2020年高考数学一轮复习 考点32 数列的综合问题必刷题 理（含解析）

1考点32数列的综合问题1．（北京市房山区2019年高考第一次模拟测试理）《九章算术》中有如下问题：今有蒲生一日，长三尺，莞生一日，长1尺．蒲生日自半，莞生日自倍．问几何日而长等？意思是：今有蒲第一天长高3尺，莞第一天长高1尺，以后蒲每天长高前一天的一半，莞每天长高前一天的2倍．若蒲、莞长度相等，则所需时间为（）（结果精确到0.1．参考数据：lg2=0.3010，lg3=0.4771．）A．天B．天C．天D．天【答案】C【解析】设蒲的长度组成等比数列{an}，其a1=3，公比为，其前n项和为An，则An=.莞的长度组成等比数列{bn}，其b1=1，公比为2，其前n项和为Bn．则Bn，由题意可得：，整理得：2n+=7，解得2n=6，或2n=1（舍去）．∴n=≈2.6．∴估计2.6日蒲、莞长度相等.故选：C．2．（新疆乌鲁木齐市2018届高三第三次诊断性测验）已知数列，满足，，，则数列的前10项的和为A．B．C．D．【答案】D【解析】由an+1﹣an2，2所以数列{an}是等差数列，且公差是2，{bn}是等比数列，且公比是2．又因为＝1，所以an＝+（n﹣1）d＝2n﹣1．所以b2n﹣1＝•22n﹣2＝22n﹣2．设，所以＝22n﹣2，所以4，所以数列{∁n}是等比数列，且公比为4，首项为1．由等比数列的前n项和的公式得：其前10项的和为（410﹣1）．故选：D．3．（安徽省“皖南八校”2018届高三第三次（4月)联考）删去正整数数列中的所有完全平方数，得到一个新数列，这个数列的第2018项是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】由题意可得，这些数可以写为：，第个平方数与第个平方数之间有个正整数，而数列共有项，去掉个平方数后，还剩余个数，所以去掉平方数后第项应在后的第个数，即是原来数列的第项，即为，故选B.4．（华大新高考联盟2018届高三上学期11月教学质量测评理）已知等比数列na的前n项和为nS,，则42SS（）A．2B．3C．4D．5【答案】B【解析】由可得312aa，所以22q，又因为，所以选B.5．（湖南省2017届高三高考冲刺预测卷六理）最近各大城市美食街火爆热开，某美食店特定在2017年元3旦期间举行特大优惠活动，凡消费达到88元以上者，可获得一次抽奖机会.已知抽奖工具是一个圆面转盘，被分为6个扇形块，分别记为1，2，3，4，5，6，其面积成公比为3的等比数列（即扇形块2是扇形块1面积的3倍），指针箭头指在最小的1区域内时，就中“一等奖”，则一次抽奖抽中一等奖的概率是（）A．140B．1121C．1364D．11093【答案】C【解析】由题意，可设1,2,3,4,5,6扇形区域的面积分别为，则由几何概型得，消费88元以上者抽中一等奖的概率，故选C.6．（湖北省钟祥市2019届高三高考第一次模拟考试理）对于实数x，[x]表示不超过x的最大整数，已知正数列{an}满足Sn=12（ann1a），n∈N*，其中Sn为数列{an}的前n项的和，则[]=______．【答案】20【解析】由题可知0nS，当1n时，化简可得，当所以数列2{}nS是以首项和公差都是1的等差数列，即又1n时，记一方面另一方面所以2021S即[]20S故答案为207．（北京市朝阳区2019届高三第一次（3月)综合练习一模）天坛公园是明、清两代皇帝“祭天”“祈谷”4的场所．天坛公园中的圜丘台共有三层（如图1所示），上层坛的中心是一块呈圆形的大理石板，从中心向外围以扇面形石（如图2所示）．上层坛从第一环至第九环共有九环，中层坛从第十环至第十八环共有九环，下层坛从第十九环至第二十七环共有九环；第一环的扇面形石有9块，从第二环起，每环的扇面形石块数比前一环多9块，则第二十七环的扇面形石块数是______；上、中、下三层坛所有的扇面形石块数是_______．【答案】2433402【解析】第一环的扇面形石有9块，从第二环起，每环的扇面形石块数比前一环多9块，则依题意得：每环的扇面形石块数是一个以9为首项，9为公差的等差数列，所以，an＝9＋（n－1）×9＝9n，所以，a27＝9×27＝243，前27项和为：＝3402.8．（江苏省南京师大附中2018届高三高考考前模拟考试）在数列{an}中，若a4＝1，a12＝5，且任意连续三项的和都是15，则a2018＝______．【答案】9【解析】分析：将an+an+1+an+2=15中n换为n+1，可得数列{an}是周期为3的数列．求出a2，a1，即可得到a2018详解：由题意可得an+an+1+an+2=15，将n换为an+1+an+2+an+3=15，可得an+3=an，可得数列{an是周期为3的数列．故，由an+an+1+an+2=15，n取1可得，故，故答案为9.9．（湖北省武昌2018届元月调研考试）对任一实数序列，定义新序列，它的第项为，假设序列的所有项都是，且，则__________．【答案】100.5【解析】设序列的首项为，则序列，则它的第n项为，因此序列A的第项，则是关于的二次多项式，其中的系数为，因为，所以必有，故。10．（湖南省株洲市醴陵第二中学、醴陵第四中学2018届高三上学期两校期中联考数学理）在数1和2之间插入n个正数，使得这n+2个数构成递增等比数列，将这n+2个数的乘积记为nA，令．(1)数列na的通项公式为na=____________；(2)=___________．【答案】22n;【解析】1设在数1和2之间插入n个正数，使得这2n个数构成递增等比数列nb则，即12nqq，为此等比数列的公比故数列na的通项公式为22nna2由1可得，又6,*nN故答案为11．（湖南省2017届高三高考冲刺预测卷六理）已知数列na的前n项和为nS，且，若对一切*nN恒成立，则实数的取值范围是__________．【答案】13,18【解析】，当1n时，.又113a且，，得，因为，所以当4n时，取得最大值，最大值为，故答案为13,18.12．（山东省淄博市2019届部分学校高三阶段性诊断考试）已知等比数列{}na的前n项和为成等差数列，且.（1）求数列{}na的通项公式；（2）若，求数列1nb的前n项和nT.【答案】(1)12nna(2)【解析】（1）设等比数列{}na的公比为q，7由成等差数列知，，所以432aa，即12q.又，所以，所以112a，所以等差数列{}na的通项公式12nna.（2）由（1）知，所以所以数列1nb的前n项和：所以数列1nb的前n项和13．（北京市西城区2019届高三4月统一测试一模）如图，设A是由nn(2)n个实数组成的n行n列的数表，其中ija表示位于第i行第j列的实数，且{1,1}ija.11a12a1na21a22a2na1na2nanna8定义为第s行与第t行的积.若对于任意,st（st），都有0stp，则称数表A为完美数表.（Ⅰ）当2n时，试写出一个符合条件的完美数表；（Ⅱ）证明：不存在10行10列的完美数表；（Ⅲ）设A为n行n列的完美数表，且对于任意的1,2,,ilL和1,2,,jkL，都有1ija，证明：kln≤.【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）（1）见解析，（2）不存在10行10列的完美数表；（Ⅲ）见解析【解析】（Ⅰ）答案不唯一.如1111（Ⅱ）假设存在10行10列的完美数表A.根据完美数表的定义，可以得到以下两个结论：（1）把完美数表的任何一列的数变为其相反数（即1均变为1，而1均变为1），得到的新数表是完美数表；（2）交换完美数表的任意两列，得到的新数表也是完美数表.完美数表A反复经过上述两个结论的变换，前三行可以为如下形式：111111111111111111111111x共列y共列z共列w共列在这个新数表中，设前三行中的数均为1的有x列，前三行中“第1,2行中的数为1，且第3行中的数为-1”的有y列，前三行中“第1,3行中的数为1，且第2行中的数为-1”的有z列，前三行中“第1行中的数为1，且第2,3行中的数为-1”的有w列（如上表所示），9则由120p，得；由130p，得；由230p，得.解方程组，，，，得.这与矛盾，所以不存在10行10列的完美数表.（Ⅲ）记第1列前l行中的数的和，第2列前l行中的数的和，……，第n列前l行中的数的和，因为对于任意的1,2,,il和，都有1ija，所以.又因为对于任意,st（st），都有0stp，所以.又因为，所以2lnlk，即kln.14．（江苏省姜堰、溧阳、前黄中学2018届高三4月联考）科学研究证实,二氧化碳等温空气体的排放(简称碳排放)对全球气候和生态环境产生了负面影响，环境部门对A市每年的碳排放总量规定不能超过550万吨,否则将采取紧急限排措施.已知A市2017年的碳排放总量为400万吨，通过技术改造和倡导低碳生活等措施，此后每年的碳排放量比上一年的碳排放总量减少10%.同时,因经济发展和人口增加等因素,每年又新增加碳排放量m万吨0m＞.（1）求A市2019年的碳排放总量(用含m的式子表示）；（2）若A市永远不需要采取紧急限排措施,求m的取值范围.【答案】(1)(2)40m（3）0,55m【解析】10设2018年的碳排放总量为1a，2019年的碳排放总量为2a，…（Ⅰ）由已知，,=3241.9m.（Ⅱ）,…,,.由已知有（1）当即40m时,显然满足题意；（2）当即40m时，由指数函数的性质可得:，解得190m.综合得40m；（3）当即40m时，由指数函数的性质可得:10550m，解得55m,综合得4055m.（13分）综上可得所求范围是0,55m.15．（江苏省南京师大附中2018届高三高考考前模拟考试数学试题）已知等差数列{an}和等比数列{bn}均不是常数列，若a1＝b1＝1，且a1，2a2，4a4成等比数列，4b2，2b3，b4成等差数列．（1）求{an}和{bn}的通项公式；（2）设m，n是正整数，若存在正整数i，j，k（i＜j＜k），使得ambj，amanbi，anbk成等差数列，求m＋n的最小值；（3）令cn＝，记{cn}的前n项和为Tn，{}的前n项和为An．若数列{pn}满足p1＝c1，且对∈N*，都有pn＝＋Ancn，设{pn}的前n项和为Sn，求证：Sn＜4＋4lnn．11【答案】（1）（2）或（3）见解析【解析】分析：（1）设等差数列的公差为d（d≠0），等比数列在公比为q（q≠1）根据等差等比的通项公式化为首项和公差公比的关系求出公差公比记得到通项；（2）由ambj，amanbi，anbk成等差数列，有，即，化简得，可得，即，然后结合m，n进行讨论求值即可；（3）结合错位相减法求和，在结合函数的思维构造不等式可得结论.解：（1）设等差数列的公差为d（d≠0），等比数列在公比为q（q≠1），由题意得：解得d＝1，q＝2，所以.（2）由ambj，amanbi，anbk成等差数列，有，即，由于，且为正整数，所以，所以，可得，即，①当1≤m≤2时，不等式不成立；②当或时成立；③当时，，，即，则有；所以的最小值为6，当且仅当，且或时取得．（3）由题意得：12（1）（2）（1）—（2）得，求得，所以，设，则，所以在上单调递增，有，可得.当，且N*时，，有，所以，可得，所以.16．（四川省南充高级中学2018届高三考前模拟考试数学理）已知函数，.（1）当时，恒成立，试求实数的取值范围；（2）若数列满足：，，证明：.13【答案】（1）；（2）见解析【解析】（1）依题意，恒成立，即恒成立，亦即恒成立.令，则，令，则，在上单调递增，在上也单调递增，当时，，在上单调递增，恒成立，当时，在上单调递减，在上单调递增，而，所以在不恒成立，故实数的取值范围是；（2），所以，若，则，由（1）知，在上单调递增，且，即当时，，