（江苏专用）2020年高考数学一轮复习 考点34 数学归纳法必刷题（含解析）

1考点34数学归纳法1．（2019·江苏高三高考模拟）已知数列na，12a，且211nnnaaa对任意nN恒成立．（1）求证：112211nnnnaaaaaa(nN)；（2）求证：11nnan(nN)．【答案】（1）见解析（2）见解析【解析】（1）①当1n时，2221112213aaa满足211aa成立.②假设当nk时，结论成立.即：112211kkkkaaaaaa成立下证：当1nk时，112211kkkkaaaaaa成立。因为211211111kkkkkaaaaa11221112211111kkkkkkkkaaaaaaaaaaaa即：当1nk时，112211kkkkaaaaaa成立由①、②可知，112211nnnnaaaaaa(n*N)成立。（2）（ⅰ）当1n时，221221311a成立，当2n时，2322222172131112aaaaa成立，（ⅱ）假设nk时（3k），结论正确，即：11kkak成立下证：当1nk时，1211kkak成立.因为2211112111111kkkkkkkkkaaaaakkkk要证1211kkak，只需证12111kkkkkk只需证：121kkkk，2只需证：12lnln1kkkk即证：12llnn10kkkk（3k）记2ln11lnhxxxxx2ln1112ln11lnlnxxxxhx21ln1ln12111xxxx当12x≥时，1111ln121ln221ln1ln10122xxe所以2ln11lnhxxxxx在1,上递增，又6423ln34ln3ln34ln729ln2564l0nh所以，当3x时，30hxh恒成立。即：当3k时，30hkh成立。即：当3k时，12llnn10kkkk恒成立.所以当3k，1211kkak恒成立.由（ⅰ）（ⅱ）可得：对任意的正整数nN，不等式11nnan恒成立，命题得证.2．（2019·江苏高三高考模拟）已知数列na是各项都不为0的无穷数列，对任意的n≥3，nN，1223aaaa11(1)nnnaanaa恒成立．（1）如果11a，21a，31a成等差数列，求实数的值；（2）已知＝1．①求证：数列1na是等差数列；②已知数列na中，12aa．数列nb是公比为q的等比数列，满足111ba，221ba，31iba(iN)．求证：q是整数，且数列nb中的任意一项都是数列1na中的项．3【答案】（1）1（2）①见解析②见解析【解析】（1）由题可得：当3n时，12233131aaaaaa两边同除以123aaa，可得：312112aaa因为11a，21a，31a成等差数列，所以312112aaa所以2222aa，解得：1（2）①由题可得：当3n时，1223aaaa111nnnaanaa…（Ⅰ）用1n代上式中的n，可得：1223aaaa1111nnnnnaaaanaa…（Ⅱ）（Ⅱ）（Ⅰ）得：11111nnnnaanaanaa上式两边同除以11nnaaa可得：1111nnnnaaa整理得：11111111nnnnaaaa整理得：111111nnnanana（ⅰ）由（1）得，当3n时，11a，21a，31a成等差数列，结论正确.（ⅱ）假设nk时，结论正确。即：2311111,,,...kaaaa成等差数列，且公差为d下证1nk时，211311111,,,...,kkaaaaa成等差数列.即证111kkdaa4又1111111111111kkkkkkaakakaakaka11111111kkddkaak.所以111kkdaa成立.由（ⅰ）（ⅱ）可得：对任意的3n，数列1na是等差数列.②由①得：数列1na是等差数列，公差为d所以2111daa，1111iidaa（iN）又111ba，221ba，31iba成等比数列，所以221111iaaa，即：21111111didaaa整理得：113dai所以2112313aqidiaddi，所以q是整数数列nb中的任意一项111112nnnbbqia令1nkba，则1111121nikdaa整理得：12313ndikddii，整理得：12113niki又1121311nnii120121111133...31nnnnnnnnCiCiCiC52301211133...3nnnnnnCiCiCi所以2301211133...313nnnnnnCiCiCiki解得：2301211133...1nnnnnnkCiCiC即：存在kZ，使得：1nkba成立所以数列nb中的任意一项都是数列1na中的项．3．（2019·江苏高三高考模拟）在教材中，我们已研究出如下结论：平面内n条直线最多可将平面分成211122nn个部分．现探究：空间内n个平面最多可将空间分成多少个部分，*nN．设空间内n个平面最多可将空间分成32()1fnanbncn个部分．（1）求abc，，的值；（2）用数学归纳法证明此结论．【答案】（1）15,0,66abc；（2）见解析.【解析】(1)由12,24,38fff得18+42327937abcabcabc解得15,0,66abc(2)用数学归纳法证明3*15166fnnnnN，①当1n时，显然成立②假设当nk时成立，即315166fkkk那么当+1nk时，在k个平面的基础上再添上第1k个平面因为它和前k个平面都相交，所以可得到k条互不平行且不共点的交线，且其中任何3条直线不共点，这k条交线可以把第1k个平面划分成211122kk个部分；每个部分把它所在的原有空间区域划分成两个区域，因此，空间区域的总数增加了211122kk个，所以6323211151115111111122662266fkfkkkkkkkkk即+1nk时，结论成立根据①②可知，3*151,66fnnnnN4．（2019·江苏高三高考模拟）已知*12(4)naaannN，，，，均为非负实数，且122naaa．证明：（1）当4n时，12233441+++1aaaaaaaa；（2）对于任意的*4nnN，，122311++++1nnnaaaaaaaa．【答案】（1）见解析；（2）见解析【解析】【分析】（1）利用23124122334413124a+a+a+aaa+aa+aa+aa=a+aa+a?=12证明即可；（2）运用数学归纳法证明即可【详解】（1）当n4时，因为1a，2a，…，4a均为非负实数，且1234aaaa2，所以122334412134313124aa+aa+aa+aa=a(a+a)+aa+aa+aa+a23124a+a+a+a=12．（2）①当n4时，由（1）可知，命题成立；②假设当nkk4时，命题成立，即对于任意的k4，若1x，2x，…，kx均为非负实数，且12kx+x++x2，则1223k1kk1xx+xx++xx+xx1．则当nk+1时，设12kk+1a+a++a+a2，并不妨设k+112kk+1amaxaaaa，，，，．令11223k1kkk1xa+axaxaxa，，，，则12kx+x++x2．由归纳假设，知1223k1kk1xx+xx++xx+xx1．因为123aaa，，均为非负实数，且k+11aa，所以712k1123k112xx+xxaaaaaa23k1113k121223k11aaaaaaaaaaaaaa．所以12k123k1k1223k1134kk11(xx+xx)+(xx++xx)aaaaaaaaaa，即1223kk+1k+11aa+aa++aa+aa1，也就是说，当nk+1时命题也成立．所以，由①②可知，对于任意的456bbb，1223n1nn1aa+aa++aa+aa1．5．（2019·江苏高三高考模拟）已知数列满足，，．（1）用数学归纳法证明：；（2）令，证明：．【答案】(1)详见解析(2)详见解析【解析】（1）证明：当时，，结论显然成立；假设当时，，则当时，，综上，.（2）由（1）知，，所以.因为，所以，即，于是，所以，故构成以2为公比的等比数列，其首项为.8于是，从而，所以，即，于是，因为当时，，当时，，所以对，有，所以，所以，从而.6．（2018·江苏高三高考模拟）在含有个元素的集合中，若这个元素的一个排列（，，…，）满足，则称这个排列为集合的一个错位排列（例如：对于集合，排列是的一个错位排列；排列不是的一个错位排列）.记集合的所有错位排列的个数为.（1）直接写出，，，的值；（2）当时，试用，表示，并说明理由；（3）试用数学归纳法证明：为奇数.【答案】（1）见解析；（2）；（3）见解析【解析】试题分析：（1）根据定义列错位排列，根据错位排列的个数得，，，的值；（2）根据定义理解，，三者关系，需先确定两类，有两个数恰好错排与这两个数不错排，再降数处理，（3）先根据递推关系得对任意正奇数，有均为偶数，再利用以及归纳假设得结论.试题解析：（1），，，，（2），理由如下：对的元素的一个错位排列（，，…，），若，分以下两类：若，这种排列是个元素的错位排列，共有个；9若，这种错位排列就是将，，…，，，…，排列到第到第个位置上，不在第个位置，其他元素也不在原先的位置，这种排列相当于个元素的错位排列，共有个；根据的不同的取值，由加法原理得到；（3）根据（2）的递推关系及（1）的结论，均为自然数；当，且为奇数时，为偶数，从而为偶数，又也是偶数，故对任意正奇数，有均为偶数.下面用数学归纳法证明（其中）为奇数.当时，为奇数；假设当时，结论成立，即是奇数，则当时，，注意到为偶数，又是奇数，所以为奇数，又为奇数，所以，即结论对也成立；根据前面所述，对任意，都有为奇数.7．（2019·江苏高三高考模拟）已知数列{}na的前n项和为nS，01na.（1）若332S，求证：1a，2a，3a必可以被分为1组或2组，使得每组所有数的和小于1；（2）若12nkS，求证：1a，2a，…，na必可以被分为m组（1mk），使得每组所有数的和小于1．【答案】（1）见解析；（2）见解析.【解析