2020届高考数学一轮总复习 第八单元 立体几何 第51讲 空间几何体的表面积与体积练习 理（含解析

1第51讲空间几何体的表面积与体积1．(2017·全国卷Ⅱ)如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得，则该几何体的体积为(B)A．90πB．63πC．42πD．36π(方法1：割补法)由几何体的三视图可知，该几何体是一个圆柱截去上面虚线部分所得，如图所示．将圆柱补全，并将圆柱从点A处水平分成上下两部分．由图可知，该几何体的体积等于下部分圆柱的体积加上上部分圆柱体积的12，所以该几何体的体积V＝π×32×4＋π×32×6×12＝63π.故选B.(方法2：估值法)由题意知，12V圆柱V几何体V圆柱．又V圆柱＝π×32×10＝90π，所以45πV几何体90π.观察选项可知只有63π符合．故选B.2．(2016·山东卷)一个由半球和四棱锥组成的几何体，其三视图如图所示，则该几何体的体积为(C)2A.13＋23πB.13＋23πC.13＋26πD．1＋26π由三视图知，该四棱锥是底面边长为1，高为1的正四棱锥，结合三视图可得半球半径为22，从而该几何体的体积为13×12×1＋12×43π×(22)3＝13＋26π.故选C.3．(2018·全国卷Ⅲ)设A，B，C，D是同一个半径为4的球的球面上四点，△ABC为等边三角形且其面积为93，则三棱锥D­ABC体积的最大值为(B)A．123B．183C．243D．543由等边△ABC的面积为93可得34AB2＝93，所以AB＝6，所以等边△ABC的外接圆的半径为r＝33AB＝23.设球的半径为R，球心到等边△ABC的外接圆圆心的距离为d，则d＝R2－r2＝16－12＝2.所以三棱锥D­ABC高的最大值为2＋4＝6，所以三棱锥D­ABC体积的最大值为13×93×6＝183.4．(2017·长沙市一中二模)如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某个四面体的三视图，则该四面体的表面积为(A)A．8＋82＋46B．8＋82＋26C．2＋22＋6D.12＋22＋64将三视图还原为空间几何体，如图，四面体D­ABC.3因为S△ABC＝12×2×4＝4，S△BCD＝12×2×4＝4，S△DAC＝12×43×22＝46，S△ABD＝12×42×4＝82.所以四面体的表面积为S＝S△ABC＋S△BCD＋S△DAC＋S△ABD＝8＋82＋46.5．(2017·山东卷)由一个长方体和两个14圆柱体构成的几何体的三视图如下，则该几何体的体积为2＋π2.该几何体由一个长、宽、高分别为2,1,1的长方体和两个底面半径为1，高为1的四分之一圆柱体构成，所以V＝2×1×1＋2×14×π×12×1＝2＋π2.6．(2018·全国卷Ⅱ)已知圆锥的顶点为S，母线SA，SB所成角的余弦值为78，SA与圆锥底面所成角为45°，若△SAB的面积为515，则该圆锥的侧面积为__402π__．如图，因为SA与底面成45°角，4所以△SAO为等腰直角三角形．设OA＝r，则SO＝r，SA＝SB＝2r.在△SAB中，cos∠ASB＝78，所以sin∠ASB＝158，所以S△SAB＝12SA·SB·sin∠ASB＝12(2r)2·158＝515，解得r＝210，所以SA＝2r＝45，即母线长l＝45，所以S圆锥侧＝πr·l＝π×210×45＝402π.7．如图，是一个奖杯的三视图(单位：cm)，底座是正四棱台．(1)求这个奖杯的体积(π取3.14)；(2)求这个奖杯的底座的侧面积．(1)球的体积V球＝43πr3＝36π，圆柱的体积V圆柱＝Sh1＝64π，正四棱台的体积是V正四棱台＝13h2(S上＋S下＋S上·S下)＝336，所以此几何体的体积是V＝36π＋64π＋336＝100π＋336＝650(cm3)．(2)因为底座是正四棱台，所以它的斜高是h′＝6－32＋42＝5，所以它的侧面积是S侧＝4×12×(6＋12)×5＝180(cm2)．58．(2018·惠州9月月考)若一个四棱锥底面为正方形，顶点在底面的射影为正方形的中心，该四棱锥的体积为9，当其外接球表面积最小时，它的高为(A)A．3B．22C．23D．33此四棱锥为正四棱锥，设此四棱锥的底面边长为a，高为h，则13a2h＝9，则a2＝27h，再设其外接球的半径为R，则在△COE中，R2＝(h－R)2＋(22a)2，所以R＝h2＋12a22h＝h2＋a24h＝h2＋274h2.设f(h)＝h2＋274h2，则f′(h)＝12－272h3，令f′(h)＝0，解得h＝3，分析可知f(h)在h＝3时有最小值，故选A.9．(2016·浙江卷)如图，在△ABC中，AB＝BC＝2，∠ABC＝120°.若平面ABC外的点P和线段AC上的点D，满足PD＝DA，PB＝BA，则四面体PBCD的体积的最大值是12.在△ABC中，AB＝BC＝2，∠ABC＝120°，所以AC＝22＋22－2×2×212＝23.设CD＝x，则AD＝23－x，所以PD＝23－x，所以VP­BCD＝13S△BCD·h≤13×12BC·CDsin30°·PD＝16×2x×12×(23－x)6＝16x(23－x)≤16(x＋23－x2)2＝16×(232)2＝12，当且仅当x＝23－x，即x＝3时取“＝”，此时PD＝3，BD＝1，PB＝2，满足题意．10．(2017·全国卷Ⅰ选择题改编)如图，圆形纸片的圆心为O，半径为5cm，该纸片上的等边三角形ABC的中心为O.D，E，F为圆O上的点，△DBC，△ECA，△FAB分别是以BC，CA，AB为底边的等腰三角形．沿虚线剪开后，分别以BC，CA，AB为折痕折起△DBC，△ECA，△FAB，使得D，E，F重合，得到三棱锥．当△ABC的边长变化时，求所得三棱锥体积(单位：cm3)的最大值．如图，连接OD，交BC于点G，由题意，知OD⊥BC，OG＝36BC.设OG＝x，则BC＝23x，DG＝5－x，三棱锥的高h＝DG2－OG2＝25－10x＋x2－x2＝25－10x，S△ABC＝12×23x×3x＝33x2，则三棱锥的体积V＝13S△ABC·h＝3x2·25－10x＝3·25x4－10x5.令f(x)＝25x4－10x5，x∈(0，52)，则f′(x)＝100x3－50x4.令f′(x)＝0得x＝2.当x∈(0,2)时，f′(x)＞0，f(x)单调递增，当x∈(2，52)时，f′(x)＜0，f(x)单调递减．7故当x＝2时，f(x)取得最大值80，则V≤3×80＝415.所以三棱锥体积的最大值为415cm3.