（江苏专用）2020年高考数学一轮复习 考点22 正弦定理和余弦定理的应用必刷题（含解析）

1考点22正弦定理和余弦定理的应用1．（江苏省苏锡常镇2018届高三3月教学情况调研一）设三角形的内角，，的对边分别为，，，已知，则__________．【答案】【解析】因为，所以2．（江苏省南京师大附中2018届高三高考考前模拟考试）在中，已知，则的最小值是________．【答案】【解析】分已知，可得，将角A,B,C的余弦定理代入得，由，当a=b时取到等号，故cosC的最小值为.3．（江苏省启东中学第一次月考数学试题）在锐角三角形ABC中，角A,B,C的对边分别为,,abc，且满足22baac，则11tantanAB的取值范围为___________.【答案】2313，【解析】∵22baac，∴22222cosbaacacacB，∴2coscaBa，由正弦定理得sin2sincossinCABA，又sinsinsincoscossinCABABAB，∴sincossinsincossinAABABBA，∵ABC是锐角三角形，∴ABA，2∴2,3BACA，∴02{022032AAA，解得64A，∴232A，即32B．∵sin11coscossincoscossintantansinsinsinsinsinsinBAABBABAABABABABsin1sinsinsinAABB．又3sin12B，∴231sin3B．故11tantanAB的取值范围为231,3．答案：231,3．4．（江苏省苏北六市2018届高三第二次调研测试）在△ABC中，已知AB＝1，AC＝2，B＝45°，则BC的长为_______．【答案】262【解析】222cos2ABBCACBABBC即221222BCBC化简得：2210BCBC解得262BC．5．（江苏省南通、徐州、扬州等六市2018届高三第二次调研二模）在ABC中，已知31245ABACB，，，则BC的长为____．【答案】262【解析】由题意得1c，2b.根据余弦定理得2222122cos222acbaBaca∴2210aa∵0a∴262a，即262BC.故答案为262.6．（江苏省南通市2019届高三年级阶段性学情联合调研）某海警基地码头的正西方向海里处有海礁界碑，过点且与成角(即北偏东)的直线为此处的一段领海与公海的分界线(如图所示)。在码头的正西方向且距离点海里的领海海面处有一艘可疑船停留，基地指挥部决定在测定可疑船的行驶方向后，海警巡逻艇从处即刻出发。若巡逻艇以可疑船的航速的倍前去拦截，假定巡逻艇和可疑船在拦截过程中均未改变航向航速，将在点处截获可疑船。(1)若可疑船的航速为海里小时，，且可疑船沿北偏西的方向朝公海逃跑，求巡逻艇成功拦截可疑船所用的时间。(2)若要确保在领海内(包括分界线)成功拦截可疑船，求的最小值。【答案】（1）小时；（2）。(1)因为巡逻艇的航速是可疑船的航速的2倍，可疑船的航速为海里/小时，所以巡逻艇的航速为海里4/小时，且，设，则，又可疑船沿北偏西的方向朝公海逃跑，所以，在中，有，即，故，解得(负值舍去)所以小时。(2)以为坐标原点，的方向为轴的正方向，建立如图所示的平面直角坐标系，则，设，因为巡逻艇的航速是可疑船的航速的倍，所以，故，即故可疑船被截获的轨迹是以为圆心，以为半径的圆，又直线的方程为，即，要确保在领海内(包括分界线)成功拦截可疑船，则：圆心在直线下方，且的轨迹与直线至多只有一个公共点，所以且即，解得，故要确保在领海内(包括分界线)成功拦截可疑船，则.7．（江苏省南京市2019届高三上学期综合模拟）某城市在进行规划时，准备设计一个圆形的开放式公园.5为达到社会和经济效益双丰收.园林公司进行如下设计，安排圆内接四边形作为绿化区域，其余作为市民活动区域.其中区域种植花木后出售，区域种植草皮后出售，已知草皮每平方米售价为元，花木每平方米的售价是草皮每平方米售价的三倍.若km，km（1）若km，求绿化区域的面积；（2）设，当取何值时，园林公司的总销售金额最大.【答案】（1）绿化区域的面积为；（2）当时，园林公司的销售金额最大，最大为百万元.【解析】（1）在中，，，，由余弦定理得，因为，所以，又因为、、、共圆，所以.在中，由余弦定理得，将，代入化简得，解得（舍去）.所以即绿化空间的面积为（2）在、中分别利用余弦定理得①②6联立①②消去得，得，解得（舍去）.因为，所以，即.因为草皮每平方米售价为元，则花木每平方米售价为元，设销售金额为百万元.令，解得，又，不妨设，则函数在上为增函数；令，解得，则函数在上为减函数，所以当时，.答：（1）绿化区域的面积为；（2）当时，园林公司的销售金额最大，最大为百万元.8．（江苏省苏州市2018届高三调研测试）如图，B,C分别是海岸线上的两个城市，两城市间由笔直的海滨公路相连，B，C之间的距离为100km，海岛A在城市B的正东方50处．从海岛A到城市C，先乘船按北偏西θ角（，其中锐角的正切值为）航行到海岸公路P处登陆，再换乘汽车到城市C．已知船速为25km/h，车速为75km/h.（1）试建立由A经P到C所用时间与的函数解析式；（2）试确定登陆点P的位置，使所用时间最少，并说明理由．【答案】（1），定义域为（2）17.687【解析】试题分析：（1）由轮船航行的方位角为，可得，，由直角三角形的性质及三角函数的定义可得，，所以，则由经到所用时间与的函数关系为，可得函数的定义域为，其中锐角的正切值为；（2）利用导数研究函数的单调性，可得在上递减，在上递增，（），所以可得时函数取得最小值，此时≈17.68.试题解析：（1）由题意，轮船航行的方位角为θ，所以，，则，．．由A到P所用的时间为，由P到C所用的时间为，所以由A经P到C所用时间与θ的函数关系为．函数的定义域为，其中锐角的正切值为.（2）由（1），，，，令，解得，设θ0，使θ00减函数极小值增函数所以，当时函数f(θ)取得最小值，此时BP=≈17.68，答：在BC上选择距离B为17.68处为登陆点，所用时间最少．9．（江苏省南通市2018年高考数学模拟）如图，在△ABC中，为所对的边，CD⊥AB于D，且．8（1）求证：；（2）若，求的值．【答案】（1）见解析（2）【解析】（1）证明：因为，所以，由正弦定理，得，所以．（2）解：由（1）得，，所以，化简，得．又，所以，所以，，所以．10．（江苏省南京师大附中2018届高三高考考前模拟考试）如图，三个警亭有直道相通，已知在的正北方向6千米处，在的正东方向千米处.（1）警员甲从出发，沿行至点处，此时，求的距离；（2）警员甲从出发沿前往，警员乙从出发沿前往，两人同时出发，甲的速度为3千米/小时，乙的速度为6千米/小时.两人通过专用对讲机保持联系，乙到达后原地等待，直到甲到达时任务结束.若对讲机的有效通话距离不超过9千米，试问两人通过对讲机能保持联系的总时长？9【答案】（1）；（2）【解析】分析：（1）在中，，，，然后由正弦定理可得BP，（2）甲从C到A，需要4小时，乙从A到B需要1小时．设甲、乙之间的距离为，要保持通话则需要．当时，当时，分别求得对应的时长在求和即得到结论.解：（1）在中，，，由正弦定理，，即，故的距离是9－3千米．（2）甲从C到A，需要4小时，乙从A到B需要1小时．设甲、乙之间的距离为，要保持通话则需要．当时，，即，解得，又所以，时长为小时．当时，10，即，解得，又所以，时长为3小时．3＋＝（小时）．答：两人通过对讲机能保持联系的总时长是小时．11．（江苏省海门中学2018届高三5月考试）已知斜三角形△ABC中，.(1)求角C(2)若，求当△ABC的周长最大时的三角形的面积【答案】(1).(2).【解析】（1），.（2），，最大，则△ABC的周长最大，此时12．（2017-2018学年度第一学期江苏省南通如皋市高三年级第一次联考）如图，矩形ABCD是某小区户外活动空地的平面示意图，其中AB＝503米，AD＝100米，现拟在直角三角形OMN内栽植草坪供儿童踢球娱乐（其中，点O为AD的中点，OM⊥ON，点M在AB上，点N在CD上），将破旧的道路AM重新铺设．已知草坪成本为每平方米20元，新道路AM成本为每米500元，设∠OMA＝θ，记草坪栽植与新道路铺设所需的总费用为f(θ)．11（1）求f(θ)关于θ函数关系式，并写出定义域；（2）为节约投入成本，当tanθ为何值时，总费用f(θ)最小？【答案】（1）f(θ)＝1125000sincostan，其定义域为ππ63，；（2）500002【解析】（1）据题意，在Rt∆OAM中，OA＝50，∠OMA＝θ，所以AM＝50tan，OM＝50sin，据平面几何知识可知∠DON＝θ，在Rt∆ODN中，OD＝50，∠DON＝θ，所以ON＝50cos，所以f(θ)＝20500OMNSAM＝1505050205002sincostan＝1125000sincostan，据题意，当点M与点B重合时，θ取最小值π6；当点N与点C重合时，θ取最大值π3，所以ππ63，所以f(θ)＝1125000sincostan，其定义域为ππ63，．（2）由（1）可知，f(θ)＝1125000sincostan，ππ63，'f＝2222220cossinsincos25000sinsincos＝2222sincos125000sinsincos＝222sin2cos25000sincos，令'f＝0，得0tan2，其中0ππ63，，列表：12θπ60π6，00π3，π3'f-0f7250003↘极小值500002↗5250003所以当tan2时，总费用f(θ)取最小值500002，可节约投入成本．13．（江苏省南京市六校联合体2019届高三12月联考）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且．（1）求角B；（2）若，，求，．【答案】（1）；（2）.【解析】（1）在中，由正弦定理，得．又因为在中．所以．法一：因为，所以，因而．所以，所以．法二：即，所以，因为，所以．（2）由正弦定理得，13而，所以，①由余弦定理，得，即，②把①代入②得.14．（江苏省高邮市2018届高三上学期期初考试）已知一块半径为的残缺的半圆形材料，O为半圆的圆心，，残缺部分位于过点的竖直线的右侧．现要在这块材料上截出一个直角三角形，有两种设计方案：如图甲，以为斜边；如图乙，直角顶点在线段上，且另一个顶点在上．要使截出的直角三角形的面积最大，应该选择哪一种方案？请说明理由，并求出截得直角三角形面积的最大值．【答案】选择图乙的方案，截得的直角三角形面积最大，最大值为【解析】如图甲，设，则，，所以，当且仅当时取等号，此时点到的距离为，可以保证点在半圆形材料内部，因此按照图甲方案得到直角三角形的最大面积为．如图乙，设，则，，所以，．14设，则，当时，，所以时，即点与点重合时，的面积最大值为．因为，所以选择图乙的方案，截得的直角三角形面积最大，最大值为.15．（江苏省苏州市2018届高三调研测试三）已知中，若角对应的边分别为，满足，.(1)若的面积为，求；(2)若，求的面积.【答案】（1）（2）或【解析】(1)由得，即.又，那么，即，得到，即有.(2)由题意有及余弦定理有，即，①又由可知，②由①②得到，亦即，可知或.经检验，或均符合题意；那么的面积为或.16．（江苏省南京市2018届高三第三次模拟考试）如图，公园里有一湖泊，其边界由两