2020年高考数学一轮复习 考点22 正弦定理和余弦定理必刷题 理(含解析)

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1考点22正弦定理和余弦定理1.(山东省栖霞市2019届高三高考模拟卷数学理)设锐角三角形ABC的内角,,ABC所对的边分别为,,abc,若2,2aBA,则b的取值范围为()A.(0,4)B.(2,23)C.(22,23)D.(22,4)【答案】C【解析】由锐角三角形ABC的内角,,ABC所对的边分别为,,abc,若2,2aBA,022A,3ABA,32A63A,04A23cos22A2,2aBA,由正弦定理得12cos2bbAa,即4cosbA224cos23A则b的取值范围为(22,23),故选C.2.(山东省实验中学等四校2019届高三联合考试理科)在ABC中,a,b,c分别为角A,B,C的对边,若ABC的面为S,且2243Sabc,则sin4C()A.1B.22C.624D.624【答案】D【解析】由2243Sabc,2得222143sin22abCabcab,∵2222cosabcabC,∴23sin2cos2abCabCab,即3sincos1CC即2sin16C,则1sin62C,∵0C,∴5666C,∴66C,即3C,则sinsinsincoscossin4343434C32126222224,故选:D.3.(辽宁省丹东市2019届高三总复习质量测试理科二)在ABC中,1cos3A,2AB,3BC,则ABC的面积为()A.1B.2C.12xxD.32【答案】C【解析】由余弦定理可知2222cosBCABACABACA234150ACAC3AC,因为1cos3A,所以22sin1cos23AA,因此1sin222ABCSABACA,故本题选C.4.(广东省潮州市2019届高三第二次模拟考试数学理)在ABC△中,角A、B、C的对边分别为a、b、c,BC边上的高为2a,则22bccb的最大值是_____.【答案】2【解析】3因为BC边上的高为2a,所以11sin222aabcA,即22sinabcA,可得2222cos2222bcbcabcAcbbcbc2sin2ccossincos2bcAbAAAbc2sin24A,故22bccb的最大值是2.故答案为2.5.(江苏省南通市2019届高三适应性考试)在ABC中,已知AB边上的中线1CM,且1tanA,1tanC,1tanB成等差数列,则AB的长为________.【答案】233【解析】因为1tanA,1tanC,1tanB成等差数列,所以211tantantanCAB,即2coscoscossin()sinsinsinsinsinsinsinsinCABABCCABABAB,所以2sin2cossinsinCCAB,由正弦定理可得2cos2cCab,又由余弦定理可得222cos2abcCab,所以222222abccabab,故2222abc,又因为AB边上的中线1CM,所以1CM,因为12CMCACB,所以22222422cosCMCACBCACBCACBCACBC,即22224232cbaabcab,解233c.即AB的长为233.4故答案为233.6.(浙江省金华十校2019届第二学期高考模拟考试)在ABC中,A,B,C内角所对的边分别为a,b,c,已知2b且coscos4sinsincBbCaBC,则c的最小值为_____.【答案】12【解析】∵ccoscos4sinsinBbCaBC,∴sincossincos4sinsinsinCBBCABC,∴sin()sin4sinsinsinBCAABC,∵sin0A,∴1sinsin4BC,∴1sin4sinCB,由正弦定理可得sinsinbcBC,即2sin28sinsinCcCB,当sin1B时,minsinC14.当1sin4C时,则c的最小值为12.故答案为:12.7.(江西省鹰潭市2019届高三第一次模拟考试理)设VABC的三个内角,,ABC的对边分别是,,abc,若26a,6b,1cos2B,那么角C的大小为__________.【答案】12【解析】1cos2B,B为钝角,可得23B,3sin2B.由正弦定理266sin32A,可得2sin2A.A为锐角,4A.24312CAB.8.(贵州省2019届高三高考教学质量测评卷八数学理)在ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,其中最大的角等于另外两个角的和,当最长边1c时,ABC周长的最大值为_______.5【答案】21【解析】依题意,CAB,结合三角形的内角和定理,所以2AB,设ABC的外接圆半径为R,则12R,于是2(sinsin)sinsinabRABABsincos2sin4AAA,当4A时,ab取最大值为2,所以周长的最大值为21.9.(北京市通州区2019届高三4月第一次模拟考试)在ABC△中,3cos5A,42a,5b,则c__________.【答案】7【解析】由3cos,42,55Aab,代入2222cosabcbcA,得233225255cc,即:2670cc解得7.(1cc舍去)故答案为:7.10.(安徽省江淮十校2019届高三年级5月考前最后一卷)在ABC中,23BAC,已知BC边上的中线3AD,则ABC面积的最大值为__________.【答案】93.【解析】在△ABC中,23BAC,BC边上的中线AD=3,1()2ADABAC,设AB=c,AC=b,平方可得9=222211222cos434cbABACcbcb.化简可得,22362cbbcbcbcbc,∴bc≤36,当且仅当bc时成立,故△ABC的面积S=1213sin36932322bc„故答案为:93611.(四川省棠湖中学2019届高三高考适应性考试)ABC的内角,,ABC所对的边,,abc成等比数列,则cosB的最小值为_____.【答案】12【解析】因为,,abc成等比数列,所以2bac22222cos22acbacacBacac,由基本不等式可以得到2221222acacacacacac,当且仅当ac时等号成立,故cosB的最小值为12.12.(山东省泰安市教科研中心2019届高三考前密卷数学理)在△ABC中,A,B,C所对的边分别为a,b,c且ccosA=4,asinC=5.(1)求边长c;(2)著△ABC的面积S=20.求△ABC的周长.【答案】(1)41;(2)8+241【解析】(1)∵由正弦定理可得:2sinsinsinabcRABC,可得:asinC=csinA,∵asinC=5,可得:csinA=5,可得:sinA=5c,又∵ccosA=4,可得:cosA=4c,∴可得:sin2A+cos2A=222516cc=1,∴解得c=41.(2)∵△ABC的面积S=12absinC=20,asinC=5,∴解得:b=8,∴由余弦定理可得:a2=b2+c2﹣2bccosA=64+41﹣2×441841=41,解得:a=41,或﹣41(舍去),7∴△ABC的周长=a+b+c=41+8+41=8+241.13.(陕西省汉中市2019届高三全真模拟考试)在ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且2sincoscos2cAaBbA.(Ⅰ)求角A的大小;(Ⅱ)若2abc,且ABC外接圆的半径为1,求ABC的面积.【答案】(Ⅰ)3A(Ⅱ)334【解析】(Ⅰ)∵2sincoscos2cAaBbA,∴2coscoscoscAaBbA,由正弦定理得,2sincossincossincossinsinCAABBAABC,∴2sincossinCAC,又0C,∴sin0C,∴1cos2A,又0A,∴3A.(Ⅱ)设ABC外接圆的半径为R,则1R,2sin3aRA,由余弦定理得22222cos33abcbcbcbc,即3123bc,∴3bc,∴ABC的面积11333sin32224SbcA.14.(河南省八市重点高中联盟“领军考试”2019届高三第五次测评数学理)如图ABC中,D为BC的中点,213AB,4AC,3AD.8(1)求边BC的长;(2)点E在边AB上,若CE是BCA的角平分线,求BCE的面积.【答案】(1)10;(2)607.【解析】(1)因为D在边BC上,所以coscosADBADC,在ADB和ADC中由余弦定理,得222222022ADBDABADDCACADBDADDC,因为213AB,4AC,3AD,BDDC,所以229529160BDBD,所以225BD,5BD.所以边BC的长为10.(2)由(1)知ADC为直角三角形,所以14362ADCS,212ABCADCSS.因为CE是BCA的角平分线,所以1sin21sin2ACEBCEACCEACESSBCCEBCE42105ACBC.所以25ABCBCEACEBCEBCESSSSS7125BCES,所以607BCES.即BCE的面积为607.15.(山西省晋城市2019届高三第三次模拟考试数学理)如图所示,锐角ABC中,52AC,点D在线段BC上,且32CD,ACD的面积为66,延长BA至E,使得ECBC.(Ⅰ)求AD的值;(Ⅱ)若2sin3BEC,求AE的值.9【答案】(Ⅰ)214;(Ⅱ)322.【解析】(Ⅰ)在ACD中,1sin2ACDSACCDACD15232sin662ACD.所以26sin5ACD.因为090ACD,所以2261cos155ACD.由余弦定理得2222cos56ADCDCACDCAACD,得214AD.(Ⅱ)因为ECBC,所以1sinsin90cos5ACEACDACD.在AEC中,由正弦定理得sinsinAEACACEAEC,即521253AE,所以322AE.16.(山东省安丘市、诸城市、五莲县、兰山区2019届高三5月校级联合考试)在ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且3cb,2sin3sinBA.(1)求cosB;(2)若2a,求ABC的面积.【答案】(1)56(2)112【解析】(1)因为2sin3sinBA,所以23ba,即23ba.又因为3cb,所以2222222353cos226233bbbacbBbacb.(2)因为2a,所以3c.10因为5cos6B,在ABC中,(0,)B,所以11sin6B所以111111sin232262ABCSacB.17.已知ABC的三个内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且coscos2cosbCcBaA.(1)求A;(2)若ABC的周长为3,求a的最小值.【答案】(1)3A;(2)1.【解析】(1)由已知及正弦定理得sincoscossin2sincosB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