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1§10.4随机事件的概率考情考向分析以考查随机事件、互斥事件与对立事件的概率为主，试题为简单题，题型为填空题．1．概率和频率(1)在相同的条件S下重复n次试验，观察某一事件A是否出现，称n次试验中事件A出现的次数nA为事件A出现的频数，称事件A出现的比例fn(A)＝nAn为事件A出现的频率．(2)对于给定的随机事件A，在相同条件下，随着试验次数的增加，事件A发生的频率会在某个常数附近摆动并趋于稳定，我们可以用这个常数来刻画随机事件A发生的可能性大小，并把这个常数称为随机事件A的概率，记作P(A)．2．事件的关系与运算定义符号表示包含关系如果事件A发生，则事件B一定发生，这时称事件B包含事件A(或称事件A包含于事件B)B⊇A(或A⊆B)相等关系若B⊇A且A⊇BA＝B并事件(和事件)若某事件发生当且仅当事件A发生或事件B发生，称此事件为事件A与事件B的并事件(或和事件)A∪B(或A＋B)交事件(积事件)若某事件发生当且仅当事件A发生且事件B发生，则称此事件为事件A与事件B的交事件(或积事件)A∩B(或AB)互斥事件若A∩B为不可能事件(A∩B＝∅)，则称事件A与事件B互斥A∩B＝∅对立事件若A∩B为不可能事件，A∪B为必然事件，那么称事件A与事件B互为对立事件A∩B＝∅，P(A)＋P(B)＝13.概率的几个基本性质(1)概率的取值范围：0≤P(A)≤1.2(2)必然事件的概率P(E)＝1.(3)不可能事件的概率P(F)＝0.(4)概率的加法公式如果事件A与事件B互斥，则P(A∪B)＝P(A)＋P(B)．(5)对立事件的概率若事件A与事件B互为对立事件，则P(A)＝1－P(B)．概念方法微思考1．随机事件A发生的频率与概率有何区别与联系？提示随机事件A发生的频率是随机的，而概率是客观存在的确定的常数，但在大量随机试验中事件A发生的频率稳定在事件A发生的概率附近．2．随机事件A，B互斥与对立有何区别与联系？提示当随机事件A，B互斥时，不一定对立，当随机事件A，B对立时，一定互斥．题组一思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)事件发生的频率与概率是相同的．(×)(2)在大量重复试验中，概率是频率的稳定值．(√)(3)两个事件的和事件是指两个事件都得发生．(×)(4)两互斥事件的概率和为1.(×)题组二教材改编2．[P94练习T1]下列事件是随机事件的有________．(填序号)①若a，b，c都是实数，则a·(b·c)＝(a·b)·c；②没有空气和水，人也可以生存下去；③掷一枚硬币，出现反面；④在标准大气压下，水的温度达到90℃时沸腾．答案③解析①为必然事件，③为随机事件，②④为不可能事件．3．[P97练习T1]某地气象局预报说，明天本地降雨的概率为80%，则下列解释正确的是________．(填序号)①明天本地有80%的区域降雨，20%的区域不降雨；②明天本地有80%的时间降雨，20%的时间不降雨；③明天本地降雨的可能性是80%；3④以上说法均不正确．答案③解析选项①②显然不正确，因为80%的概率是指降雨的概率，而不是指80%的区域降雨，更不是指有80%的时间降雨，是指降雨的可能性是80%.4．[P101例3]同时投掷两枚大小相同的骰子，用(x，y)表示结果，记A为“所得点数之和小于5”，则事件A包含的基本事件有________个．答案6解析由题意知，事件A包含的基本事件有(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,1)，(2,2)，(3,1)，共6个．题组三易错自纠5．从16个同类产品(其中有14个正品，2个次品)中任意抽取3个，则下列事件中概率为1的是________．(填序号)①三个都是正品；②三个都是次品；③三个中至少有一个是正品；④三个中至少有一个是次品．答案③解析16个同类产品中，只有2个次品，从中抽取三件产品，则①是随机事件，②是不可能事件，③是必然事件，④是随机事件．又必然事件的概率为1，所以答案为③.6．从{1,2,3,4,5}中随机选取一个数a，从{1,2,3}中随机选取一个数b，则ba的概率是________．答案15解析基本事件的个数为5×3＝15，其中满足ba的有3种，所以ba的概率为315＝15.7．从一箱产品中随机地抽取一件，设事件A＝{抽到一等品}，事件B＝{抽到二等品}，事件C＝{抽到三等品}，且已知P(A)＝0.65，P(B)＝0.2，P(C)＝0.1，则事件“抽到的产品不是一等品”的概率为________．答案0.35解析∵事件A＝{抽到一等品}，且P(A)＝0.65，∴事件“抽到的产品不是一等品”的概率为P＝1－P(A)＝1－0.65＝0.35.4题型一事件关系的判断1．从装有两个白球和两个黄球的口袋中任取2个球，以下给出了四组事件：①至少有1个白球与至少有1个黄球；②至少有1个黄球与都是黄球；③恰有1个白球与恰有1个黄球；④恰有1个白球与都是黄球．其中互斥而不对立的事件共有________组．答案1解析①中“至少有1个白球”与“至少有1个黄球”可以同时发生，如恰好1个白球和1个黄球，故两个事件不是互斥事件；②中“至少有1个黄球”说明可以是1个白球和1个黄球或2个黄球，故两个事件不互斥；③中“恰有1个白球”与“恰有1个黄球”都是指有1个白球和1个黄球，故两个事件是同一事件；④中两事件不能同时发生，也可能都不发生，因此两事件是互斥事件，但不是对立事件．2．在5张电话卡中，有3张移动卡和2张联通卡，从中任取2张，若事件“2张全是移动卡”的概率是310，那么概率是710的事件是________．答案至多有一张移动卡解析至多有一张移动卡包含“一张移动卡，一张联通卡”，“两张全是联通卡”两个事件，它是“2张全是移动卡”的对立事件．3．口袋里装有1红，2白，3黄共6个形状相同的小球，从中取出两个球，事件A＝“取出的两个球同色”，B＝“取出的两个球中至少有一个黄球”，C＝“取出的两个球中至少有一个白球”，D＝“取出的两个球不同色”，E＝“取出的两个球中至多有一个白球”．下列判断中正确的序号为____________．①A与D为对立事件；②B与C是互斥事件；③C与E是对立事件；④P(C∪E)＝1；⑤P(B)＝P(C)．答案①④解析当取出的两个球中一黄一白时，B与C都发生，②不正确；当取出的两个球中恰有一个白球时，事件C与E都发生，③不正确；显然A与D是对立事件，①正确；C∪E为必然事件，P(C∪E)＝1，④正确；P(B)＝45，P(C)＝35，⑤不正确．思维升华(1)准确把握互斥事件与对立事件的概念①互斥事件是不可能同时发生的事件，但可以同时不发生．②对立事件是特殊的互斥事件，特殊在对立的两个事件不可能都不发生，即有且仅有一个发生．(2)判断互斥、对立事件的方法5判断互斥事件、对立事件一般用定义判断，不可能同时发生的两个事件为互斥事件；两个事件若有且仅有一个发生，则这两事件为对立事件，对立事件一定是互斥事件．题型二随机事件的频率与概率例1某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完．根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温(单位：℃)有关．如果最高气温不低于25，需求量为500瓶；如果最高气温位于区间[20,25)，需求量为300瓶；如果最高气温低于20，需求量为200瓶．为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：最高气温[10,15)[15,20)[20,25)[25,30)[30,35)[35,40]天数216362574以最高气温位于各区间的频率估计最高气温位于该区间的概率．(1)估计六月份这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率；(2)设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y(单位：元)，当六月份这种酸奶一天的进货量为450瓶时，写出Y的所有可能值，并估计Y大于零的概率．解(1)这种酸奶一天的需求量不超过300瓶，当且仅当最高气温低于25，由表格数据知，最高气温低于25的频率为2＋16＋3690＝0.6，所以这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率的估计值为0.6.(2)当这种酸奶一天的进货量为450瓶时，若最高气温不低于25，则Y＝6×450－4×450＝900；若最高气温位于区间[20,25)，则Y＝6×300＋2(450－300)－4×450＝300；若最高气温低于20，则Y＝6×200＋2(450－200)－4×450＝－100，所以Y的所有可能值为900,300，－100.Y大于零当且仅当最高气温不低于20，由表格数据知，最高气温不低于20的频率为36＋25＋7＋490＝0.8.因此Y大于零的概率的估计值为0.8.思维升华(1)概率与频率的关系频率反映了一个随机事件出现的频繁程度，频率是随机的，而概率是一个确定的值，通常用概率来反映随机事件发生的可能性的大小，有时也用频率作为随机事件概率的估计值．(2)随机事件概率的求法利用概率的统计定义求事件的概率，即通过大量的重复试验，事件发生的频率会逐渐趋近于6某一个常数，这个常数就是概率．跟踪训练1某鲜花店将一个月(30天)某品种鲜花的日销售量与销售天数统计如下表，将日销售量落入各组区间的频率视为概率．日销售量(枝)[0,50)[50,100)[100，150)[150，200)[200，250]销售天数3天5天13天6天3天(1)求这30天中日销售量低于100枝的概率；(2)若此花店在日销售量低于100枝的时候选择2天做促销活动，求这2天恰好是在销售量低于50枝时的概率．解(1)设日销售量为x枝，则P(0≤x50)＝330＝110，P(50≤x100)＝530＝16，所以P(0≤x100)＝110＋16＝415.(2)日销售量低于100枝的共有8天，从中任选2天做促销活动，共有28种情况；日销售量低于50枝的共有3天，从中任选2天做促销活动，共有3种情况．所以所求概率为P＝328.题型三互斥、对立事件的概率命题点1互斥事件的概率例2袋中有12个小球，分别为红球、黑球、黄球、绿球，从中任取一球，取到红球的概率是13，取到黑球或黄球的概率是512，取到黄球或绿球的概率也是512，试求取到黑球、黄球和绿球的概率各是多少？解方法一从袋中选取一个球，记事件“摸到红球”、“摸到黑球”、“摸到黄球”、“摸到绿球”分别是A，B，C，D，则有P(A)＝13，P(B∪C)＝P(B)＋P(C)＝512，P(C∪D)＝P(C)＋P(D)＝512，P(B∪C∪D)＝P(B)＋P(C)＋P(D)＝1－P(A)＝1－13＝23，解得P(B)＝14，P(C)＝16，P(D)＝14，7因此取到黑球、黄球、绿球的概率分别是14，16，14.方法二设红球有n个，则n12＝13，所以n＝4，即红球有4个．又取到黑球或黄球的概率是512，所以黑球和黄球共5个．又总球数是12，所以绿球有12－4－5＝3(个)．又取到黄球或绿球的概率也是512，所以黄球和绿球共5个，而绿球有3个，所以黄球有5－3＝2(个)，所以黑球有12－4－3－2＝3(个)．因此取到黑球、黄球、绿球的概率分别是312＝14，212＝16，312＝14.命题点2对立事件的概率例3一盒中装有12个球，其中5个红球，4个黑球，2个白球，1个绿球．从中随机取出1球，求：(1)取出1球是红球或黑球的概率；(2)取出1球是红球或黑球或白球的概率．解方法一(利用互斥事件求概率)记事件A1＝{任取1球为红球}，A2＝{任取1球为黑球}，A3＝{任取1球为白球}，A4＝{任取1球为绿球}，则P(A1)＝512，P(A2)＝412＝13，P(A3)＝212＝16，P(A4)＝112.根据题意知，事件A1，A2，A3，A4彼此互斥，由互斥事件的概率公式，得(1)取出1球是红球或黑球的概率为P(A1∪A2)＝P(A1)＋P(A2)＝512＋412＝34.(2)取出1球是红球或黑球或白球的概率为P(A1∪A2∪A3)＝P(A1)＋P(A2)＋P(A3)＝512＋412＋21