（江苏专用）2020版高考数学大一轮复习 第六章 数列 6.3 等比数列及其前n项和教案（含解析）

1§6.3等比数列及其前n项和考情考向分析以考查等比数列的通项、前n项和及性质为主，等比数列的证明也是考查的热点．本节内容在高考中既可以以填空题的形式进行考查，也可以以解答题的形式进行考查．解答题往往与等差数列、数列求和、不等式等问题综合考查．1．等比数列的有关概念(1)定义：一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数(不为零)，那么这个数列就叫做等比数列．这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q表示，定义的表达式为an＋1an＝q(n∈N*，q为非零常数)．(2)等比中项：如果a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项．即G是a与b的等比中项⇔a，G，b成等比数列⇒G2＝ab.2．等比数列的有关公式(1)通项公式：an＝a1qn－1.(2)前n项和公式：Sn＝na1q＝1，a11－qn1－q＝a1－anq1－qq≠1.3．等比数列的常用性质(1)通项公式的推广：an＝am·qn－m(n，m∈N*)．(2)若m＋n＝p＋q＝2k(m，n，p，q，k∈N*)，则am·an＝ap·aq＝a2k.(3)若数列{an}，{bn}(项数相同)是等比数列，则{λan}，1an，{a2n}，{an·bn}，anbn(λ≠0)仍然是等比数列．(4)在等比数列{an}中，等距离取出若干项也构成一个等比数列，即an，an＋k，an＋2k，an＋3k，…为等比数列，公比为qk.概念方法微思考1．将一个等比数列的各项取倒数，所得的数列还是一个等比数列吗？若是，这两个等比数列的公比有何关系？2提示仍然是一个等比数列，这两个数列的公比互为倒数．2．任意两个实数都有等比中项吗？提示不是．只有同号的两个非零实数才有等比中项．3．“b2＝ac”是“a，b，c”成等比数列的什么条件？提示必要不充分条件．因为b2＝ac时不一定有a，b，c成等比数列，比如a＝0，b＝0，c＝1.但a，b，c成等比数列一定有b2＝ac.题组一思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)满足an＋1＝qan(n∈N*，q为常数)的数列{an}为等比数列．(×)(2)如果数列{an}为等比数列，bn＝a2n－1＋a2n，则数列{bn}也是等比数列．(×)(3)如果数列{an}为等比数列，则数列{lnan}是等差数列．(×)(4)数列{an}的通项公式是an＝an，则其前n项和为Sn＝a1－an1－a.(×)(5)数列{an}为等比数列，则S4，S8－S4，S12－S8成等比数列．(×)题组二教材改编2．[P54T3]已知{an}是等比数列，a2＝2，a5＝14，则公比q＝______.答案12解析由题意知q3＝a5a2＝18，∴q＝12.3．[P54T9]公比不为1的等比数列{an}满足a5a6＋a4a7＝18，若a1am＝9，则m的值为________．答案10解析由题意得2a5a6＝18，∴a5a6＝9，又a1am＝9，∴a1am＝a5a6，∴m＝10.题组三易错自纠4．若1，a1，a2,4成等差数列，1，b1，b2，b3,4成等比数列，则a1－a2b2的值为________．答案－12解析∵1，a1，a2，4成等差数列，∴3(a2－a1)＝4－1，∴a2－a1＝1.又∵1，b1，b2，b3，4成等比数列，设其公比为q，3则b22＝1×4＝4，且b2＝1×q20，∴b2＝2，∴a1－a2b2＝－a2－a1b2＝－12.5．设Sn为等比数列{an}的前n项和，8a2＋a5＝0，则S5S2＝________.答案－11解析设等比数列{an}的公比为q，∵8a2＋a5＝0，∴8a1q＋a1q4＝0.∴q3＋8＝0，∴q＝－2，∴S5S2＝a11－q51－q·1－qa11－q2＝1－q51－q2＝1－－251－4＝－11.6．一种专门占据内存的计算机病毒开机时占据内存1MB，然后每3秒自身复制一次，复制后所占内存是原来的2倍，那么开机________秒，该病毒占据内存8GB.(1GB＝210MB)答案39解析由题意可知，病毒每复制一次所占内存的大小构成一等比数列{an}，且a1＝2，q＝2，∴an＝2n，则2n＝8×210＝213，∴n＝13.即病毒共复制了13次．∴所需时间为13×3＝39(秒)．题型一等比数列基本量的运算1．已知等比数列{an}满足a1＝14，a3a5＝4(a4－1)，则a2＝________.答案12解析设等比数列{an}的公比为q，由题意知a3a5＝4(a4－1)＝a24，则a24－4a4＋4＝0，解得a4＝2，又a1＝14，所以q3＝a4a1＝8，即q＝2，所以a2＝a1q＝12.42．(2018·全国Ⅲ)等比数列{an}中，a1＝1，a5＝4a3.(1)求{an}的通项公式；(2)记Sn为{an}的前n项和，若Sm＝63，求m.解(1)设{an}的公比为q，由题设得an＝qn－1.由已知得q4＝4q2，解得q＝0(舍去)，q＝－2或q＝2.故an＝(－2)n－1或an＝2n－1(n∈N*)．(2)若an＝(－2)n－1，则Sn＝1－－2n3.由Sm＝63，得(－2)m＝－188，此方程没有正整数解．若an＝2n－1，则Sn＝2n－1.由Sm＝63，得2m＝64，解得m＝6.综上，m＝6.思维升华(1)等比数列的通项公式与前n项和公式共涉及五个量a1，an，q，n，Sn，已知其中三个就能求另外两个(简称“知三求二”)．(2)运用等比数列的前n项和公式时，注意对q＝1和q≠1的分类讨论．题型二等比数列的判定与证明例1已知数列{an}满足对任意的正整数n，均有an＋1＝5an－2·3n，且a1＝8.(1)证明：数列{an－3n}为等比数列，并求数列{an}的通项公式；(2)记bn＝an3n，求数列{bn}的前n项和Tn.解(1)因为an＋1＝5an－2·3n，所以an＋1－3n＋1＝5an－2·3n－3n＋1＝5(an－3n)，又a1＝8，所以a1－3＝5≠0，所以数列{an－3n}是首项为5、公比为5的等比数列．所以an－3n＝5n，所以an＝3n＋5n(n∈N*)．(2)由(1)知，bn＝an3n＝3n＋5n3n＝1＋53n，则数列{bn}的前n项和Tn＝1＋531＋1＋532＋…＋1＋53n＝n＋531－53n1－53＝5n＋12·3n＋n－52(n∈N*)．思维升华判定一个数列为等比数列的常见方法：(1)定义法：若an＋1an＝q(q是非零常数)，则数列{an}是等比数列；(2)等比中项法：若a2n＋1＝anan＋2(n∈N*，an≠0)，则数列{an}是等比数列；5(3)通项公式法：若an＝Aqn(A，q为非零常数)，则数列{an}是等比数列．跟踪训练1设数列{an}的前n项和为Sn，已知a1＝1，Sn＋1＝4an＋2.(1)设bn＝an＋1－2an，证明：数列{bn}是等比数列；(2)求数列{an}的通项公式．(1)证明由a1＝1及Sn＋1＝4an＋2，有a1＋a2＝S2＝4a1＋2.∴a2＝5，∴b1＝a2－2a1＝3.又Sn＋1＝4an＋2，①Sn＝4an－1＋2n≥2，②①－②，得an＋1＝4an－4an－1(n≥2)，∴an＋1－2an＝2(an－2an－1)(n≥2)．∵bn＝an＋1－2an，∴bn＝2bn－1(n≥2)，故{bn}是首项b1＝3，公比为2的等比数列．(2)解由(1)知bn＝an＋1－2an＝3·2n－1，∴an＋12n＋1－an2n＝34，故an2n是首项为12，公差为34的等差数列．∴an2n＝12＋(n－1)·34＝3n－14，故an＝(3n－1)·2n－2(n∈N*)．题型三等比数列的综合应用例2(2018·扬州模拟)已知各项都是正数的数列{an}的前n项和为Sn，且2Sn＝a2n＋an，数列{bn}满足b1＝12，2bn＋1＝bn＋bnan.(1)求数列{an}，{bn}的通项公式；(2)设数列{cn}满足cn＝bn＋2Sn，求c1＋c2＋…＋cn的和．解(1)由题意知2Sn＝a2n＋an，①2Sn＋1＝a2n＋1＋an＋1，②②－①得2an＋1＝a2n＋1－a2n＋an＋1－an，即(an＋1＋an)(an＋1－an－1)＝0.因为{an}是正数数列，所以an＋1－an－1＝0，即an＋1－an＝1，所以{an}是公差为1的等差数列．6在2Sn＝a2n＋an中，令n＝1，得a1＝1，所以an＝n.由2bn＋1＝bn＋bnan，得bn＋1n＋1＝12·bnn，所以数列bnn是等比数列，其中首项为12，公比为12，所以bnn＝12n，即bn＝n2n.(2)由(1)知Sn＝a1＋ann2＝n2＋n2，所以cn＝bn＋2Sn＝n＋2n2＋n2n＋1＝1n·2n－1n＋12n＋1，所以c1＋c2＋…＋cn＝12－1n＋12n＋1.思维升华等比数列常见性质的应用等比数列性质的应用可以分为三类：(1)通项公式的变形．(2)等比中项的变形．(3)前n项和公式的变形．根据题目条件，认真分析，发现具体的变化特征即可找出解决问题的突破口．跟踪训练2(1)已知数列{an}是等比数列，若a2＝1，a5＝18，则a1a2＋a2a3＋…＋anan＋1(n∈N*)的最小值为________．答案2解析由已知得数列{an}的公比满足q3＝a5a2＝18，解得q＝12，∴a1＝2，a3＝12，故数列{anan＋1}是以2为首项，公比为a2a3a1a2＝14的等比数列，∴a1a2＋a2a3＋…＋anan＋1＝21－14n1－14＝831－14n∈2，83.(2)已知等比数列{an}的前n项和为Sn，且S3S6＝89，则an＋1an－an－1＝________.(n≥2，且n∈N*)7答案－12解析很明显等比数列的公比q≠1，则由题意可得S3S6＝a1()1－q31－qa1()1－q61－q＝11＋q3＝89，解得q＝12，则an＋1an－an－1＝an－1q2an－1q－an－1＝q2q－1＝1412－1＝－12.等差数列与等比数列关于等差(比)数列的基本运算在高考试题中频繁出现，其实质就是解方程或方程组，需要认真计算，灵活处理已知条件．例(1)已知等差数列{an}的首项和公差均不为0，且满足a2，a5，a7成等比数列，则a3＋a6＋a11a1＋a8＋a10的值为________．答案1314解析已知等差数列{an}的首项和公差均不为0，且满足a2，a5，a7成等比数列，∴a25＝a2a7，∴(a1＋4d)2＝(a1＋d)(a1＋6d)，∴10d2＝－a1d，∵d≠0，∴－10d＝a1，∴a3＋a6＋a11a1＋a8＋a10＝3a1＋17d3a1＋16d＝－30d＋17d－30d＋16d＝1314.(2)已知{an}为等比数列，数列{bn}满足b1＝2，b2＝5，且an(bn＋1－bn)＝an＋1，则数列{bn}的前n项和为________．答案3n2＋n2(n∈N*)解析∵b1＝2，b2＝5，且an(bn＋1－bn)＝an＋1，∴a1(b2－b1)＝a2，即a2＝3a1，又数列{an}为等比数列，∴数列{an}的公比q＝3，∴bn＋1－bn＝an＋1an＝3，∴数列{bn}是首项为2，公差为3的等差数列，8∴数列{bn}的前n项和为Sn＝2n＋nn－12×3＝3n2＋n2(n∈N*)．(3)(2018·苏州调研)若数列{an}的前n项和Sn满足Sn＝32(1＋an)(n∈N*)，则a4的值为________．答案－81解析∵Sn＝32(1＋an)(n∈N*)，∴当n＝1时，a1＝－3，∴当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝32(an－an－1)，即anan－1＝3，∴{an}是首项为－3，公比为3的等比数列．∴a