2020版高考数学大一轮复习 第四章 三角函数、解三角形 4.4 函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象

1§4.4函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及应用最新考纲考情考向分析1.了解函数y＝Asin(ωx＋φ)的物理意义；能画出y＝Asin(ωx＋φ)的图象．2.了解参数A，ω，φ对函数图象变化的影响．3.会用三角函数解决一些简单实际问题，体会三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型.以考查函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象的五点法画图、图象之间的平移伸缩变换、由图象求函数解析式以及利用正弦型函数解决实际问题为主，常与三角函数的性质、三角恒等变换结合起来进行综合考查，加强数形结合思想的应用意识．题型为选择题和填空题，中档难度.1．y＝Asin(ωx＋φ)的有关概念y＝Asin(ωx＋φ)(A0，ω0)，x≥0振幅周期频率相位初相AT＝2πωf＝1T＝ω2πωx＋φφ2.用五点法画y＝Asin(ωx＋φ)(A0，ω0，x∈R)一个周期内的简图时，要找五个特征点x0－φωπ2－φωπ－φω错误!错误!ωx＋φ0π2π3π22πy＝Asin(ωx＋φ)0A0－A03.函数y＝sinx的图象经变换得到y＝Asin(ωx＋φ)(A0，ω0)的图象的两种途径2概念方法微思考1．怎样从y＝sinωx的图象变换得到y＝sin(ωx＋φ)(ω0，φ0)的图象？提示向左平移φω个单位长度．2．函数y＝sin(ωx＋φ)图象的对称轴是什么？提示x＝kπω＋π2ω－φω(k∈Z)．题组一思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)y＝sinx－π4的图象是由y＝sinx＋π4的图象向右平移π2个单位长度得到的．(√)(2)将函数y＝sinωx的图象向右平移φ(φ0)个单位长度，得到函数y＝sin(ωx－φ)的图象．(×)(3)函数y＝Acos(ωx＋φ)的最小正周期为T，那么函数图象的两个相邻对称中心之间的距离为T2.(√)(4)函数y＝sinx的图象上各点纵坐标不变，横坐标缩短为原来的12，所得图象对应的函数解析式为y＝sin12x.(×)题组二教材改编2．为了得到函数y＝2sin2x－π3的图象，可以将函数y＝2sin2x的图象向平移个单位长度．答案右π63．y＝2sin12x－π3的振幅、频率和初相分别为．3答案2，14π，－π34．如图，某地一天从6～14时的温度变化曲线近似满足函数y＝Asin(ωx＋φ)＋b，则这段曲线的函数解析式为．答案y＝10sinπ8x＋3π4＋20，x∈[6,14]解析从题图中可以看出，从6～14时的是函数y＝Asin(ωx＋φ)＋b的半个周期，所以A＝12×(30－10)＝10，b＝12×(30＋10)＝20，又12×2πω＝14－6，所以ω＝π8.又π8×10＋φ＝2π＋2kπ，k∈Z，取φ＝3π4，所以y＝10sinπ8x＋3π4＋20，x∈[6,14]．题组三易错自纠5．要得到函数y＝sin4x＋π3的图象，只需将函数y＝sin4x的图象()A．向左平移π12个单位长度B．向右平移π12个单位长度C．向左平移π3个单位长度D．向右平移π3个单位长度答案A解析∵y＝sin4x＋π3＝sin4x＋π12，4∴要得到y＝sin4x＋π3的图象，只需将函数y＝sin4x的图象向左平移π12个单位长度．6．将函数y＝2sin2x＋π6的图象向右平移14个周期后，所得图象对应的函数为．答案y＝2sin2x－π3解析函数y＝2sin2x＋π6的周期为π，将函数y＝2sin2x＋π6的图象向右平移14个周期，即π4个单位长度，所得函数为y＝2sin2x－π4＋π6＝2sin2x－π3.7．(2018·乌海模拟)y＝cos(x＋1)图象上相邻的最高点和最低点之间的距离是．答案π2＋4解析相邻最高点与最低点的纵坐标之差为2，横坐标之差恰为半个周期π，故它们之间的距离为π2＋4.8．(2018·沈阳质检)若函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A0，ω0，0φπ)的部分图象如图所示，则fπ4的值为．答案3解析由题干图象可知A＝2，34T＝11π12－π6＝3π4，∴T＝π，∴ω＝2，∵当x＝π6时，函数f(x)取得最大值，∴2×π6＋φ＝π2＋2kπ(k∈Z)，∴φ＝π6＋2kπ(k∈Z)，又0φπ，∴φ＝π6，∴f(x)＝2sin2x＋π6，则fπ4＝2sinπ2＋π6＝2cosπ6＝3.5题型一函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及变换例1(2018·丹东模拟)已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)A0，ω0，－π2φπ2的最小正周期是π，且当x＝π6时，f(x)取得最大值2.(1)求f(x)的解析式；(2)作出f(x)在[0，π]上的图象(要列表)．解(1)因为函数f(x)的最小正周期是π，所以ω＝2.又因为当x＝π6时，f(x)取得最大值2.所以A＝2，同时2×π6＋φ＝2kπ＋π2，k∈Z，φ＝2kπ＋π6，k∈Z，因为－π2φπ2，所以φ＝π6，所以f(x)＝2sin2x＋π6.(2)因为x∈[0，π]，所以2x＋π6∈π6，13π6，列表如下：2x＋π6π6π2π3π22π13π6x0π65π122π311π12πf(x)120－201描点、连线得图象：引申探究在本例条件下，若将函数f(x)的图象向右平移m(m0)个单位长度后得到函数y＝g(x)的图6象，且y＝g(x)是偶函数，求m的最小值．解由已知得y＝g(x)＝f(x－m)＝2sin2x－m＋π6＝2sin2x－2m－π6是偶函数，所以2m－π6＝π2(2k＋1)，k∈Z，m＝kπ2＋π3，k∈Z，又因为m0，所以m的最小值为π3.思维升华(1)y＝Asin(ωx＋φ)的图象可用“五点法”作简图得到，可通过变量代换z＝ωx＋φ计算五点坐标．(2)由函数y＝sinx的图象通过变换得到y＝Asin(ωx＋φ)的图象有两条途径：“先平移后伸缩”与“先伸缩后平移”．跟踪训练1(1)(2018·本溪调研)若把函数y＝sinωx－π6的图象向左平移π3个单位长度，所得到的图象与函数y＝cosωx的图象重合，则ω的一个可能取值是()A．2B.32C.23D.12答案A解析y＝sinωx＋ω3π－π6和函数y＝cosωx的图象重合，可得ω3π－π6＝π2＋2kπ，k∈Z，则ω＝6k＋2，k∈Z.∴2是ω的一个可能值．(2)把函数y＝sinx的图象上所有点的横坐标都缩小到原来的一半，纵坐标保持不变，再把图象向右平移π6个单位长度，所得图象的函数解析式为__________．答案y＝sin2x－π3解析把函数y＝sinx的图象上所有点的横坐标都缩小到原来的一半，纵坐标保持不变，得到函数y＝sin2x的图象，再把该函数图象向右平移π6个单位长度，得到函数y＝sin2x－π6＝sin2x－π3的图象．题型二由图象确定y＝Asin(ωx＋φ)的解析式例2(1)若函数y＝Asin(ωx＋φ)的部分图象如图所示，则y＝.7答案2sin2x－π6解析由题图可知，A＝2，T＝2π3－－π6＝π，所以ω＝2，由五点作图法可知2×π3＋φ＝π2，所以φ＝－π6，所以函数的解析式为y＝2sin2x－π6.(2)已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)ω0，|φ|π2的部分图象如图所示，则y＝fx＋π6取得最小值时x的集合为．答案xx＝kπ－π3，k∈Z解析根据题干所给图象，周期T＝4×7π12－π3＝π，故π＝2πω，∴ω＝2，因此f(x)＝sin(2x＋φ)，另外图象经过点7π12，0，代入有2×7π12＋φ＝π＋2kπ(k∈Z)，再由|φ|π2，得φ＝－π6，∴f(x)＝sin2x－π6，∴fx＋π6＝sin2x＋π6，当2x＋π6＝－π2＋2kπ(k∈Z)，即x＝－π3＋kπ(k∈Z)时，y＝fx＋π6取得最小值．思维升华y＝Asin(ωx＋φ)中φ的确定方法(1)代入法：把图象上的一个已知点代入(此时要注意该点在上升区间上还是在下降区间上)或把图象的最高点或最低点代入．(2)五点法：确定φ值时，往往以寻找“五点法”中的特殊点作为突破口．跟踪训练2(2018·满洲里质检)已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋BA0，ω0，|φ|π2的部分图象如图所示，将函数f(x)的图象向左平移m(m0)个单位长度后，得到函数g(x)的图象关于点π3，32对称，则m的值可能为()8A.π6B.π2C.7π6D.7π12答案D解析依题意得A＋B＝332，－A＋B＝－32，解得A＝3，B＝32，T2＝πω＝2π3－π6＝π2，故ω＝2，则f(x)＝3sin(2x＋φ)＋32.又fπ6＝3sinπ3＋φ＋32＝332，故π3＋φ＝π2＋2kπ(k∈Z)，即φ＝π6＋2kπ(k∈Z)．因为|φ|π2，故φ＝π6，所以f(x)＝3sin2x＋π6＋32.将函数f(x)的图象向左平移m个单位长度后得到g(x)＝3sin2x＋π6＋2m＋32的图象，又函数g(x)的图象关于点π3，32对称，即h(x)＝3sin2x＋π6＋2m的图象关于点π3，0对称，故3sin2π3＋π6＋2m＝0，即5π6＋2m＝kπ(k∈Z)，故m＝kπ2－5π12(k∈Z)．令k＝2，则m＝7π12.题型三三角函数图象、性质的综合应用命题点1图象与性质的综合问题例3(2018·锦州模拟)已知函数f(x)＝2sinωx＋π6＋1＋a(ω0)图象上最高点的纵坐标为2，且图象上相邻两个最高点的距离为π.(1)求a和ω的值；9(2)求函数f(x)在[0，π]上的单调递减区间．解(1)当sinωx＋π6＝1时，f(x)取得最大值2＋1＋a＝3＋a.又f(x)最高点的纵坐标为2，∴3＋a＝2，即a＝－1.又f(x)的图象上相邻两个最高点的距离为π，∴f(x)的最小正周期T＝π，∴ω＝2πT＝2.(2)由(1)得f(x)＝2sin2x＋π6，由π2＋2kπ≤2x＋π6≤3π2＋2kπ，k∈Z，得π6＋kπ≤x≤2π3＋kπ，k∈Z.令k＝0，得π6≤x≤2π3.∴函数f(x)在[0，π]上的单调递减区间为π6，2π3.命题点2函数零点(方程根)问题例4已知关于x的方程2sin2x－3sin2x＋m－1＝0在π2，π上有两个不同的实数根，则m的取值范围是．答案(－2，－1)解析方程2sin2x－3sin2x＋m－1＝0可转化为m＝1－2sin2x＋3sin2x＝cos2x＋3sin2x＝2sin2x＋π6，x∈π2，π.设2x＋π6＝t，则t∈76π，136π，∴题目条件可转化为m2＝sint，t∈76π，136π有两个不同的实数根．∴y＝m2和y＝sint，t∈76π，136π的图象有两个不同交点，如图：10由图象观察知，m2的取值范围是－1，－12，故m的取值范围是(－2，－1)．引申探究本例中，若将“有两个不同的实数根”改成“有实根”，则m的取值范围是．答案[－2,1)解析由上例题知，m2的取值范围是－1，12，∴－2≤m1，∴m的取值范围是[－2,1)．命题点3三角函数模型例5据市场调查，某种商品一年内每件出厂价在7千元