2020版高考数学大一轮复习 第十一章 算法、统计与统计案例 11.4 变量的相关性教案 理（含解析

1§11.4变量的相关性最新考纲考情考向分析1.会作两个相关变量的数据的散点图，会利用散点图认识变量间的相关关系．2.了解最小二乘法的思想，能根据给出的线性回归方程系数公式建立线性回归方程．3.了解独立性检验的基本思想、方法及其初步应用．4.了解回归分析的基本思想、方法及简单应用.回归分析，独立性检验是全国卷高考重点考查的内容，必考一个解答题，选择、填空题中也会出现．主要考查回归方程，相关系数，利用回归方程进行预测，独立性检验的应用等.1．变量间的相关关系2．散点图以一个变量的取值为横坐标，另一个变量的相应取值为纵坐标，在直角坐标系中描点，这样的图形叫做散点图．3．回归直线方程与回归分析(1)直线方程y^＝a＋bx，叫做Y对x的回归直线方程，b叫做回归系数．要确定回归直线方程，只要确定a与回归系数b.(2)用最小二乘法求回归直线方程中的a，b有下列公式2b^＝∑ni＝1xiyi－nxy∑ni＝1x2i－nx2，a^＝y－b^x，其中的a^，b^表示是由观察值按最小二乘法求得的a，b的估计值．(3)相关性检验①计算相关系数r，r具有以下性质：|r|≤1，并且|r|越接近1，线性相关程度越强；|r|越接近0，线性相关程度越弱；②|r|r0.05，表明有95%的把握认为x与Y之间具有线性相关关系，回归直线方程有意义；否则寻找回归直线方程毫无意义．4．独立性检验(1)2×2列联表：BB合计An11n12n1＋An21n22n2＋合计n＋1n＋2n其中n1＋＝n11＋n12，n2＋＝n21＋n22，n＋1＝n11＋n21，n＋2＝n12＋n22，n＝n11＋n12＋n21＋n22.(2)χ2统计量：χ2＝nn11n22－n12n212n1＋n2＋n＋1n＋2.(3)两个临界值：3.841与6.635当χ23.841时，有95%的把握说事件A与B有关；当χ26.635时，有99%的把握说事件A与B有关；当χ2≤3.841时，认为事件A与B是无关的．概念方法微思考1．变量的相关关系与变量的函数关系有什么区别？提示相同点：两者均是指两个变量的关系．不同点：①函数关系是一种确定的关系，相关关系是一种非确定的关系．②函数关系是一种因果关系，而相关关系不一定是因果关系，也可能是伴随关系．2．如何判断两个变量间的线性相关关系？提示散点图中点的分布从整体上看大致在一条直线附近，或者通过计算相关系数作出判断．3．独立性检验的基本步骤是什么？提示列出2×2列联表，计算χ2值，根据临界值表得出结论．4．回归直线方程是否都有实际意义？根据回归直线方程进行预报是否一定准确？3提示(1)不一定都有实际意义．回归分析是对具有相关关系的两个变量进行统计分析的方法，只有在散点图大致呈线性时，求出的回归直线方程才有实际意义，否则，求出的回归直线方程毫无意义．(2)根据回归方程进行预报，仅是一个预报值，而不是真实发生的值．题组一思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)相关关系与函数关系都是一种确定性的关系，也是一种因果关系．(×)(2)“名师出高徒”可以解释为教师的教学水平与学生的水平成正相关关系．(√)(3)只有两个变量有相关关系，所得到的回归模型才有预测价值．(√)(4)某同学研究卖出的热饮杯数y与气温x(℃)之间的关系，得回归直线方程y^＝－2.352x＋147.767，则气温为2℃时，一定可卖出143杯热饮．(×)(5)事件X，Y关系越密切，则由观测数据计算得到的χ2的值越大．(√)题组二教材改编2．为调查中学生近视情况，测得某校男生150名中有80名近视，在140名女生中有70名近视．在检验这些学生眼睛近视是否与性别有关时，用下列哪种方法最有说服力()A．回归分析B．期望与方差C．独立性检验D．概率答案C解析“近视”与“性别”是两类变量，其是否有关，应用独立性检验判断．3．下面是2×2列联表：y1y2合计x1a2173x2222547合计b46120则表中a，b的值分别为()A．94,72B．52,50C．52,74D．74,52答案C解析∵a＋21＝73，∴a＝52.又a＋22＝b，∴b＝74.4．某车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了5次试验．根据4收集到的数据(如下表)，由最小二乘法求得回归方程y^＝0.67x＋54.9.零件数x(个)1020304050加工时间y(min)62758189现发现表中有一个数据看不清，请你推断出该数据的值为________．答案68解析由x＝30，得y＝0.67×30＋54.9＝75.设表中的“模糊数字”为a，则62＋a＋75＋81＋89＝75×5，∴a＝68.题组三易错自纠5．某医疗机构通过抽样调查(样本容量n＝1000)，利用2×2列联表和χ2统计量研究患肺病是否与吸烟有关．计算得χ2＝4.453，经查阅临界值表知P(χ23.841)≈0.05，现给出四个结论，其中正确的是()A．在100个吸烟的人中约有95个人患肺病B．若某人吸烟，那么他有95%的可能性患肺病C．有95%的把握认为“患肺病与吸烟有关”D．只有5%的把握认为“患肺病与吸烟有关”答案C解析由已知数据可得，有1－0.05＝95%的把握认为“患肺病与吸烟有关”．6．在一次考试中，5名学生的数学和物理成绩如下表：(已知学生的数学和物理成绩具有线性相关关系)学生的编号i12345数学成绩x8075706560物理成绩y7066686462现已知其回归直线方程为y^＝0.36x＋a^，则根据此线性回归方程估计数学得90分的同学的物理成绩为______．(四舍五入到整数)答案73解析x＝60＋65＋70＋75＋805＝70，y＝62＋64＋66＋68＋705＝66，所以66＝0.36×70＋a^，a^＝40.8，即回归直线方程为y^＝0.36x＋40.8.5当x＝90时，y^＝0.36×90＋40.8＝73.2≈73.题型一相关关系的判断例1(1)观察下列各图形，其中两个变量x，y具有相关关系的图是()A．①②B．①④C．③④D．②③答案C解析由散点图知③中的点都分布在一条直线附近．④中的点都分布在一条曲线附近，所以③④中的两个变量具有相关关系．(2)(2018·沈阳质检)根据下面给出的2004年至2013年我国二氧化硫排放量(单位：万吨)的柱形图．以下结论不正确的是()A．逐年比较，2008年减少二氧化硫排放量的效果最显著B．2007年我国治理二氧化硫排放显现成效C．2006年以来我国二氧化硫年排放量呈减少趋势D．2006年以来我国二氧化硫年排放量与年份正相关答案D解析从2006年，将每年的二氧化硫排放量与前一年作差比较，得到2008年二氧化硫排放量与2007年排放量的差最大，A选项正确；2007年二氧化硫排放量较2006年降低了很多，B选项正确；虽然2011年二氧化硫排放量较2010年多一些，但自2006年以来，整体呈递减趋势，C选项正确；自2006年以来我国二氧化硫年排放量与年份负相关，D选项错误，故选D.思维升华判定两个变量正，负相关性的方法6(1)画散点图：点的分布从左下角到右上角，两个变量正相关；点的分布从左上角到右下角，两个变量负相关．(2)相关系数：当r0时，正相关；当r0时，负相关．(3)回归直线方程中：当b^0时，正相关；当b^0时，负相关．跟踪训练1在一组样本数据(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)(n≥2，x1，x2，…，xn不全相等)的散点图中，若所有样本点(xi，yi)(i＝1,2，…，n)都在直线y＝－12x＋1上，则这组样本数据的样本相关系数为()A．－1B．0C．－12D．1答案A解析完全的线性关系，且为负相关，故其相关系数为－1，故选A.题型二回归分析命题点1线性回归分析例2下图是我国2011年至2017年生活垃圾无害化处理量(单位：亿吨)的折线图．注：年份代码1～7分别对应年份2011～2017.(1)由折线图看出，可用线性回归模型拟合y与t的关系，请用相关系数加以说明；(2)建立y关于t的回归方程(系数精确到0.01)，预测2019年我国生活垃圾无害化处理量．附注：参考数据：i＝17yi＝9.32，i＝17tiyi＝40.17，i＝17yi－y2＝0.55，7≈2.646.参考公式：相关系数r＝i＝1nti－tyi－yi＝1nti－t2i＝1nyi－y2，7回归方程y^＝a^＋b^t中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：b^＝i＝1nti－tyi－yi＝1nti－t2，a^＝y－b^t.解(1)由折线图中数据和附注中参考数据得t＝4，i＝17(ti－t)2＝28,i＝17yi－y2＝0.55.i＝17(ti－t)(yi－y)＝i＝17tiyi－ti＝17yi＝40.17－4×9.32＝2.89，所以r≈2.890.55×2×2.646≈0.99.因为y与t的相关系数近似为0.99，说明y与t的线性相关程度相当高，从而可以用线性回归模型拟合y与t的关系．(2)由y＝9.327≈1.331及(1)得b^＝i＝17ti－tyi－yi＝17ti－t2＝2.8928≈0.10，a^＝y－b^t≈1.331－0.10×4≈0.93.所以y关于t的回归方程为y^＝0.93＋0.10t.将2019年对应的t＝9代入回归方程得y^＝0.93＋0.10×9＝1.83.所以预测2019年我国生活垃圾无害化处理量约为1.83亿吨．命题点2非线性回归例3某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x(单位：千元)对年销售量y(单位：t)和年利润z(单位：千元)的影响，对近8年的年宣传费xi和年销售量yi(i＝1,2，…，8)数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值．8xywi＝18(xi－x)2i＝18(wi－w)2i＝18(xi－x)·(yi－y)i＝18(wi－w)·(yi－y)46.65636.8289.81.61469108.8表中wi＝xi，w＝18i＝18wi.(1)根据散点图判断，y＝a＋bx与y＝c＋dx哪一个适宜作为年销售量y关于年宣传费x的回归方程类型？(给出判断即可，不必说明理由)(2)根据(1)的判断结果及表中数据，建立y关于x的回归方程；(3)已知这种产品的年利润z与x，y的关系为z＝0.2y－x.根据(2)的结果回答下列问题：①年宣传费x＝49时，年销售量及年利润的预报值是多少？②年宣传费x为何值时，年利润的预报值最大？附：对于一组数据(u1，v1)，(u2，v2)，…，(un，vn)，其回归直线v^＝α^＋β^u的斜率和截距的最小二乘估计分别为β^＝i＝1nui－uvi－vi＝1nui－u2，α^＝v－β^u.解(1)由散点图可以判断，y＝c＋dx适宜作为年销售量y关于年宣传费x的回归方程类型．(2)令w＝x，先建立y关于w的线性回归方程，由于d^＝i＝18wi－w·yi－yi＝18wi－w2＝108.81.6＝68，c^＝y－d^w＝563－68×6.8＝100.6，9所以y关于w的回归直线方程为y^＝100.6＋68w，因此y关于x的回归方程为y^＝100.6＋68x.(3)①由(2)知，当x＝49时，年销售量y的预报值y^＝100.6＋6849＝576.6，年利润z的预报值z^＝576.6×0.2－49＝66.32.②根据(2)的结果知，年利润z的预报值z^＝0.2(100.6＋68x)－x＝－x＋13.6x＋20.12.所以当x＝13.62＝6.8，即x＝46.24时，z^取得最大值．故年宣传费为46.24千元时，年利润的预报值最大．思维升华回归分析问题的类型及解题方法(1)求回归方程①根据散点图判断两变量是否线性相关，如不是，应通过换元构造线性相关．②利用公式，求出回归系数b^.③待定系数法：利用回归直线过样本点的中心求系数a^.(2)利用回归方程进行预测，把线性回归方程