（江苏专用）2020版高考数学大一轮复习 第一章 集合与常用逻辑用语 1.3 命题及其关系、充分条件

1§1.3命题及其关系、充分条件与必要条件考情考向分析命题的真假判断和充分、必要条件的判定是考查的主要形式，多与集合、函数、不等式、立体几何中的线面关系相交汇，考查学生的推理能力，题型为填空题，低档难度．1．命题用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题，其中判断为真的语句叫做真命题，判断为假的语句叫做假命题．2．四种命题及其相互关系(1)四种命题间的相互关系(2)四种命题的真假关系①两个命题互为逆否命题，它们具有相同的真假性；②两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系．3．充分条件、必要条件与充要条件的概念一般地，如果p⇒q，那么称p是q的充分条件，q是p的必要条件p是q的充分不必要条件p⇒q，且q⇏pp是q的必要不充分条件p⇏q，且q⇒pp是q的充要条件p⇔qp是q的既不充分又不必要条件p⇏q，且q⇏p概念方法微思考若条件p，q以集合的形式出现，即A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}，则由A⊆B可得，p是q的充分条件，请写出集合A，B的其他关系对应的条件p，q的关系．2提示若AB，则p是q的充分不必要条件；若A⊇B，则p是q的必要条件；若AB，则p是q的必要不充分条件；若A＝B，则p是q的充要条件；若A⊈B且A⊉B，则p是q的既不充分又不必要条件．题组一思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)“对顶角相等”是命题．(√)(2)命题“若p，则q”的否命题是“若p，则綈q”．(×)(3)当q是p的必要条件时，p是q的充分条件．(√)(4)若原命题为真，则这个命题的否命题、逆命题、逆否命题中至少有一个为真．(√)题组二教材改编2．[P8习题T2]下列命题是真命题的是________．(填序号)①矩形的对角线相等；②若ab，cd，则acbd；③若整数a是素数，则a是奇数；④命题“若x20，则x1”的逆否命题．答案①3．[P7例1]“x－3＝0”是“(x－3)(x－4)＝0”的__________条件．(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分又不必要”)答案充分不必要题组三易错自纠4．命题“若x2y2，则xy”的逆否命题是____________．答案若x≤y，则x2≤y2解析根据原命题和其逆否命题的条件和结论的关系，得命题“若x2y2，则xy”的逆否命题是“若x≤y，则x2≤y2”．5．“sinα0”是“α是第一象限角”的____________条件．答案必要不充分解析由sinα0，可得α是第一或第二象限角及终边在y轴正半轴上；若α是第一象限角，则sinα0，所以“sinα0”是“α是第一象限角”的必要不充分条件．36．已知集合A＝x122x8，x∈R，B＝{x|－1xm＋1，x∈R}，若x∈B成立的一个充分不必要条件是x∈A，则实数m的取值范围是____________．答案(2，＋∞)解析A＝x122x8，x∈R＝{x|－1x3}，∵x∈B成立的一个充分不必要条件是x∈A，∴AB，∴m＋13，即m2.题型一命题及其关系1．下列命题是真命题的是________．(填序号)①若1x＝1y，则x＝y；②若x2＝1，则x＝1；③若x＝y，则x＝y；④若xy，则x2y2.答案①2．某食品的广告词为“幸福的人们都拥有”，这句话的等价命题是______________．答案不拥有的人们不幸福3．命题“若a≥2，则a2≥4”的否命题是______________．答案若a2，则a244．有下列四个命题：①“若xy＝1，则x，y互为倒数”的逆命题；②“面积相等的三角形全等”的否命题；③“若m≤1，则x2－2x＋m＝0有实数解”的逆否命题；④“若A∩B＝B，则A⊆B”的逆否命题．其中真命题为________．(填写所有真命题的序号)答案①②③解析①“若xy＝1，则x，y互为倒数”的逆命题是“若x，y互为倒数，则xy＝1”，显然是真命题，故①正确；②“面积相等的三角形全等”的否命题是“面积不相等的三角形不全等”，显然是真命题，故②正确；③若x2－2x＋m＝0有实数解，则Δ＝4－4m≥0，解得m≤1，所以“若m≤1，则x2－2x＋m＝0有实数解”是真命题，故其逆否命题是真命题，故③正确；④若A∩B＝B，则B⊆A，故原命题错误，所以其逆否命题错误，故④错误．思维升华(1)写一个命题的其他三种命题时，需注意：①对于不是“若p，则q”形式的命题，需先改写；4②若命题有大前提，写其他三种命题时需保留大前提．(2)判断一个命题为真命题，要给出推理证明；判断一个命题是假命题，只需举出反例即可．(3)根据“原命题与逆否命题同真同假，逆命题与否命题同真同假”这一性质，当一个命题直接判断不易进行时，可转化为判断其等价命题的真假．题型二充分、必要条件的判定例1(1)设x∈R，则“2x2”是“1x1”的________条件．(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分又不必要”)答案充分不必要解析解不等式2x2，得x1；不等式1x1，即为x－1x0，解得x1或x0.∵{x|x1}⊆{x|x1或x0}，∴“2x2”是“1x1”的充分不必要条件．(2)已知条件p：x1或x－3，条件q：5x－6x2，则綈p是綈q的____________条件．答案充分不必要解析由5x－6x2，得2x3，即q：2x3.所以q⇒p，p⇏q，所以綈p⇒綈q，綈q⇏綈p，所以綈p是綈q的充分不必要条件．思维升华充分条件、必要条件的三种判定方法(1)定义法：根据p⇒q，q⇒p进行判断，适用于定义、定理判断性问题．(2)集合法：根据p，q成立的对象的集合之间的包含关系进行判断，多适用于命题中涉及字母范围的推断问题．(3)等价转化法：根据一个命题与其逆否命题的等价性，把判断的命题转化为其逆否命题进行判断，适用于条件和结论带有否定性词语的命题．跟踪训练1(1)(2018·盐城模拟)设向量a＝(sin2θ，cosθ)，b＝(cosθ，1)，则“a∥b”是“tanθ＝12成立”的______________条件．(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分又不必要”)答案必要不充分解析a∥b⇔sin2θ＝cos2θ⇔cosθ＝0或2sinθ＝cosθ⇔cosθ＝0或tanθ＝12，所以5“a∥b”是“tanθ＝12成立”的必要不充分条件．(2)习近平总书记曾引用一句老话“打铁还需自身硬”来强调领导干部自身素质建设的重要性．那么“打铁”是“自身硬”的________条件．答案必要不充分题型三充分、必要条件的应用例2已知P＝{x|x2－8x－20≤0}，非空集合S＝{x|1－m≤x≤1＋m}．若x∈P是x∈S的必要条件，求m的取值范围．解由x2－8x－20≤0，得－2≤x≤10，∴P＝{x|－2≤x≤10}．由x∈P是x∈S的必要条件，知S⊆P.则1－m≤1＋m，1－m≥－2，∴0≤m≤3.1＋m≤10，∴当0≤m≤3时，x∈P是x∈S的必要条件，即所求m的取值范围是[0,3]．引申探究若本例条件不变，问是否存在实数m，使x∈P是x∈S的充要条件．解若x∈P是x∈S的充要条件，则P＝S，∴1－m＝－2，1＋m＝10，方程组无解，即不存在实数m，使x∈P是x∈S的充要条件．思维升华充分条件、必要条件的应用，一般表现在参数问题的求解上．解题时需注意：(1)把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(或不等式组)求解．(2)要注意区间端点值的检验．跟踪训练2(1)设p：|2x＋1|m(m0)；q：x－12x－10.若p是q的充分不必要条件，则实数m的取值范围为__________．答案(0,2]解析由|2x＋1|m(m0)，得－m2x＋1m，∴－m＋12xm－12.6由x－12x－10，得x12或x1.∵p是q的充分不必要条件，又m0，∴m－12≤12，∴0m≤2.(2)设n∈N*，则一元二次方程x2－4x＋n＝0有整数根的充要条件是n＝________.答案3或4解析由Δ＝16－4n≥0，得n≤4，又n∈N*，则n＝1,2,3,4.当n＝1,2时，方程没有整数根；当n＝3时，方程有整数根1,3，当n＝4时，方程有整数根2.综上可知，n＝3或4.利用充要条件求参数范围逻辑推理是从事实和命题出发，依据规则推出其他命题的素养．逻辑推理的主要形式是演绎推理，它是得到数学结论、证明数学命题的主要方式，也是数学交流、表达的基本思维品质．例已知条件p：2x2－3x＋1≤0，条件q：x2－(2a＋1)x＋a(a＋1)≤0.若綈p是綈q的必要不充分条件，则实数a的取值范围是________．答案0，12解析方法一命题p为x12≤x≤1，命题q为{x|a≤x≤a＋1}．綈p对应的集合A＝xx1或x12，綈q对应的集合B＝{x|xa＋1或xa}．∵綈p是綈q的必要不充分条件，∴a＋11，a≤12或a＋1≥1，a12，∴0≤a≤12.方法二命题p为A＝x12≤x≤1，命题q为B＝{x|a≤x≤a＋1}．∵綈p是綈q的必要不充分条件，∴p是q的充分不必要条件，即AB.7∴a＋1≥1，a12或a＋11，a≤12，∴0≤a≤12.素养提升例题中得到实数a的范围的过程就是利用已知条件进行推理论证的过程，数学表达严谨清晰．1．命题“若a－3，则a－6”以及它的逆命题、否命题、逆否命题中假命题的个数为________．答案2解析原命题正确，从而其逆否命题也正确；其逆命题为“若a－6，则a－3”是假命题，从而其否命题也是假命题．因此4个命题中有2个假命题．2．命题“若ab，则a＋cb＋c”的否命题是________________．答案若a≤b，则a＋c≤b＋c解析否命题是将原命题的条件和结论都否定，故命题“若ab，则a＋cb＋c”的否命题是“若a≤b，则a＋c≤b＋c”．3．“φ＝π2”是“函数y＝sin(x＋φ)的图象关于y轴对称”的________条件．(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分又不必要”)答案充分不必要解析若函数y＝sin(x＋φ)的图象关于y轴对称，则φ＝π2＋kπ，k∈Z，∴必要性不成立．若φ＝π2，则函数y＝sin(x＋φ)＝cosx的图象关于y轴对称，∴充分性成立．∴“φ＝π2”是“函数y＝sin(x＋φ)的图象关于y轴对称”的充分不必要条件．4．“若a≤b，则ac2≤bc2”，则原命题及命题的逆命题、否命题和逆否命题中真命题的个数是________．答案2解析其中原命题和逆否命题为真命题，逆命题和否命题为假命题．5．有下列命题：①“若x＋y0，则x0且y0”的否命题；8②“矩形的对角线相等”的否命题；③“若m1，则mx2－2(m＋1)x＋m＋30的解集是R”的逆命题；④“若a＋7是无理数，则a是无理数”的逆否命题．其中正确的是________．(填序号)答案①③④解析①的逆命题“若x0且y0，则x＋y0”为真，故否命题为真；②的否命题为“不是矩形的图形对角线不相等”，为假命题；③的逆命题为“若mx2－2(m＋1)x＋m＋30的解集为R，则m1”．因为当m＝0时，解集不是R，所以应有m0，Δ0，即m1.所以③是真命题；④原命题为真，逆否命题也为真．所以正确的命题序号是①③④.6．直线l1：(3＋m)x＋4y＝5－3m，l2：2x＋(5＋m)y＝8.则“m≠－7”是“l1与l2相交”的________条件．(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分又不必要”)答案必要不充分解析因为l1与l2相交，所以(3＋m)(5＋m)≠8，所以m≠－1且m≠－7.所以“m≠－7”是“l1与l2