（江苏专用）2020年高考数学一轮复习 考点33 基本不等式必刷题（含解析）

1考点33基本不等式1．（江苏省徐州市（苏北三市（徐州、淮安、连云港))2019届高三年级第一次质量检测）已知，，且，则的最大值为_________．【答案】【解析】化为，即，解得：，所以，的最大值为。故答案为：2．（江苏省如皋市2019届高三教学质量调研三）已知，若，满足，且，则的最小值为_______．【答案】【解析】由，且，，所以，即，所以，得，所以，当且仅当，即时，等号成立，综上，的最小值为3．（江苏省苏北四市2019届高三第一学期期末考试考前模拟）已知正实数满足，则的最小值为____．【答案】【解析】正实数x，y满足1，则：x+y＝xy，则：4x+3y，则：437+4，2故的最小值为．故答案为：.4．（江苏省南京市六校联合体2019届高三12月联考）设直线是曲线的切线，则直线的斜率的最小值是_____．【答案】4【解析】的定义域为（0，+∞）y'=4x+，当且仅当x=时取等号·即直线的斜率的最小值是4故答案为：45．（江苏省徐州市2019届高三12月月考）已知正实数x，y满足141223xyxy，则xy的最小值为______．【答案】94【解析】∵x＞0，y＞0，∴2x+y＞0，2x+3y＞0，x+y＞0，12xy+423xy=1，x+y=12234xyxy，那么：x+y=（x+y）×1=12234xyxy×（12xy+423xy）=14（1+42234232xyxyxyxy）=522342342xyxyxyxy∵2231223424xyxyxyxy=1，当且仅当2x=y=32时取等号．所以：x+y≥59144．3故x+y的最小值为94．故答案为：946．（江苏省清江中学2019届高三第二次教学质量调研）在中，设角的对边分别是若成等差数列，则的最小值为________.【答案】【解析】由题得,所以,所以因为所以故答案为：7．（江苏省苏锡常镇2018届高三3月教学情况调研一）已知，，且，则的最小值是__________．【答案】【解析】因为，当且仅当时取等号.因此的最小值是8．（江苏省苏州市2018届高三调研测试）已知正实数a，b，c满足，，则的取值范围是_____．4【答案】【解析】由=1，可得，由，得，或，，，，故答案为.9．（江苏省盐城市东台中学2018届高三学业质量监测）已知，，且，则的最小值为____．【答案】．【解析】由，，得，当且仅当时等号成立，又，则，所以x+y的最小值为．故答案为：10．（江苏省南通市2018届高三最后一卷）在斜△ABC中，若，则的最大值是____．【答案】.【解析】在斜中，，，又，，所以，与同号，5又在中，，所以，当且仅当时“=”成立，的最大值为，故答案为.11．（）已知,且满足,则的最大值为_______【答案】【解析】根据题意，，又，，且，则，则有，即得最大值为.故答案为：.12．（江苏省盐城中学2018届高三考前热身2）已知正实数，满足，则的最小值为__________.【答案】.【解析】根据题意，1，又，则，则3a+2b[5（a+b）+（a﹣b）]×[][6]；记，,6故在上单调递增，即最小值为6∴3a+2b[6]的最小值为6故答案为：6．13．（2018年全国普通高等学校招生统一考试江苏卷）在中，角所对的边分别为，，的平分线交于点D，且，则的最小值为________．【答案】9【解析】由题意可知，,由角平分线性质和三角形面积公式得，化简得，因此当且仅当时取等号，则的最小值为.14．（江苏省扬州树人学校2018届高三模拟考试四）已知函数（，为正实数）只有一个零点，则的最小值为__________．【答案】.【解析】∵函数（，为正实数）只有一个零点，∴，∴．∴．令，则，∴7，当且仅当，即时等号成立，此时．∴的最小值为.15．（江苏省南京市2018届高三第三次模拟考试）若正数成等差数列，则的最小值为_________．【答案】【解析】因为正数a,b,c成等差数列，所以2b=a+c.所以令5a+c=x,2a+c=y，则所以当且仅当时取等号.故答案为：16．（江苏省苏锡常镇四市2017-2018学年度高三教学情况调研二）已知为正实数，且，则的最小值为____．【答案】.【解析】由题得，代入已知得，两边除以得当且仅当ab=1时取等.8所以即的最小值为.故答案为：17．（江苏省苏北六市2018届高三第二次调研测试）已知a，b，c均为正数，且abc＝4(a＋b)，则a＋b＋c的最小值为_______．【答案】8【解析】4abcab4abcab4444422448ababcababababbaab18．（江苏省南通、徐州、扬州等六市2018届高三第二次调研二模）已知abc，，均为正数，且4abcab，则abc的最小值为____．【答案】8【解析】∵abc，，均为正数，且4abcab∴4abcab∴44444228ababcababababbaab，当且仅当2a，2b时取等号∴abc的最小值为8故答案为8.19．（江苏省前黄高级中学、如东高级中学、姜堰中学等五校2018届高三上学期第一次学情监测）已知,,0,abc，则222252abcbcac的最小值为__________．【答案】4【解析】由均值不等式的结论有：9222222214245555abcacbcacbc，即222522acbcabc，当且仅当2,55ccab时等号成立，则222222222222222225525425522abcabcabcacbcabcabc综上可得：222252abcbcac的最小值为4.20．（江苏省兴化市楚水实验学校、黄桥中学、口岸中学三校2018届高三12月联考）已知函数33xxfxeexx，若整数a,b满足2110fafb，则22211abab的最小值为___．【答案】94【解析】因为函数33xxfxeexx在R上单调递增，且为奇函数，又2110fafb即211fafb所以211ba即22ab，又22211abab=22141212121214111aababababab又2121211121921415+4=1144144ababababab当14,33ab时取等号.故答案为94.21．（江苏省盐城市东台中学2018届高三学业质量监测）为建设美丽乡村，政府欲将一块长12百米，宽5百米的矩形空地ABCD建成生态休闲园，园区内有一景观湖EFG（图中阴影部分）．以AB所在直线为x轴，AB的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系xOy（如图所示）．景观湖的边界曲线符合函数模型．园区服务中心P在x轴正半轴上，PO＝百米．10（1）若在点O和景观湖边界曲线上一点M之间修建一条休闲长廊OM，求OM的最短长度；（2）若在线段DE上设置一园区出口Q，试确定Q的位置，使通道直线段PQ最短．【答案】(1)的最小值为百米．(2)当点在线段上且距离轴百米，通道PQ最短．【解析】（1）设，，则，当且仅当，即时取等号．所以的最小值为百米．（2）当直线与边界曲线相切时，最短．设切点为，由得，所以切线的方程为．因为在轴正半轴上，且PO=，所以点坐标为．因为切线过点，所以，整理得，解得，或．因为，所以，此时切点为，切线方程为．11令，得，即点在线段上且距离轴百米．答：当点在线段上且距离轴百米，通道PQ最短．22．（江苏省盐城中学2018届高三全仿真模拟检测）已知，且.(I)试利用基本不等式求的最小值；(Ⅱ)若实数满足，求证：.【答案】(Ⅰ)3；(Ⅱ)证明见解析.【解析】（1）由已知，且．即m可化为.由柯西不等式可得结论.（2）由（1）可得.再由柯西不等式即可得结论.（1）由三个数的均值不等式得：（当且仅当即时取“=”号），故有．4分（2），由柯西不等式得：（当且仅当即时取“=”号）整理得：，即．23．（江苏省南京师大附中2018届高三高考考前模拟考试）已知，求证．【答案】见解析【解析】证明：证法一因为a＞0，b＞0，a＋b＝1，所以()[(2a＋1)＋(2b＋1)]＝1＋4＋≥5＋2＝9．12而(2a＋1)＋(2b＋1)＝4，所以．证法二因为a＞0，b＞0，由柯西不等式得()[(2a＋1)＋(2b＋1)]≥(＋)2＝(1＋2)2＝9．由a＋b＝1，得(2a＋1)＋(2b＋1)＝4，所以．24．（江苏省南通市2018届高三上学期第一次调研测试）已知1a，1b，求2211baab的最小值.【答案】8【解析】因为1a，1b，所以24141baba，24141abab.两式相加：22414111baabab44ba，所以22811baab.当且仅当2411baa且2411abb时“”成立.即2ab时，2211baab取得最小值8.