（江苏专用）2020版高考数学大一轮复习 第三章 导数及其应用 3.2 导数的应用（第1课时）教案（

1§3.2导数的应用考情考向分析考查函数的单调性、极值、最值，利用函数的性质求参数范围；与方程、数列、不等式等知识相结合命题，强化函数与方程思想、转化与化归思想、分类讨论思想的应用意识；题型以解答题为主，一般难度较大．1．函数的单调性在某个区间(a，b)内，如果f′(x)0，那么函数y＝f(x)在这个区间内单调递增；如果f′(x)0，那么函数y＝f(x)在这个区间内单调递减．2．函数的极值(1)一般地，求函数y＝f(x)的极值的方法解方程f′(x)＝0，当f′(x0)＝0时：①如果在x0附近的左侧f′(x)0，右侧f′(x)0，那么f(x0)是极大值；②如果在x0附近的左侧f′(x)0，右侧f′(x)0，那么f(x0)是极小值．(2)求可导函数极值的步骤①求f′(x)；②求方程f′(x)＝0的根；③考查f′(x)在方程f′(x)＝0的根附近的左右两侧导数值的符号．如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得极小值．3．函数的最值(1)在闭区间[a，b]上连续的函数f(x)在[a，b]上必有最大值与最小值．(2)若函数f(x)在[a，b]上单调递增，则f(a)为函数的最小值，f(b)为函数的最大值；若函数f(x)在[a，b]上单调递减，则f(a)为函数的最大值，f(b)为函数的最小值．概念方法微思考1．“f(x)在区间(a，b)上是增函数，则f′(x)0在(a，b)上恒成立”，这种说法是否正确？提示不正确，正确的说法是：2可导函数f(x)在(a，b)上是增(减)函数的充要条件是对∀x∈(a，b)，都有f′(x)≥0(f′(x)≤0)且f′(x)在(a，b)上的任何子区间内都不恒为零．2．对于可导函数f(x)，“f′(x0)＝0”是“函数f(x)在x＝x0处有极值”的________条件．(填“充要”“充分不必要”“必要不充分”)提示必要不充分题组一思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)如果函数f(x)在某个区间内恒有f′(x)＝0，则f(x)在此区间内没有单调性．(√)(2)函数的极大值一定大于其极小值．(×)(3)函数的最大值不一定是极大值，函数的最小值也不一定是极小值．(√)题组二教材改编2．[P29T1]函数y＝x3＋x2－5x－5的单调增区间是________．答案－∞，－53，(1，＋∞)解析令y′＝3x2＋2x－50，得x－53或x1.3．[P31T1]函数y＝3x3－9x＋5的极大值为________．答案11解析y′＝9x2－9，令y′＝0，得x＝±1.当x变化时，y′，y的变化情况如下表：x(－∞，－1)－1(－1,1)1(1，＋∞)y′＋0－0＋y↗极大值↘极小值↗从上表可以看出，当x＝－1时，函数y取得极大值为3×(－1)3－9×(－1)＋5＝11.34．[P34T2]函数f(x)＝x－2sinx在(0，π)上的单调增区间为________．答案π3，π解析令f′(x)＝1－2cosx0，得cosx12，又x∈(0，π)，所以π3xπ，所以f(x)＝x－2sinx在(0，π)上的单调增区间为π3，π.5．[P34T4]函数y＝x＋2cosx在区间0，π2上的最大值是__________．答案π6＋3解析∵y′＝1－2sinx，∴当x∈0，π6时，y′0；当x∈π6，π2时，y′0.∴当x＝π6时，ymax＝π6＋3.题组三易错自纠6．已知定义在实数集R上的函数f(x)满足f(1)＝3，且f(x)的导数f′(x)在R上恒有f′(x)2(x∈R)，则不等式f(x)2x＋1的解集为____________．答案(1，＋∞)解析令g(x)＝f(x)－2x－1，∴g′(x)＝f′(x)－20，∴g(x)在R上为减函数，g(1)＝f(1)－2－1＝0.由g(x)0＝g(1)，得x1.∴不等式的解集为(1，＋∞)．7．函数f(x)＝x3＋ax2－ax在R上单调递增，则实数a的取值范围是________．答案[－3,0]解析f′(x)＝3x2＋2ax－a≥0在R上恒成立，即4a2＋12a≤0，解得－3≤a≤0，即实数a的取值范围是[－3,0]．8．若函数f(x)＝13x3－32x2＋ax＋4恰在[－1,4]上单调递减，则实数a的值为________．答案－4解析f′(x)＝x2－3x＋a，且f(x)恰在[－1,4]上单调递减，∴f′(x)＝x2－3x＋a≤0的解集为[－1,4]，∴－1,4是方程f′(x)＝0的两根，4则a＝(－1)×4＝－4.9．若函数f(x)＝13x3－4x＋m在[0,3]上的最大值为4，m＝________.答案4解析f′(x)＝x2－4，x∈[0,3]，当x∈[0,2)时，f′(x)0，当x∈(2,3]时，f′(x)0，所以f(x)在[0,2)上是减函数，在(2,3]上是增函数．又f(0)＝m，f(3)＝－3＋m.所以在[0,3]上，f(x)max＝f(0)＝4，所以m＝4.10．已知函数f(x)＝13x3＋x2－2ax＋1，若函数f(x)在(1,2)上有极值，则实数a的取值范围为________．答案32，4解析f′(x)＝x2＋2x－2a的图象是开口向上的抛物线，且对称轴为x＝－1，则f′(x)在(1,2)上是单调递增函数，因此f′1＝3－2a0，f′2＝8－2a0，解得32a4，故实数a的取值范围为32，4.第1课时导数与函数的单调性题型一不含参数的函数的单调性1．函数y＝4x2＋1x的单调增区间为________．答案12，＋∞解析由y＝4x2＋1x，得y′＝8x－1x2(x≠0)，令y′0，即8x－1x20，解得x12，∴函数y＝4x2＋1x的单调增区间为12，＋∞.2．函数f(x)＝x·ex－ex＋1的单调增区间是________．答案(e－1，＋∞)解析由f(x)＝x·ex－ex＋1，5得f′(x)＝(x＋1－e)·ex，令f′(x)0，解得xe－1，所以函数f(x)的单调增区间是(e－1，＋∞)．3．已知函数f(x)＝xlnx，则f(x)的单调减区间是________．答案0，1e解析因为函数f(x)＝xlnx的定义域为(0，＋∞)，所以f′(x)＝lnx＋1(x0)，当f′(x)0时，解得0x1e，即函数f(x)的单调减区间为0，1e.4．已知定义在区间(－π，π)上的函数f(x)＝xsinx＋cosx，则f(x)的单调增区间是_______．答案－π，－π2和0，π2解析f′(x)＝sinx＋xcosx－sinx＝xcosx.令f′(x)＝xcosx0，则其在区间(－π，π)上的解集为－π，－π2∪0，π2，即f(x)的单调增区间为－π，－π2和0，π2.思维升华确定函数单调区间的步骤(1)确定函数f(x)的定义域．(2)求f′(x)．(3)解不等式f′(x)0，解集在定义域内的部分为单调增区间．(4)解不等式f′(x)0，解集在定义域内的部分为单调减区间．题型二含参数的函数的单调性例1已知函数f(x)＝x2e－ax－1(a是常数)，求函数y＝f(x)的单调区间．解根据题意可得，当a＝0时，f(x)＝x2－1，f′(x)＝2x，函数在(0，＋∞)上单调递增，在(－∞，0)上单调递减．当a≠0时，f′(x)＝2xe－ax＋x2(－a)e－ax＝e－ax(－ax2＋2x)．因为e－ax0，所以令g(x)＝－ax2＋2x＝0，解得x＝0或x＝2a.6①当a0时，函数g(x)＝－ax2＋2x在(－∞，0)和2a，＋∞上有g(x)0，即f′(x)0，函数y＝f(x)单调递减；函数g(x)＝－ax2＋2x在0，2a上有g(x)≥0，即f′(x)≥0，函数y＝f(x)单调递增．②当a0时，函数g(x)＝－ax2＋2x在－∞，2a和(0，＋∞)上有g(x)0，即f′(x)0，函数y＝f(x)单调递增；函数g(x)＝－ax2＋2x在2a，0上有g(x)≤0，即f′(x)≤0，函数y＝f(x)单调递减．综上所述，当a＝0时，函数y＝f(x)的单调增区间为(0，＋∞)，单调减区间为(－∞，0)；当a0时，函数y＝f(x)的单调减区间为(－∞，0)，2a，＋∞，单调增区间为0，2a；当a0时，函数y＝f(x)的单调增区间为－∞，2a，(0，＋∞)，单调减区间为2a，0.思维升华(1)研究含参数的函数的单调性，要依据参数对不等式解集的影响进行分类讨论．(2)划分函数的单调区间时，要在函数定义域内讨论，还要确定导数为零的点和函数的间断点．跟踪训练1讨论函数f(x)＝ex(ex－a)－a2x的单调性．解函数f(x)的定义域为(－∞，＋∞)，f′(x)＝2e2x－aex－a2＝(2ex＋a)(ex－a)．①若a＝0，则f(x)＝e2x，在(－∞，＋∞)上单调递增．②若a0，则由f′(x)＝0得x＝lna.当x∈(－∞，lna)时，f′(x)0，当x∈(lna，＋∞)时，f′(x)0.故f(x)在(－∞，lna)上单调递减，在(lna，＋∞)上单调递增．③若a0，则由f′(x)＝0得x＝ln－a2.当x∈－∞，ln－a2时，f′(x)0；当x∈ln－a2，＋∞时，f′(x)0.故f(x)在－∞，ln－a2上单调递减，在ln－a2，＋∞上单调递增．综上所述，当a＝0时，f(x)在(－∞，＋∞)上单调递增；7当a0时，f(x)在(－∞，lna)上单调递减，在(lna，＋∞)上单调递增；当a0时，f(x)在－∞，ln－a2上单调递减，在ln－a2，＋∞上单调递增．题型三函数单调性的应用命题点1比较大小或解不等式例2(1)(2018·江苏省阜宁中学调研)对于定义在R上的可导函数f(x)，当x∈(1，＋∞)时，(x－1)f′(x)－f(x)0恒成立．已知a＝f(2)，b＝12f(3)，c＝(2＋1)f(2)，则a，b，c的大小关系为________．(用“”连接)答案cab解析构造函数g(x)＝fxx－1，当x∈(1，＋∞)时，g′(x)＝f′xx－1－fxx－120，即函数g(x)单调递增．又a＝f(2)＝f22－1＝g(2)，b＝12f(3)＝f33－1＝g(3)，c＝(2＋1)f(2)＝f22－1＝g(2)，因为1223，所以g(2)g(2)g(3)，即cab.(2)已知定义域为R的偶函数f(x)的导函数为f′(x)，当x0时，xf′(x)－f(x)0.若a＝fee，b＝fln2ln2，c＝f33，则a，b，c的大小关系是________．(用“”连接)答案cab解析设g(x)＝fxx，则g′(x)＝xf′x－fxx2，又当x0时，xf′(x)－f(x)0，所以g′(x)0，即函数g(x)在区间(－∞，0)内单调递减．因为f(x)为R上的偶函数，所以g(x)为奇函数，其定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，所以函数g(x)在区间(0，＋∞)内单调递减．由0ln2e3，可得g(3)g(e)g(ln2)，即cab.(3)已知定义在(0，＋∞)上的函数f(x)满足xf′(x)－f(x)0，其中f′(x)是函数f(x)的导函数．若2f(m－2019)(m－2019)f(2)，则实数m的取值范围为________．答案(2019,2021)