（江苏专用）2020版高考数学大一轮复习 第十一章 计数原理、随机变量及其概率分布 11.3 二项式

1§11.3二项式定理考情考向分析以理解和应用二项式定理为主，常考查二项展开式，通项公式以及二项式系数的性质，赋值法求系数的和也是考查的热点；本节内容在高考中以解答题的形式进行考查，难度中档．1．二项式定理二项式定理(a＋b)n＝C0nan＋C1nan－1b1＋…＋Crnan－rbr＋…＋Cnnbn(n∈N*)二项展开式的通项公式Tr＋1＝Crnan－rbr，它表示第r＋1项二项式系数二项展开式中各项的系数Crn(r∈{0,1,2，…，n})2．二项式系数的性质(1)C0n＝1，Cnn＝1.Cmn＋1＝Cm－1n＋Cmn.(2)Cmn＝Cn－mn.(3)当n是偶数时，12nT项的二项式系数最大；当n是奇数时，12nT与112nT项的二项式系数相等且最大．(4)(a＋b)n展开式的二项式系数和：C0n＋C1n＋C2n＋…＋Cnn＝2n.概念方法微思考1．(a＋b)n与(b＋a)n的展开式有何区别与联系？提示(a＋b)n的展开式与(b＋a)n的展开式的项完全相同，但对应的项不相同而且两个展开式的通项不同．2．二项展开式形式上有什么特点？提示二项展开式形式上的特点(1)项数为n＋1.(2)各项的次数都等于二项式的幂指数n，即a与b的指数的和为n.(3)字母a按降幂排列，从第一项开始，次数由n逐项减1直到零；字母b按升幂排列，从第一项起，次数由零逐项增1直到n.2(4)二项式的系数从C0n，C1n，一直到Cn－1n，Cnn.3．二项展开式中二项式系数最大时该项的系数就最大吗？提示不一定最大，当二项式中a，b的系数为1时，此时二项式系数等于项的系数，否则不一定．题组一思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)Crnan－rbr是二项展开式的第r项．(×)(2)二项展开式中，系数最大的项为中间一项或中间两项．(×)(3)(a＋b)n的展开式中某一项的二项式系数与a，b无关．(√)(4)(a－b)n的展开式第r＋1项的系数为Crnan－rbr.(×)(5)(x－1)n的展开式二项式系数和为－2n.(×)题组二教材改编2．[P32练习T2](x－2y)7的展开式中，第4项的二项式系数为________答案35解析第4项的二项式系数为C37＝35.3．[P32练习T5]在(x－2)4的展开式中，x的系数为________．答案24解析由题意可知Tr＋1＝Cr4(x)4－r(－2)r＝424(2)rrrCx，令4－r2＝1解得r＝2，所以展开式中x的系数为C24·(－2)2＝24.4．[P35练习T4]已知C0n＋2C1n＋22C2n＋23C3n＋…＋2nCnn＝729，则C1n＋C2n＋C3n＋…＋Cnn＝_____.答案63解析逆用二项式定理得C0n＋2C1n＋22C2n＋23C3n＋…＋2nCnn＝(1＋2)n＝3n＝729，即3n＝36，所以n＝6，所以C1n＋C2n＋C3n＋…＋Cnn＝26－C0n＝64－1＝63.题组三易错自纠5．(x－y)n的二项展开式中，第m项的系数是________．答案(－1)m－1Cm－1n解析(x－y)n二项展开式第m项的通项公式为Tm＝Cm－1n(－y)m－1xn－m＋1，所以系数为Cm－1n(－1)m－1.6．已知(x＋1)10＝a1＋a2x＋a3x2＋…＋a11x10.若数列a1，a2，a3，…，ak(1≤k≤11，k∈N*)是一个单调递增数列，则k的最大值是________．3答案6解析由二项式定理知，an＝Cn－110(n＝1,2,3，…，11)．又(x＋1)10展开式中二项式系数最大项是第6项，所以a6＝C510，则k的最大值为6.7．(xy－yx)4的展开式中，x3y3项的系数为________．答案6解析二项展开式的通项是Tr＋1＝Cr4(xy)4－r·(－yx)r＝42224(1)rrrrCxy，令4－r2＝2＋r2＝3，解得r＝2，故展开式中x3y3的系数为(－1)2C24＝6.题型一二项展开式命题点1求指定项(或系数)例1(1)x＋12x8的展开式中常数项为________．答案358解析展开式的通项为Tr＋1＝Cr8(x)8－r12xr＝Cr8×12r×x4－r，令4－r＝0，则r＝4，∴x＋12x8的展开式中常数项为T5＝C48·124＝358.(2)在(x2－4)5的展开式中，含x6的项为________．答案160x6解析因为(x2－4)5的展开式的第r＋1项的通项公式为Tr＋1＝Cr5(x2)5－r(－4)r＝(－4)rCr5x10－2r，令10－2r＝6，得r＝2，所以含x6的项为T3＝(－4)2·C25x6＝160x6.(3)(x2＋x＋y)4的展开式中，x3y2的系数是________．答案12解析方法一(x2＋x＋y)4＝[(x2＋x)＋y]4，其展开式的第r＋1项的通项公式为Tr＋1＝Cr4(x2＋x)4－ryr，因为要求x3y2的系数，所以r＝2，4所以T3＝C24(x2＋x)4－2y2＝6(x2＋x)2y2.因为(x2＋x)2的展开式中x3的系数为2，所以x3y2的系数是6×2＝12.方法二(x2＋x＋y)4表示4个因式x2＋x＋y的乘积，在这4个因式中，有2个因式选y，其余的2个因式中有一个选x，剩下的一个选x2，即可得到含x3y2的项，故x3y2的系数是C24·C12·C11＝12.命题点2求参数例2(1)(2018·江苏省无锡市江阴四校期中)ax－1x8的展开式中x2的系数为70，则a＝______.答案±1解析ax－1x8的展开式的通项公式为Tr＋1＝38828(1)rrrrCax，令8－3r2＝2，求得r＝4，故x2的系数为C48·a4＝70，则a＝±1.(2)(2018·苏州调研)若(x2－a)x＋1x10的展开式中x6的系数为30，则a＝________.答案2解析由题意得x＋1x10的展开式的通项公式是Tr＋1＝Cr10·x10－r·1xr＝Cr10x10－2r，x＋1x10的展开式中含x4(当r＝3时)，x6(当r＝2时)项的系数分别为C310，C210，因此由题意得C310－aC210＝120－45a＝30，由此解得a＝2.思维升华求二项展开式中的特定项，一般是化简通项公式后，令字母的指数符合要求(求常数项时，指数为零；求有理项时，指数为整数等)，解出项数k＋1，代回通项公式即可．跟踪训练1(1)(x＋y)(2x－y)5的展开式中x3y3的系数为________．(用数字填写答案)答案40解析因为x3y3＝x·(x2y3)，其系数为－C35·22＝－40，x3y3＝y·(x3y2)，其系数为C25·23＝80.所以x3y3的系数为80－40＝40.(2)(x＋a)10的展开式中，x7项的系数为15，则a＝______.(用数字填写答案)答案12解析通项为Tr＋1＝Cr10x10－rar，令10－r＝7，5得r＝3，∴x7项的系数为C310a3＝15，∴a3＝18，∴a＝12.题型二二项式系数的和与各项的系数和问题例3(1)(a＋x)(1＋x)4的展开式中x的奇数次幂项的系数之和为32，则a＝____.答案3解析设(a＋x)(1＋x)4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4＋a5x5，令x＝1，得16(a＋1)＝a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5，①令x＝－1，得0＝a0－a1＋a2－a3＋a4－a5.②①－②，得16(a＋1)＝2(a1＋a3＋a5)，即展开式中x的奇数次幂项的系数之和为a1＋a3＋a5＝8(a＋1)，所以8(a＋1)＝32，解得a＝3.(2)(2018·苏州质检)若(x＋2＋m)9＝a0＋a1(x＋1)＋a2(x＋1)2＋…＋a9(x＋1)9，且(a0＋a2＋…＋a8)2－(a1＋a3＋…＋a9)2＝39，则实数m的值为________．答案1或－3解析令x＝0，则(2＋m)9＝a0＋a1＋a2＋…＋a9，令x＝－2，则m9＝a0－a1＋a2－a3＋…－a9，又(a0＋a2＋…＋a8)2－(a1＋a3＋…＋a9)2＝(a0＋a1＋a2＋…＋a9)(a0－a1＋a2－a3＋…＋a8－a9)＝39，∴(2＋m)9·m9＝39，∴m(2＋m)＝3，∴m＝－3或m＝1.(3)(2018·南通模拟)若x2－1xn的展开式中含x的项为第6项，设(1－3x)n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，则a1＋a2＋…＋an的值为________．答案255解析x2－1xn展开式的第r＋1项为Tr＋1＝Crn(x2)n－r·－1xr＝Crn(－1)rx2n－3r，当r＝5时，2n－3r＝1，∴n＝8.对(1－3x)8＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a8x8，令x＝1，得a0＋a1＋…＋a8＝28＝256.又当x＝0时，a0＝1，6∴a1＋a2＋…＋a8＝255.思维升华(1)“赋值法”普遍适用于恒等式，对形如(ax＋b)n，(ax2＋bx＋c)m(a，b，c∈R)的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法．(2)若f(x)＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，则f(x)展开式中各项系数之和为f(1)，奇数项系数之和为a0＋a2＋a4＋…＝f1＋f－12，偶数项系数之和为a1＋a3＋a5＋…＝f1－f－12.跟踪训练2已知(1－2x)7＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a7x7.求：(1)a1＋a2＋…＋a7；(2)a1＋a3＋a5＋a7；(3)a0＋a2＋a4＋a6；(4)|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a7|.解令x＝1，则a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝－1.①令x＝－1，则a0－a1＋a2－a3＋a4－a5＋a6－a7＝37.②(1)∵a0＝C07＝1，∴a1＋a2＋a3＋…＋a7＝－2.(2)(①－②)÷2，得a1＋a3＋a5＋a7＝－1－372＝－1094.(3)(①＋②)÷2，得a0＋a2＋a4＋a6＝－1＋372＝1093.(4)方法一∵(1－2x)7展开式中，a0，a2，a4，a6大于零，而a1，a3，a5，a7小于零，∴|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a7|＝(a0＋a2＋a4＋a6)－(a1＋a3＋a5＋a7)＝1093－(－1094)＝2187.方法二|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a7|即为(1＋2x)7展开式中各项的系数和，令x＝1，∴|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a7|＝37＝2187.题型三二项式定理的应用例4(1)设a∈Z且0≤a13，若512012＋a能被13整除，则a＝________.答案12解析512012＋a＝(52－1)2012＋a＝C02012·522012－C12012·522011＋…＋C20112012·52·(－1)2011＋C20122012·(－1)2012＋a，∵C02012·522012－C12012·522011＋…＋C20112012·52·(－1)2011能被13整除且512012＋a能被13整除，∴C20122012·(－1)2012＋a＝1＋a也能被13整除，∴a的值为12.(2)设复数x＝2i1－i(i是虚数单位)，则C12019x＋C22019x2＋C32019x3＋…＋C20192019x2019＝________.7答案－1－i解析x＝2i1－i＝2i1＋i1－i1＋i＝－1＋i，C12019x＋C22019x2＋C32019x3＋…＋C20192019x2019＝(1＋x)2019－1＝i2019－1＝－i－1.思维升华(1)逆用二项式定理的关键根据所给式子的特点结合二项展开式的要求，使之具备二项式定理右边的结构，然后逆用二项式定理求解．(2)利用二项式定理解决整除问题的思路①观察除式与被除式间的关系；②将被除式拆成二项式；③结合二项式定理得出结论．跟踪训练3(1)(2