（江苏专用）2020版高考数学大一轮复习 第十一章 计数原理、随机变量及其概率分布 11.4 离散型

1§11.4离散型随机变量及其概率分布考情考向分析以理解离散型随机变量及其概率分布的概念为主，考查离散型随机变量、离散型随机变量的概率分布的求法．在高考中常以解答题的形式进行考查，难度多为中低档．1．离散型随机变量的概率分布(1)随着试验结果变化而变化的变量叫做随机变量，常用字母X，Y，ξ，η，…表示，所有取值可以一一列出的随机变量叫做离散型随机变量．(2)一般地，若离散型随机变量X可能取的不同值为x1，x2，…，xi，…，xn，X取每一个值xi(i＝1,2，…，n)的概率P(X＝xi)＝pi，则称表Xx1x2…xi…xnPp1p2…pi…pn为离散型随机变量X的概率分布表．(3)离散型随机变量的概率分布的性质：①pi≥0，i＝1,2，…，n；②p1＋p2＋…＋pi＋…＋pn＝1.离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和．2．两点分布如果随机变量X的概率分布表为X01P1－pp其中0p1，则称离散型随机变量X服从两点分布．3．超几何分布一般地，设有N件产品，其中有M(M≤N)件次品．从中任取n(n≤N)件产品，用X表示取出的n件产品中次品的件数，那么P(X＝r)＝CrMCn－rN－MCnN(r＝0,1,2，…，l)．2即X01…lPC0MCn－0N－MCnNC1MCn－1N－MCnN…ClMCn－lN－MCnN其中l＝min(M，n)，且n≤N，M≤N，n，M，N∈N*.如果一个随机变量X的概率分布具有上表的形式，则称随机变量X服从超几何分布．概念方法微思考1．随机变量和函数有何联系和区别？提示区别：随机变量和函数都是一种映射，随机变量是随机试验结果到实数的映射，函数是实数到实数的映射；联系：随机试验结果的范围相当于函数的定义域，随机变量的取值范围相当于函数的值域．2．离散型随机变量X的每一个可能取值为实数，其实质代表的是什么？提示代表的是“事件”，即事件是用一个反映结果的实数表示的．3．如何判断所求离散型随机变量的概率分布是否正确？提示可用pi≥0，i＝1,2，…，n及p1＋p2＋…＋pn＝1检验．题组一思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)抛掷均匀硬币一次，出现正面的次数是随机变量．(√)(2)离散型随机变量的概率分布描述了由这个随机变量所刻画的随机现象．(√)(3)某人射击时命中的概率为0.5，此人射击三次命中的次数X服从两点分布．(×)(4)从4名男演员和3名女演员中选出4名，其中女演员的人数X服从超几何分布．(√)(5)离散型随机变量的各个可能取值表示的事件是彼此互斥的．(√)题组二教材改编2．[P48练习T3]设随机变量X的概率分布如下：X12345P112161316p则p＝________.答案143解析由概率分布的性质知，112＋16＋13＋16＋p＝1，∴p＝1－34＝14.3．[P52T1]有一批产品共12件，其中次品3件，每次从中任取一件，在取到合格品之前取出的次品数X的所有可能取值是____________．答案0,1,2,3解析因为次品共有3件，所以在取到合格品之前取到次品数为0,1,2,3.题组三易错自纠4．袋中有3个白球、5个黑球，从中任取2个，可以作为随机变量的是________．(填序号)①至少取到1个白球；②至多取到1个白球；③取到白球的个数；④取到的球的个数．答案③解析①②表述的都是随机事件；④是确定的值2，并不随机；③是随机变量，可能取值为0,1,2.5．随机变量X等可能取值1,2,3，…，n，如果P(X4)＝0.3，则n＝________.答案10解析由P(X4)＝P(X＝1)＋P(X＝2)＋P(X＝3)＝1n＋1n＋1n＝3n＝0.3，得n＝10.6．一盒中有12个乒乓球，其中9个新的、3个旧的，从盒中任取3个球来用，用完后装回盒中，此时盒中旧球个数X是一个随机变量，则P(X＝4)的值为______．答案27220解析由题意知取出的3个球必为2个旧球、1个新球，故P(X＝4)＝C23C19C312＝27220.题型一离散型随机变量的概率分布的性质1．离散型随机变量X的概率分布规律为P(X＝n)＝ann＋1(n＝1,2,3,4)，其中a是常数，则P12X52的值为________．答案56解析∵P(X＝n)＝ann＋1(n＝1,2,3,4)，4∴a2＋a6＋a12＋a20＝1，∴a＝54，∴P12X52＝P(X＝1)＋P(X＝2)＝54×12＋54×16＝56.2．设离散型随机变量X的概率分布为X01234P0.20.10.10.3m求2X＋1的概率分布．解由概率分布的性质知，0．2＋0.1＋0.1＋0.3＋m＝1，得m＝0.3.列表为X012342X＋113579从而2X＋1的概率分布为2X＋113579P0.20.10.10.30.3引申探究1．若题2中条件不变，求随机变量η＝|X－1|的概率分布．解由题2知m＝0.3，列表为X01234|X－1|10123∴P(η＝1)＝P(X＝0)＋P(X＝2)＝0.2＋0.1＝0.3，P(η＝0)＝P(X＝1)＝0.1，P(η＝2)＝P(X＝3)＝0.3，P(η＝3)＝P(X＝4)＝0.3.故η＝|X－1|的概率分布为η0123P0.10.30.30.352.若题2中条件不变，求随机变量η＝X2的概率分布．解依题意知η的值为0,1,4,9,16.列表为X01234X2014916从而η＝X2的概率分布为η014916P0.20.10.10.30.3思维升华(1)利用概率分布中各概率之和为1可求参数的值，此时要注意检验，以保证每个概率值均为非负数．(2)求随机变量在某个范围内的概率时，根据概率分布，将所求范围内各随机变量对应的概率相加即可，其依据是互斥事件的概率加法公式．题型二离散型随机变量的概率分布的求法命题点1与排列、组合有关的概率分布的求法例1在心理学研究中，常采用对比试验的方法评价不同心理暗示对人的影响，具体方法如下：将参加试验的志愿者随机分成两组，一组接受甲种心理暗示，另一组接受乙种心理暗示，通过对比这两组志愿者接受心理暗示后的结果来评价两种心理暗示的作用．现有6名男志愿者A1，A2，A3，A4，A5，A6和4名女志愿者B1，B2，B3，B4，从中随机抽取5人接受甲种心理暗示，另5人接受乙种心理暗示．(1)求接受甲种心理暗示的志愿者中包含A1但不包含B1的概率；(2)用X表示接受乙种心理暗示的女志愿者人数，求X的概率分布．解(1)记接受甲种心理暗示的志愿者中包含A1但不包含B1的事件为M，则P(M)＝C48C510＝518.(2)由题意知，X可取的值为0,1,2,3,4，则P(X＝0)＝C56C510＝142，P(X＝1)＝C46C14C510＝521，P(X＝2)＝C36C24C510＝1021，6P(X＝3)＝C26C34C510＝521，P(X＝4)＝C16C44C510＝142.因此X的概率分布为X01234P1425211021521142命题点2与互斥事件有关的概率分布的求法例2已知2件次品和3件正品混放在一起，现需要通过检测将其区分，每次随机检测一件产品，检测后不放回，直到检测出2件次品或者检测出3件正品时检测结束．(1)求第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品的概率；(2)已知每检测一件产品需要费用100元，设X表示直到检测出2件次品或者检测出3件正品时所需要的检测费用(单位：元)，求X的概率分布．解(1)记“第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品”为事件A，则P(A)＝A12A13A25＝310.(2)X的可能取值为200,300,400.P(X＝200)＝A22A25＝110，P(X＝300)＝A33＋C12C13A22A35＝310，P(X＝400)＝1－P(X＝200)－P(X＝300)＝1－110－310＝35.故X的概率分布为X200300400P11031035命题点3与独立事件(或独立重复试验)有关的概率分布的求法例3(2018·苏州期初)在公园游园活动中有这样一个游戏项目：甲箱子里装有3个白球和2个黑球，乙箱子里装有1个白球和2个黑球，这些球除颜色外完全相同，每次游戏都从这两个箱子里各随机地摸出2个球，若摸出的白球不少于2个，则获奖．每次游戏结束后将球放7回原箱．(1)求在一次游戏中摸出3个白球的概率；(2)在两次游戏中，记获奖次数为X，求X的概率分布．解(1)记“在一次游戏中摸出3个白球”为事件A，P(A)＝C23C12C25C23＝15.故在一次游戏中摸出3个白球的概率为15.(2)X的所有可能取值为0,1,2，记“在一次游戏中摸出2个白球”为事件B，P(B)＝C23C22＋C13C12C12C25C23＝12，则在一次游戏中获奖的概率为15＋12＝710.P(X＝0)＝310×310＝9100，P(X＝1)＝C12×710×310＝2150，P(X＝2)＝710×710＝49100.X的概率分布为X012P9100215049100思维升华求离散型随机变量X的概率分布的步骤(1)理解X的意义，写出X可能取的全部值；(2)求X取每个值的概率；(3)写出X的概率分布．求离散型随机变量的概率分布的关键是求随机变量所取值对应的概率，在求解时，要注意应用计数原理、古典概型等知识．跟踪训练1连续抛掷同一颗均匀的骰子，令第i次得到的点数为ai，若存在正整数k，使a1＋a2＋…＋ak＝6，则称k为你的幸运数字．(1)求你的幸运数字为3的概率；(2)若k＝1，则你的得分为6分；若k＝2，则你的得分为4分；若k＝3，则你的得分为2分；若抛掷三次还没找到你的幸运数字，则记0分，求得分ξ的概率分布．8解(1)设“连续抛掷3次骰子，和为6”为事件A，则它包含事件A1，A2，A3，其中A1：三次恰好均为2；A2：三次中恰好为1,2,3各一次；A3：三次中有两次均为1，一次为4.A1，A2，A3为互斥事件，则P(A)＝P(A1)＋P(A2)＋P(A3)＝C33163＋C13·16·C12·16·C11·16＋C23162·16＝5108.(2)由已知得ξ的可能取值为6,4,2,0，P(ξ＝6)＝16，P(ξ＝4)＝162＋2×C12×16×16＝536，P(ξ＝2)＝5108，P(ξ＝0)＝1－16－536－5108＝3554.故ξ的概率分布为ξ6420P1653651083554题型三超几何分布例4某外语学校的一个社团中有7名同学，其中2人只会法语，2人只会英语，3人既会法语又会英语，现选派3人到法国的学校交流访问．求：(1)在选派的3人中恰有2人会法语的概率；(2)在选派的3人中既会法语又会英语的人数X的概率分布．解(1)设事件A：选派的3人中恰有2人会法语，则P(A)＝C25C12C37＝47.(2)由题意知，X服从超几何分布，X的可能取值为0,1,2,3，P(X＝0)＝C34C37＝435，P(X＝1)＝C24C13C37＝1835，P(X＝2)＝C14C23C37＝1235，P(X＝3)＝C33C37＝135，∴X的概率分布为X0123P435183512351359思维升华(1)超几何分布的两个特点①超几何分布是不放回抽样问题；②随机变量为抽到的某类个体的个数．(2)超几何分布的应用条件①两类不同的物品(或人、事)；②已知各类对象的个数；③从中抽取若干个个体．跟踪训练2PM2.5是指悬浮在空气中的空气动力学当量直径小于或等于2.5微米的可入肺颗粒物．根据现行国家标准GB3095－2012，PM2.5日均值在35微克/立方米以下空气质量为一级；在35微克/立方米～75微克/立方米之间空气质量为二级；在75微克/立方米以上空气质量为超标．从某自然保护区2017年全年每天的PM2.5监测数据中随机地抽取10天的数据作为样本，监测值频数如下表所示：PM2.5日均值(微克/立方米)[25,35)[35,45)[45,55)[55,65)[65,75)[7