2020年高考数学一轮复习 考点23 正弦定理和余弦定理的应用必刷题 理（含解析）

1考点23正弦定理和余弦定理的应用1．中，内角、、的对边、、依次成等差数列，且，则的形状为（）A．等边三角形B．直角边不相等的直角三角形C．等腰直角三角形D．钝角三角形【答案】A【解析】因为、、依次成等差数列，所以由余弦定理可得：将代入上式整理得：所以，又可得：为等边三角形故选：A．2．如图，为了测量某湿地两点间的距离，观察者找到在同一直线上的三点．从点测得，从点测得，，从点测得.若测得，（单位:百米），则两点的距离为()A．B．C．D．【答案】C【解析】根据题意，在△ADC中，∠ACD＝45°，∠ADC＝67.5°，DC＝2，则∠DAC＝180°﹣45°﹣67.5°＝67.5°，则AC＝DC＝2，2在△BCE中，∠BCE＝75°，∠BEC＝60°，CE，则∠EBC＝180°﹣75°﹣60°＝45°，则有，变形可得BC，在△ABC中，AC＝2，BC，∠ACB＝180°﹣∠ACD﹣∠BCE＝60°，则AB2＝AC2+BC2﹣2AC•BC•cos∠ACB＝9，则AB＝3；故选：C．3．（吉林省长春市2019年高三质量监测四）《海岛算经》是中国学者刘徽编撰的一部测量数学著作，现有取自其中的一个问题：今有望海岛，立两表齐高三丈，前后相去千步，今后表与前表参相直，从前表却行一百二十三步，人目着地，取望岛峰，与表末参合，从后表却行一百二十七步，人目着地，取望岛峰，亦与表末参合，问岛高几何？用现代语言来解释，其意思为：立两个三丈高的标杆和，之间距离为步，两标杆的底端与海岛的底端在同一直线上，从第一个标杆处后退123步，人眼贴地面，从地上处仰望岛峰，三点共线；从后面的一个标杆处后退127步，从地上处仰望岛峰，三点也共线，则海岛的高为（）(古制：1步=6尺，1里=180丈=1800尺=300步)A．步B．步C．步D．步【答案】A【解析】因为，所以，所以；又，所以，所以；又，所以，即，所以步，3又，所以步.故选A．4．（陕西省咸阳市2019届高三模拟检测三）已知a、b、c分别是△ABC的内角A、B、C的对边，若，则ABC的形状为（）A．钝角三角形B．直角三角形C．锐角三角形D．等边三角形【答案】A【解析】因为在三角形中，变形为由内角和定理可得化简可得：所以2B所以三角形为钝角三角形故选A．5．（安徽省巢湖市2019届高三年级三月份联考）已知锐角ABC的角A，B，C的对边分别为a，b，c，且1c，三角形ABC的面积1ABCS，则22ab的取值范围为()A．17,2B．9,C．17,92D．17,92【答案】D【解析】因为三角形为锐角三角形，所以过C作CDAB于D，D在边AB上，如图：4因为：，所以2CD，在三角形ADC中，，在三角形BDC中，，，，．设结合二次函数的性质得到：．故选：D．6．（四川省成都市2019届高三毕业班第二次诊断性检测）某小区打算将如图的一直三角形ABC区域进行改建,在三边上各选一点连成等边三角形DEF,在其内建造文化景观.已知20ABm,10ACm,则DEF区域内面积(单位：2m)的最小值为（）A．253B．(,0)BmC．1)D．7537【答案】D【解析】△ABC是直三角形，AB＝20m，AC＝10m，可得CB103m，DEF是等边三角形，设∠CED＝θ；DE＝x，那么∠BFE＝π6+θ；则CE＝xcosθ，△BFE中由正弦定理，可得5可得x，其中tanα233；∴x1037；则△DEF面积S故选：D．7．（2019届四川省乐山市高三第一次调查研究考试）小王同学骑电动自行车以24/kmh的速度沿着正北方向的公路行驶，在点A处望见电视塔S在电动车的北偏东30°方向上，20min后到点B处望见电视塔在电动车的北偏东75方向上，则电动车在点B时与电视塔S的距离是__________km．【答案】42【解析】依题意有,，由正弦定理得，解得42BS.8．（山东省实验中学等四校2019届高三联合考试理科）如图所示，边长为1的正三角形ABC中，点M，N分别在线段AB，AC上，将AMN沿线段MN进行翻折，得到右图所示的图形，翻折后的点A在线段BC上，则线段AM的最小值为_______．【答案】233【解析】设AMx，AMN，则1BMx，，∴，在ABM中，由正弦定理可得，6即，∴，∴当即75时，x取得最小值．故答案为：233．9．（四川省宜宾市2019届高三第三次诊断性考试）海上一艘轮船以的速度向正东方向航行，在处测得小岛在北偏西的方向上，小岛在北偏东的方向上，航行后到达处测得小岛在北偏西的方向上，小岛在北偏西的方向上，则两个小岛间的距离______.【答案】【解析】在中，由题意可得∴由正弦定理∴∵在中，由于由正弦定理可得可得∴中，由余弦定理可得7∴解得即C、D之间的距离为故答案为．10．（浙江省三校2019年5月份第二次联考）在锐角ABC中，内角,,ABC所对的边分别是,,abc，2c，3A，则sinaC__________．ab的取值范围是__________．【答案】3【解析】由正弦定理，可得，则.由，可得，，所以.由ABC△是锐角三角形，可得π02C，，则ππ62C，所以ππ124C，.所以.11．（河北省衡水市2019届高三四月大联考理）ABC中，，，点D在边BC上，且3DCBD.（1）求AD的长；（2）若DHAC于H，求cosADH.【答案】（1）7AD（2）【解析】（1）在ABC中，，，8由余弦定理得，∴，∴43BC．∵3DCBD，∴3BD，∴在ABD中，4AB，3BD，，由余弦定理得，即，∴7AD．（2）由（1）知33DC，∴在直角CHD中，，∴在直角AHD中，．12．（宁夏银川市2019年高三下学期质量检测）在平面四边形中，已知，，．（1）若，求的面积；（2）若，，求的长．【答案】（1）；（2）.【解析】（1）在中，9即,解得.所以.（2）因为,所以，,.在中，,.所以.13．（黑龙江省哈尔滨市第六中学2019届高三第二次模拟考试）如图平面四边形ABCD的对角线的交点位于四边形的内部，1AB，3BC，ACCD，ACCD，当ABC变化时，对角线BD的最大值为__________．【答案】16【解析】设∠ABC＝α，∠ACB＝β，则由余弦定理得，AC2＝1+3﹣2×13cosα＝4﹣23cosα；由正弦定理得，则sinβ；所以BD2＝3+（4﹣23cosα）﹣2cos（90°+β）＝7﹣23cosα+23sinα10＝7+26sin（α﹣45°），所以α＝135°时，BD取得最大值为72616．故答案为：16．14．（湖北省八校（鄂南高中.黄石二中.华师一附中.黄冈中建一个江水养殖场，有两个方案：方案l：在岸边OB上取两点,PQ，用长度为1km的围网依托岸边线PQ围成三角形MPQ（MP，MQ两边为围网）；方案2：在岸边OA，OB上分别取点,EF，用长度为1km的围网EF依托岸边围成三角形EOF.请分别计算MPQ△，EOF△面积的最大值，并比较哪个方案好.【答案】MQP，EOF面积的最大值分别为218km，2312km.其中方案2好.【解析】方案1：设MPxkm，MQykm由已知“用长度为1km的围网，MP，MQ两边为围网”得,0,1xy且1xy当且仅当12xy且时，等号成立MPQ面积的最大值为218km方案2：设OEakm，OFbkm在EOF中，由余弦定理得：即11（当且仅当33ab时等号成立）（当且仅当33ab时等号成立）EOF面积的最大值为2312km31128方案2好．18．（广东省深圳市高级中学2019届高三6月适应性考试）工程队将从A到D修建一条隧道，测量员测得图中的一些数据（,,,ABCD在同一水平面内），求,AD之间的距离.【答案】65123【解析】连接AC,在ABC中，.在ACD中，．19．（河南省郑州市2019届高三第三次质量检测）在ABC中，23AB，3AC，AD为ABC的内角平分线，2AD.12（Ⅰ）求BDDC的值（Ⅱ）求角A的大小【答案】（Ⅰ）2；（Ⅱ）3.【解析】（Ⅰ）在三角形ABD中,由正弦定理得：在三角形ACD中,由正弦定理得：因为（Ⅱ）在三角形ABD中,由余弦定理得在三角形ACD中,由余弦定理得又解得3cos22A又．20．（河北省保定市2019年高三第二次模拟考试）已知ABC中，4A，3cos5B，8AC.（1）求ABC的面积；（2）求AB边上的中线CD的长.【答案】（1）28（2）【解析】13（1）且(0,)B，∴．在ABC中，由正弦定理得，即8472510AB，解得72AB．所以ABC的面积为（2）在ACD中，722AD，所以由余弦定理得，所以．21．（河南省开封市2019届高三第三次模拟理）在中，角，，所对的边分别为，，，且，是边上的点.（I）求角；（Ⅱ）若，，，求的长，【答案】（I）；（Ⅱ）.【解析】（I）由，得，，14，∵，∴，∴.（Ⅱ）在中，，，，由余弦定理得，所以，在中，，，由正弦定理，得，所以.22．（四川省内江市2019届高三第三次模拟考试）如图所示，在中，，是边上一点，，，.（1）求的面积；（2）求的长.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）在中，由余弦定理得.∴，故.∴.（2），.在中，由正弦定理得，15∴.23．（湖南省长郡中学2019届高三下学期第一次模拟考试理）在VABC中，三边,,abc所对应的角分别是,,ABC.已知,,abc成等比数列.（1）若，求角B的值；（2）若VABC外接圆的面积为4，求VABC面积的取值范围.【答案】（1）3；（2）0,33.【解析】（1），又∵,,abc成等比数列，得acb2，由正弦定理有，∵，∴，得，即3sin2B，由acb2知，b不是最大边，∴3B.（2）∵VABC外接圆的面积为4，∴VABC的外接圆的半径2R，由余弦定理，得，又acb2，∴1cos2B，当且仅当ca时取等号，又∵B为VABC的内角，∴03B，由正弦定理2sinbRB，得4sinbB.∴VABC的面积，∵03B，∴，∴.24．（湖南省株洲市2019届高三第二次教学质量检测二模）如图，在四边形ABCD中，16，连接.（Ⅰ）求BDC∠的值；（Ⅱ）若，求ABE的面积最大值.【答案】(Ⅰ)6；(Ⅱ)33。【解析】（Ⅰ）在BCD中，由正弦定理得，∴．∵，∴BDBC，∴BDC∠为锐角，∴6BDC．（Ⅱ）在ABD中，，∴.在ABE中，由余弦定理得，17∴，当且仅当AEBE时等号成立，∴，∴，即ABE面积的最大值为33．