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1第2讲空间几何体的表面积和体积基础知识整合1．多面体的表面积、侧面积因为多面体的各个面都是平面，所以多面体的侧面积就是□01侧面展开图的面积，表面积是侧面积与底面面积之和．2．圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式3.柱、锥、台和球的表面积和体积21．与体积有关的几个结论(1)一个组合体的体积等于它的各部分体积的和或差．(2)底面面积及高都相等的两个同类几何体的体积相等．2．几个与球有关的切、接常用结论(1)正方体的棱长为a，球的半径为R，①若球为正方体的外接球，则2R＝3a；②若球为正方体的内切球，则2R＝a；③若球与正方体的各棱相切，则2R＝2a.(2)若长方体的同一顶点的三条棱长分别为a，b，c，外接球的半径为R，则2R＝a2＋b2＋c2.(3)正四面体的外接球与内切球的半径之比为3∶1.1．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为()A．6B．9C．12D．18答案B3解析由三视图可推知，几何体的直观图如图所示，可知AB＝6，CD＝3，PC＝3，CD垂直平分AB，且PC⊥平面ACB，故所求几何体的体积为13×12×6×3×3＝9.故选B.2．(2018·浙江高考)某几何体的三视图如图所示(单位：cm)，则该几何体的体积(单位：cm3)是()A．2B．4C．6D．8答案C解析由三视图知该几何体是底面为直角梯形的直四棱柱，即如图所示四棱柱A1B1C1D1－ABCD.由三视图中数据可知底面梯形的两底分别为1和2，高为2，所以S底面＝12×(1＋2)×2＝3.直四棱柱的高为2，所以体积V＝3×2＝6.故选C.3．(2019·北京模拟)某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的表面积是()4A．2＋5B．4＋5C．2＋25D．5答案C解析该三棱锥的直观图如图所示：过D作DE⊥BC，交BC于E，连接AE，则BC＝2，EC＝1，AD＝1，ED＝2，S表＝S△BCD＋S△ACD＋S△ABD＋S△ABC＝12×2×2＋12×5×1＋12×5×1＋12×2×5＝2＋25.故选C.4．如图，半球内有一个内接正方体，正方体的一个面在半球的底面圆内，若正方体棱长为6，则球的表面积和体积分别为________，________.答案36π36π解析底面中心与C′连线即为半径，设球的半径为R，则R2＝(6)2＋(3)2＝9.所以R＝3，所以S球＝4πR2＝36π，V球＝43πR3＝36π.5．如图所示，已知球O的球面上有四点A，B，C，D，DA⊥平面ABC，AB⊥BC，DA＝AB＝BC＝3，则球O的体积等于________．5答案9π2解析由题意知，DC边的中点就是球心O，因为它到D，A，C，B四点的距离相等，∴球的半径R＝12CD，又AB＝BC＝3，∴AC＝6，∴CD＝AC2＋AD2＝3，∴R＝32，∴V球O＝4π3323＝9π2.核心考向突破考向一几何体的表面积例1(1)(2018·全国卷Ⅰ)已知圆柱的上、下底面的中心分别为O1，O2，过直线O1O2的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，则该圆柱的表面积为()A．122πB．12πC．82πD．10π答案B解析根据题意，可得截面是边长为22的正方形，结合圆柱的特征，可知该圆柱的底面为半径是2的圆，且高为22，所以其表面积为S＝2π(2)2＋2π×2×22＝12π.故选B.(2)(2019·河北承德模拟)某几何体的三视图如图所示，网格纸上小正方形的边长为1，则该几何体的表面积为()A．8＋42＋25B．6＋42＋45C．6＋22＋25D．8＋22＋256答案C解析由三视图可知，该几何体为放在正方体内的四棱锥E－ABCD，如图，正方体的棱长为2，该四棱锥底面为正方形，面积为4，前后两个侧面为等腰三角形，面积分别为22，2，左右两个侧面为直角三角形，面积都为5，可得这个几何体的表面积为6＋22＋25，故选C.触类旁通空间几何体表面积的求法(1)以三视图为载体的几何体的表面积问题，关键是分析三视图确定几何体中各元素之间的位置关系及数量．多面体的表面积是各个面的面积之和；组合体的表面积注意衔接部分的处理.旋转体的表面积问题注意其侧面展开图的应用.即时训练1.(2019·山东潍坊模拟)如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为()A．20πB．24πC．28πD．32π答案C7解析由三视图可知该几何体为组合体，上半部分为圆柱，下半部分为圆锥，圆柱的底面半径为1，高为2，圆锥的底面半径为3，高为4，则该几何体的表面积S＝π×32＋π×3×5＋2π×1×2＝28π.故选C.2．一个四面体的三视图如图所示，则该四面体的表面积是()A．1＋3B．1＋22C．2＋3D．22答案C解析由三视图可得该四面体的直观图如图所示，平面ABD⊥平面BCD，△ABD与△BCD为全等的等腰直角三角形，AB＝AD＝BC＝CD＝2.取BD的中点O，连接AO，CO，则AO⊥CO，AO＝CO＝1.由勾股定理得AC＝2，因此△ABC与△ACD为全等的正三角形，由三角形面积公式得S△ABC＝S△ACD＝32，S△ABD＝S△BCD＝1，所以四面体的表面积为2＋3.故选C.8考向二几何体的体积角度1