽油，乙车最多可行驶5千米B．以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最多C．甲车以80千米/小时的速度行驶1小时，消耗10升汽油5D．某城市机动车最高限速80千米/小时．相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油答案D解析对于A选项，从图中可以看出当乙车的行驶速度大于40km/h时的燃油效率大于5km/L，故乙车消耗1升汽油的行驶路程可大于5千米，所以A错误．对于B选项，由图可知甲车消耗汽油最少．对于C选项，甲车以80km/h的速度行驶时的燃油效率为10km/L，故行驶1小时的路程为80千米，消耗8L汽油，所以C错误．对于D选项，当最高限速为80km/h且速度相同时丙车的燃油效率大于乙车的燃油效率，故用丙车比用乙车更省油，所以D正确．考向二已知函数模型解决实际问题例2(1)(2019·中山模拟)据统计，一名工人组装第x件某产品所用的时间(单位：min)为f(x)＝cx，xA，cA，x≥A(A，c为常数)．已知某工人组装第4件产品用时30min，组装第A件产品用时15min，那么c和A的值分别是()A．75,25B．75,16C．60,25D．60,16答案D解析由题意可知4A，则＝c4＝30，＝cA＝15，解得c＝60，A＝16，故选D.(2)(2018·江阴模拟)对于一个声强为I(单位：W/m2)的声波，其声强级L(单位：dB)可由如下公式计算：L＝10lgII0(其中I0是能引起听觉的最弱声强)．设声强为I1时的声强级为70dB，声强为I2时的声强级为60dB，则I1是I2的________倍．答案10解析依题意，可知70＝10lgI1I0，60＝10lgI2I0，所以70－60＝10lgI1I0－10lgI2I0，则1＝lgI1I2，所以I1I2＝10.触类旁通利用已知函数模型解决实际问题的步骤若题目给出了含参数的函数模型，或可确定其函数模型的图象，求解时先用待定系数法求出函数解析式中相关参数的值，再用求得的函数解析式解决实际问题．即时训练2.某公司在甲、乙两地销售同一种品牌汽车，利润(单位：万元)分别为L1＝5.06x－0.15x2，L2＝2x，其中x为销售量(单位：辆)．若该公司在这两地共销售15辆汽车，则能获得的最大利润为()A．45.606万元B．45.6万元6C．45.56万元D．45.51万元答案B解析依题意可设在甲地销售了x辆汽车，则在乙地销售了(15－x)辆汽车，总利润S＝L1＋L2＝5.06x－0.15x2＋2(15－x)＝－0.15x2＋3.06x＋30＝－0.15(x－10.2)2＋45.606(0≤x≤15且x∈N)，所以当x＝10时，Smax＝45.6.故选B.3．(2019·四川德阳诊断)将甲桶中的aL水缓慢注入空桶乙中，tmin后甲桶中剩余的水量符合指数衰减曲线y＝aent.假设过5min后甲桶和乙桶的水量相等，若再过mmin甲桶中的水只有a4L，则m的值为________．答案5解析∵5min后甲桶和乙桶的水量相等，∴函数y＝f(t)＝aent满足f(5)＝ae5n＝12a，可得n＝15ln12，所以f(t)＝a·12t5，设kmin后甲桶中的水只有a4L，则f(k)＝a·12k5＝a4，所以12k5＝14，解得k＝10，所以m＝k－5＝5(min)．考向三构建函数模型解决实际问题例3(1)(2019·马鞍山模拟)某高校为提升科研能力，计划逐年加大科研经费投入．若该高校2018年全年投入科研经费1300万元，在此基础上，每年投入的科研经费比上一年增长12%，则该高校全年投入的科研经费开始超过2000万元的年份是(参考数据：lg1.12≈0.05，lg1.3≈0.11，lg2≈0.30)()A．2020年B．2021年C．2022年D．2023年答案C解析若2019年是第1年，则第n年全年投入的科研经费为1300×1.12n万元，由1300×1.12n2000，可得lg1.3＋nlg1.12lg2，所以n×0.050.19，得n3.8，即n≥4，所以第4年，即2022年全年投入的科研经费开始超过2000万元，故选C.(2)一个工厂生产某种产品每年需要固定投资100万元，此外每生产1件该产品还需要增加投资1万元，年产量为x(x∈N*)件．当x≤20时，年销售总收入为(33x－x2)万元；当x20时，年销售总收入为260万元．记该工厂生产并销售这种产品所得的年利润为y万元，则y与x的函数关系式为________，该工厂的年产量为________件时，所得年利润最大(年利润＝年销售总收入－年总投资)．答案y＝－x2＋32x－100，0x≤20，x∈N*160－x，x20，x∈N*16解析年销售总收入减去年总投资即可得到年利润，年总投资为(x＋100)万元，故函数关系式为y＝－x2＋32x－100，0x≤20，x∈N*，160－x，x20，x∈N*.当0x≤20时，x＝16时函数值最大，且最大值为156；当x20时，y140.故年产量为16件时，年利润最大．触类旁通7构建数学模型一定要过好的三关(1)事理关：通过阅读、理解，明确问题讲的是什么，熟悉实际背景，为解题找出突破口．文理关：将实际问题的文字语言转化为数学符号语言，用数学式子表达数学关系.数理关：在构建数学模型的过程中，对已知数学知识进行检索，从而认定或构建相应的数学模型.即时训练4.(2019·山东实验中学月考)某家庭进行理财投资，根据长期收益率市场预测，投资债券等稳健型产品的收益与投资额成正比，投资股票等风险型产品的收益与投资额的算术平方根成正比．已知投资1万元时两类产品的收益分别为0.125万元、0.5万元．(1)分别写出两类产品的收益与投资额的函数关系；(2)若该家庭有20万元资金，全部用于理财投资，问：怎样分配资金能使投资获得最大收益，其最大收益是多少万元？解(1)设两类产品的收益与投资的函数关系分别为f(x)＝k1x，g(x)＝k2x.由已知得f(1)＝18＝k1，g(1)＝12＝k2，所以f(x)＝18x(x≥0)，g(x)＝12x(x≥0)．(2)设投资股票类产品为x万元，则投资债券类产品为20－x万元．依题意得y＝f(20－x)＋g(x)＝20－x8＋12x＝－x＋4x＋208(0≤x≤20)．所以x＝2，即x＝4时，收益最大，ymax＝3万元．故投资债券类产品16万元，投资股票类产品4万元时获得最大收益，为3万元．