（江苏专用）2020版高考数学大一轮复习 第十一章 计数原理、随机变量及其概率分布 11.6 离散型

1§11.6离散型随机变量的均值与方差考情考向分析以理解均值与方差的概念为主，考查二项分布的均值与方差．掌握均值与方差的求法是解题关键．高考中常以解答题的形式考查，难度为中档．1．均值(1)若离散型随机变量X的概率分布为Xx1x2…xnPp1p2…pn则称E(X)＝μ＝x1p1＋x2p2＋…＋xnpn为X的均值或数学期望．(2)离散型随机变量的均值反映了离散型随机变量取值的平均水平．(3)均值的性质E(c)＝c，E(aX＋b)＝aE(X)＋b(a，b，c为常数)．2．方差(1)若离散型随机变量X所有可能的取值是x1，x2，…，xn，且这些值的概率分别是p1，p2，…，pn，则称：V(X)＝(x1－μ)2p1＋(x2－μ)2p2＋…＋(xn－μ)2pn为X的方差．(2)σ＝V(X)，叫标准差．(3)方差的性质a，b为常数，则V(aX＋b)＝a2V(X)．若X～B(n，p)，则E(X)＝np，V(X)＝np(1－p)．概念方法微思考随机变量的均值和方差有什么关系？提示均值(数学期望)反映了随机变量取值的平均水平，而方差则表现了随机变量所取的值对于它的均值(数学期望)的集中与离散的程度，因此二者的关系是十分密切的．2题组一思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)随机变量的均值是常数，样本的平均数是随机变量，它不确定．(√)(2)随机变量的方差和标准差都反映了随机变量取值偏离均值的平均程度，方差或标准差越小，则偏离变量的平均程度越小．(√)(3)若随机变量X的取值中的某个值对应的概率增大时，均值也增大．(×)(4)均值是算术平均数概念的推广，和概率无关．(×)题组二教材改编2．[P74习题T6]在篮球比赛中，罚球命中1次得1分，不中得0分．如果某运动员罚球命中的概率为0.7，那么他罚球1次的得分X的均值是________．答案0.7解析E(X)＝1×0.7＋0×0.3＝0.7.3．[P69例2]有10件产品，其中3件是次品，从这10件产品中任取2件，用X表示取到次品的件数，则E(X)＝________.答案35解析X服从超几何分布，P(X＝x)＝Cx3C2－x7C210(x＝0,1,2)，∴P(X＝0)＝C27C210＝2145＝715，P(X＝1)＝C17C13C210＝2145＝715，P(X＝2)＝C23C210＝345＝115.∴E(X)＝0×715＋1×715＋2×115＝915＝35.4．[P74习题T1]随机变量X的概率分布为X－101Pabc其中a，b，c成等差数列．若E(X)＝13，则方差V(X)的值是________．答案593解析∵a，b，c成等差数列，∴2b＝a＋c.又a＋b＋c＝1，E(X)＝－1×a＋1×c＝c－a＝13，得a＝16，b＝13，c＝12，∴V(X)＝－1－132×16＋132×13＋232×12＝59.题组三易错自纠5．下列说法中正确的是________．(填序号)①离散型随机变量X的均值E(X)反映了X取值的概率的平均值；②离散型随机变量X的方差V(X)反映了X取值相对于均值的离散程度；③离散型随机变量X的均值E(X)反映了X取值的大小规律；④离散型随机变量X的方差V(X)反映了X取值的概率的平均值．答案②解析根据均值与方差的概念知②正确．6．设样本数据x1，x2，…，x10的均值和方差分别为1和4.若yi＝xi＋a(a为非零常数，i＝1,2，…，10)，则y1，y2，…，y10的均值和标准差分别为________，________.答案1＋a2解析将每个数据都加上a后均值也增加a，方差与标准差都不变．7．一批产品的二等品率为0.02，从这批产品中每次随机取一件，有放回地抽取100次，X表示抽到的二等品件数，则V(X)＝________.答案1.96解析由题意得X～B(100,0.02)，∴V(X)＝100×0.02×(1－0.02)＝1.96.题型一离散型随机变量的均值、方差命题点1求离散型随机变量的均值、方差例1(2018·无锡模拟)某小区停车场的收费标准为：每车每次停车的时间不超过2小时免费，超过2小时的部分每小时收费1元(不足1小时的部分按1小时计算)．现有甲、乙两人独立来该停车场停车(各停车一次)，且两人停车时间均不超过5小时．设甲、乙两人停车时间(小时)与取车概率如下表所示.4停车时间取车概率停车人员(0,2](2,3](3,4](4,5]甲12xxx乙1613y0(1)求甲、乙两人所付停车费相同的概率；(2)设甲、乙两人所付停车费之和为随机变量ξ，求ξ的概率分布与均值E(ξ)．解(1)由题意，得12＋3x＝1，所以x＝16.16＋13＋y＝1，所以y＝12.记甲、乙两人所付停车费相同为事件A，则P(A)＝12×16＋16×13＋16×12＝29.所以甲、乙两人所付停车费相同的概率为29.(2)ξ可能取的值为0,1,2,3,4,5，P(ξ＝0)＝112，P(ξ＝1)＝12×13＋16×16＝736，P(ξ＝2)＝16×16＋16×13＋12×12＝13，P(ξ＝3)＝16×16＋16×13＋16×12＝16，P(ξ＝4)＝16×12＋16×13＝536，P(ξ＝5)＝16×12＝112.所以ξ的概率分布为ξ012345P1127361316536112所以E(ξ)＝0×112＋1×736＋2×13＋3×16＋4×536＋5×112＝73.5命题点2已知离散型随机变量的均值与方差，求参数值例2设袋子中装有a个红球，b个黄球，c个蓝球，且规定：取出一个红球得1分，取出一个黄球得2分，取出一个蓝球得3分．(1)当a＝3，b＝2，c＝1时，从该袋子中任取(有放回，且每球取到的机会均等)2个球，记随机变量ξ为取出此2球所得分数之和，求ξ的概率分布；(2)从该袋子中任取(每球取到的机会均等)1个球，记随机变量η为取出此球所得分数．若E(η)＝53，V(η)＝59，求a∶b∶c.解(1)由题意得ξ＝2,3,4,5,6，故P(ξ＝2)＝3×36×6＝14，P(ξ＝3)＝2×3×26×6＝13，P(ξ＝4)＝2×3×1＋2×26×6＝518，P(ξ＝5)＝2×2×16×6＝19，P(ξ＝6)＝1×16×6＝136.所以ξ的概率分布为ξ23456P141351819136(2)由题意知η的概率分布为η123Paa＋b＋cba＋b＋cca＋b＋c所以E(η)＝aa＋b＋c＋2ba＋b＋c＋3ca＋b＋c＝53，V(η)＝1－532·aa＋b＋c＋2－532·ba＋b＋c＋3－532·ca＋b＋c＝59，化简得2a－b－4c＝0，a＋4b－11c＝0.解得a＝3c，b＝2c，故a∶b∶c＝3∶2∶1.思维升华离散型随机变量的均值与方差的常见类型及解题策略(1)求离散型随机变量的均值与方差．可依题设条件求出离散型随机变量的概率分布，然后利用均值、方差公式直接求解．(2)由已知均值或方差求参数值．可依据条件利用均值、方差公式得出含有参数的方程(组)，6解方程(组)即可求出参数值．(3)由已知条件，作出对两种方案的判断．可依据均值、方差的意义，对实际问题作出判断．跟踪训练1为迎接2022年北京冬奥会，推广滑雪运动，某滑雪场开展滑雪促销活动．该滑雪场的收费标准是：滑雪时间不超过1小时免费，超过1小时的部分每小时收费标准为40元(不足1小时的部分按1小时计算)．有甲、乙两人相互独立地来该滑雪场运动，设甲、乙不超过1小时离开的概率分别为14，16；1小时以上且不超过2小时离开的概率分别为12，23；两人滑雪时间都不会超过3小时．(1)求甲、乙两人所付滑雪费用相同的概率；(2)设甲、乙两人所付的滑雪费用之和为随机变量ξ，求ξ的概率分布与均值E(ξ)，方差V(ξ)．解(1)两人所付费用相同，相同的费用可能为0,40,80元，甲、乙两人2小时以上且不超过3小时离开的概率分别为1－14－12＝14，1－16－23＝16.两人都付0元的概率为P1＝14×16＝124，两人都付40元的概率为P2＝12×23＝13，两人都付80元的概率为P3＝14×16＝124，则两人所付费用相同的概率为P＝P1＋P2＋P3＝124＋13＋124＝512.(2)设甲、乙所付费用之和为ξ，ξ的可能取值为0,40,80,120,160，则P(ξ＝0)＝14×16＝124，P(ξ＝40)＝14×23＋12×16＝14，P(ξ＝80)＝14×16＋12×23＋14×16＝512，P(ξ＝120)＝12×16＋14×23＝14，P(ξ＝160)＝14×16＝124.所以ξ的概率分布为ξ040801201607P1241451214124E(ξ)＝0×124＋40×14＋80×512＋120×14＋160×124＝80.V(ξ)＝(0－80)2×124＋(40－80)2×14＋(80－80)2×512＋(120－80)2×14＋(160－80)2×124＝40003.题型二均值与方差在决策中的应用例3计划在某水库建一座至多安装3台发电机的水电站．过去50年的水文资料显示，水库年入流量X(年入流量：一年内上游来水与库区降水之和．单位：亿立方米)都在40以上．其中，不足80的年份有10年，不低于80且不超过120的年份有35年，超过120的年份有5年，将年入流量在以上三段的频率作为相应段的概率，并假设各年的入流量相互独立．(1)求未来4年中，至多有1年的年入流量超过120的概率；(2)水电站希望安装的发电机尽可能运行，但每年发电机最多可运行台数受年入流量X限制，并有如下关系：年入流量X40X8080≤X≤120X120发电机最多可运行台数123若某台发电机运行，则该台发电机年利润为5000万元；若某台发电机未运行，则该台发电机年亏损800万元．欲使水电站年总利润的均值达到最大，应安装发电机多少台？解(1)由题意，得p1＝P(40X80)＝1050＝0.2，p2＝P(80≤X≤120)＝3550＝0.7，p3＝P(X120)＝550＝0.1.由二项分布可知，在未来4年中，至多有1年的年入流量超过120的概率为p＝C04(1－p3)4＋C14(1－p3)3p3＝9104＋4×9103×110＝0.9477.(2)记水电站年总利润为Y(单位：万元)．①安装1台发电机的情形．由于水库年入流量总大于40，故一台发电机运行的概率为1，对应的年利润Y＝5000，E(Y)＝5000×1＝5000.8②安装2台发电机的情形．依题意，当40X80时，一台发电机运行，此时Y＝5000－800＝4200，因此P(Y＝4200)＝P(40X80)＝p1＝0.2；当X≥80时，两台发电机运行，此时Y＝5000×2＝10000，因此P(Y＝10000)＝P(X≥80)＝p2＋p3＝0.8.由此得Y的概率分布为Y420010000P0.20.8所以，E(Y)＝4200×0.2＋10000×0.8＝8840.③安装3台发电机的情形．依题意，当40X80时，一台发电机运行，此时Y＝5000－1600＝3400，因此P(Y＝3400)＝P(40X80)＝p1＝0.2；当80≤X≤120时，两台发电机运行，此时Y＝5000×2－800＝9200，因此P(Y＝9200)＝P(80≤X≤120)＝p2＝0.7；当X120时，三台发电机运行，此时Y＝5000×3＝15000，因此P(Y＝15000)＝P(X120)＝p3＝0.1，由此得Y的概率分布为Y3400920015000P0.20.70.1所以，E(Y)＝3400×0.2＋9200×0.7＋15000×0.1＝8620.综上，欲使水电站年总利润的均值达到最大，应安装发电机2台．思维升华随机变量的均值反映了随机变量取值的平均水平，方差反映了随机变量稳定于均值的程度，它们从整体和全局上刻画了随机变量，是生产实际中用于方案取舍的重要理论