（江苏专用）2020版高考数学大一轮复习 第九章 平面解析几何 9.3 圆的方程教案（含解析）

1§9.3圆的方程考情考向分析以考查圆的方程为主，与圆有关的轨迹问题、最值问题也是考查的热点，属中档题．题型主要以填空题为主，要求相对较低，但内容很重要，在解答题中也会出现．圆的定义与方程定义平面内到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆方程标准式(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r0)圆心为(a，b)半径为r一般式x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0充要条件：D2＋E2－4F0圆心坐标：－D2，－E2半径r＝12D2＋E2－4F概念方法微思考1．如何确定圆的方程？其步骤是怎样的？提示确定圆的方程的主要方法是待定系数法，大致步骤：(1)根据题意，选择标准方程或一般方程．(2)根据条件列出关于a，b，r或D，E，F的方程组．(3)解出a，b，r或D，E，F代入标准方程或一般方程．2．点与圆的位置关系有几种？如何判断？提示点和圆的位置关系有三种．已知圆的标准方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2，点M(x0，y0)(1)点在圆上：(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2；(2)点在圆外：(x0－a)2＋(y0－b)2r2；(3)点在圆内：(x0－a)2＋(y0－b)2r2.2题组一思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)方程(x＋a)2＋(y＋b)2＝t2(t∈R)表示圆心为(a，b)，半径为t的圆．(×)(2)已知点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则以AB为直径的圆的方程是(x－x1)(x－x2)＋(y－y1)(y－y2)＝0.(√)(3)方程Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆的充要条件是A＝C≠0，B＝0，D2＋E2－4AF0.(√)(4)方程x2＋2ax＋y2＝0一定表示圆．(×)(5)若点M(x0，y0)在圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0外，则x20＋y20＋Dx0＋Ey0＋F0.(√)题组二教材改编2．[P111练习T4]圆x2＋y2－4x＋6y＝0的圆心坐标是________．答案(2，－3)解析由(x－2)2＋(y＋3)2＝13，知圆心坐标为(2，－3)．3．[P111习题T1(3)]已知圆C经过A(5,1)，B(1,3)两点，圆心在x轴上，则圆C的标准方程为________________．答案(x－2)2＋y2＝10解析设圆心坐标为(a,0)，易知a－52＋－12＝a－12＋－32，解得a＝2，∴圆心为(2,0)，半径为10，∴圆C的标准方程为(x－2)2＋y2＝10.题组三易错自纠4．若方程x2＋y2＋mx－2y＋3＝0表示圆，则m的取值范围是________________．答案(－∞，－22)∪(22，＋∞)解析将x2＋y2＋mx－2y＋3＝0化为圆的标准方程得x＋m22＋(y－1)2＝m24－2.由其表示圆可得m24－20，解得m－22或m22.5．若点(1,1)在圆(x－a)2＋(y＋a)2＝4的内部，则实数a的取值范围是________．答案－1a1解析∵点(1,1)在圆内，∴(1－a)2＋(a＋1)24，即－1a1.36．若圆C的半径为1，圆心在第一象限，且与直线4x－3y＝0和x轴都相切，则该圆的标准方程是________________．答案(x－2)2＋(y－1)2＝1解析由于圆心在第一象限且与x轴相切，可设圆心为(a,1)(a0)，又圆与直线4x－3y＝0相切，∴|4a－3|5＝1，解得a＝2或a＝－12(舍去)．∴圆的标准方程为(x－2)2＋(y－1)2＝1.题型一圆的方程例1求经过点A(－2，－4)，且与直线l：x＋3y－26＝0相切于点B(8,6)的圆的方程．解方法一设圆心为C，所求圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，则圆心C－D2，－E2，∴kCB＝6＋E28＋D2.∵圆C与直线l相切，∴kCB·kl＝－1，即6＋E28＋D2·－13＝－1.①又有(－2)2＋(－4)2－2D－4E＋F＝0，②又82＋62＋8D＋6E＋F＝0.③联立①②③，可得D＝－11，E＝3，F＝－30，∴所求圆的方程为x2＋y2－11x＋3y－30＝0.方法二设圆的圆心为C，则CB⊥l，可得CB所在直线的方程为y－6＝3(x－8)，即3x－y－18＝0.①由A(－2，－4)，B(8,6)，得AB的中点坐标为(3,1)．又kAB＝6＋48＋2＝1，∴AB的垂直平分线的方程为y－1＝－(x－3)，4即x＋y－4＝0.②由①②联立，解得x＝112，y＝－32.即圆心坐标为112，－32.∴所求圆的半径r＝112－82＋－32－62＝1252，∴所求圆的方程为x－1122＋y＋322＝1252.思维升华(1)直接法：直接求出圆心坐标和半径，写出方程．(2)待定系数法①若已知条件与圆心(a，b)和半径r有关，则设圆的标准方程，求出a，b，r的值；②选择圆的一般方程，依据已知条件列出关于D，E，F的方程组，进而求出D，E，F的值．跟踪训练1(1)(2018·如皋模拟)已知圆C过点(2，3)，且与直线x－3y＋3＝0相切于点(0，3)，则圆C的方程为________________．答案(x－1)2＋y2＝4解析设圆心为(a，b)，半径为r，则b－3a×33＝－1，a－22＋b－32＝a2＋b－32，解得a＝1，b＝0，则r＝2，即所求圆的方程为(x－1)2＋y2＝4.(2)一个圆与y轴相切，圆心在直线x－3y＝0上，且在直线y＝x上截得的弦长为27，则该圆的方程为______________________．答案x2＋y2－6x－2y＋1＝0或x2＋y2＋6x＋2y＋1＝0解析方法一∵所求圆的圆心在直线x－3y＝0上，∴设所求圆的圆心为(3a，a)，又所求圆与y轴相切，∴半径r＝3|a|，又所求圆在直线y＝x上截得的弦长为27，圆心(3a，a)到直线y＝x的距离d＝|2a|2，∴d2＋(7)2＝r2，即2a2＋7＝9a2，∴a＝±1.故所求圆的方程为(x－3)2＋(y－1)2＝9或(x＋3)2＋(y＋1)2＝9，即x2＋y2－6x－2y＋1＝0或x2＋y2＋6x＋2y＋1＝0.5方法二设所求圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，则圆心(a，b)到直线y＝x的距离为|a－b|2，∴r2＝a－b22＋7，即2r2＝(a－b)2＋14.①由于所求圆与y轴相切，∴r2＝a2，②又∵所求圆的圆心在直线x－3y＝0上，∴a－3b＝0，③联立①②③，解得a＝3，b＝1，r2＝9或a＝－3，b＝－1，r2＝9.故所求圆的方程为(x－3)2＋(y－1)2＝9或(x＋3)2＋(y＋1)2＝9，即x2＋y2－6x－2y＋1＝0或x2＋y2＋6x＋2y＋1＝0.方法三设所求圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，则圆心坐标为－D2，－E2，半径r＝12D2＋E2－4F.在圆的方程中，令x＝0，得y2＋Ey＋F＝0.由于所求圆与y轴相切，∴Δ＝0，则E2＝4F.①圆心－D2，－E2到直线y＝x的距离为d＝－D2＋E22，由已知得d2＋(7)2＝r2，即(D－E)2＋56＝2(D2＋E2－4F)．②又圆心－D2，－E2在直线x－3y＝0上，∴D－3E＝0.③联立①②③，解得D＝－6，E＝－2，F＝1或D＝6，E＝2，F＝1.故所求圆的方程为x2＋y2－6x－2y＋1＝0或x2＋y2＋6x＋2y＋1＝0.题型二与圆有关的最值问题例2已知点(x，y)在圆(x－2)2＋(y＋3)2＝1上，求x＋y的最大值和最小值．解设t＝x＋y，则y＝－x＋t，t可视为直线y＝－x＋t在y轴上的截距，∴x＋y的最大值和最小值就是直线与圆有公共点时直线在y轴上的截距的最大值和最小值，6即直线与圆相切时在y轴上的截距．由直线与圆相切得圆心到直线的距离等于半径，即|2＋－3－t|2＝1，解得t＝2－1或t＝－2－1.∴x＋y的最大值为2－1，最小值为－2－1.引申探究1．在本例的条件下，求yx的最大值和最小值．解yx可视为点(x，y)与原点连线的斜率，yx的最大值和最小值就是与该圆有公共点的过原点的直线斜率的最大值和最小值，即直线与圆相切时的斜率．设过原点的直线的方程为y＝kx，由直线与圆相切得圆心到直线的距离等于半径，即|2k＋3|k2＋1＝1，解得k＝－2＋233或k＝－2－233，∴yx的最大值为－2＋233，最小值为－2－233.2．在本例的条件下，求x2＋y2＋2x－4y＋5的最大值和最小值．解x2＋y2＋2x－4y＋5＝x＋12＋y－22，求它的最值可视为求点(x，y)到定点(－1,2)的距离的最值，可转化为求圆心(2，－3)到定点(－1,2)的距离与半径的和或差．又圆心到定点(－1,2)的距离为34，∴x2＋y2＋2x－4y＋5的最大值为34＋1，最小值为34－1.思维升华与圆有关的最值问题的常见类型及解题策略(1)与圆有关的长度或距离的最值问题的解法．一般根据长度或距离的几何意义，利用圆的几何性质数形结合求解．(2)与圆上点(x，y)有关代数式的最值的常见类型及解法．①形如u＝y－bx－a型的最值问题，可转化为过点(a，b)和点(x，y)的直线的斜率的最值问题；②形如t＝ax＋by型的最值问题，可转化为动直线的截距的最值问题；③形如(x－a)2＋(y－b)2型的最值问题，可转化为动点到定点(a，b)的距离的平方的最值问题．跟踪训练2已知实数x，y满足方程x2＋y2－4x＋1＝0.求：(1)yx的最大值和最小值；(2)y－x的最大值和最小值；(3)x2＋y2的最大值和最小值．解原方程可化为(x－2)2＋y2＝3，表示以(2,0)为圆心，3为半径的圆．7(1)yx的几何意义是圆上一点与原点连线的斜率，所以设yx＝k，即y＝kx.当直线y＝kx与圆相切时(如图)，斜率k取最大值和最小值，此时|2k－0|k2＋1＝3，解得k＝±3.所以yx的最大值为3，最小值为－3.(2)y－x可看作是直线y＝x＋b在y轴上的截距，如图所示，当直线y＝x＋b与圆相切时，其在y轴上的截距b取得最大值和最小值，此时|2－0＋b|2＝3，解得b＝－2±6.所以y－x的最大值为－2＋6，最小值为－2－6.(3)如图所示，x2＋y2表示圆上的一点与原点距离的平方，由平面几何知识知，在原点和圆心连线与圆的两个交点处取得最大值和最小值．又圆心到原点的距离为2－02＋0－02＝2，所以x2＋y2的最大值是(2＋3)2＝7＋43，x2＋y2的最小值是(2－3)2＝7－43.题型三与圆有关的轨迹问题例3已知Rt△ABC的斜边为AB，且A(－1,0)，B(3,0)．求：(1)直角顶点C的轨迹方程；(2)直角边BC的中点M的轨迹方程．解(1)方法一设C(x，y)，因为A，B，C三点不共线，所以y≠0.因为AC⊥BC，且BC，AC斜率均存在，所以kAC·kBC＝－1，又kAC＝yx＋1，kBC＝yx－3，所以yx＋1·yx－3＝－1，8化简得x2＋y2－2x－3＝0.因此，直角顶点C的轨迹方程为x2＋y2－2x－3＝0(y≠0)．方法二设AB的中点为D，由中点坐标公式得D(1,0)，由直角三角形的性质知CD＝12AB＝2.由圆的定义知，动点C的轨迹是以D(1,0)为圆心，2为半径的圆(由于A，B，C三点不共线，所以应除去与x轴的交点)．所以直角顶点C的轨迹方程为(x－1)2＋y2＝4(y≠0)．(2)设M(x，y)，C(x0，y0)，因为B(3,0)，M是线段BC的中点，由中点坐标公式得x＝x0＋32，y＝y0＋02，所以x0＝2x－3，y0＝2y.由(1)知，点C的轨迹方程为(x－1)2＋y2＝4(y≠0)，将x0＝2x－3，y0＝2y代入得(2x－4)2＋(2y)2＝4，即(x－2)2＋y2＝1.因此动点M的轨迹方程为(x－2)2＋y2＝1(y≠0)．思