（江苏专用）2020版高考数学大一轮复习 第二章 函数 2.7 对数函数教案（含解析）

1§2.7对数函数考情考向分析对数函数在高考中的考查主要是图象和性质，同时考查数学思想方法，以考查分类讨论及运算能力为主，考查形式主要是填空题，难度为中低档．同时也有综合性较强的解答题出现，难度为中低档．1．对数函数的定义形如y＝logax(a0，a≠1)的函数叫作对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是(0，＋∞)．2．对数函数的图象与性质a10a1图象性质定义域：(0，＋∞)值域：R过点(1,0)，即当x＝1时，y＝0在(0，＋∞)上是单调增函数在(0，＋∞)上是单调减函数3.反函数指数函数y＝ax(a0且a≠1)与对数函数y＝logax(a0且a≠1)互为反函数，它们的图象关于直线y＝x对称．概念方法微思考如图给出4个对数函数的图象．比较a，b，c，d与1的大小关系．提示0cd1ab.2题组一思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)对数函数y＝logax(a0且a≠1)在(0，＋∞)上是增函数．(×)(2)函数y＝ln1＋x1－x与y＝ln(1＋x)－ln(1－x)的定义域相同．(√)(3)对数函数y＝logax(a0且a≠1)的图象过定点(1,0)且过点(a,1)，1a，－1，函数图象只在第一、四象限．(√)(4)若aman(a0，a≠1)，则mn.(×)题组二教材改编2．[P83例2]已知132,a-＝b＝log213，121log,3c=则a，b，c的大小关系为________．答案cab解析∵0a1，b0，121log3c=＝log231.∴cab.3．[P85练习T2]函数23log(21)yx=-的定义域是________．答案12，1解析由23log(21)0,x-≥得02x－1≤1.∴12x≤1.∴函数23log(21)yx=-的定义域是12，1.题组三易错自纠4．函数f(x)＝log2(3－ax)在(－∞，1)上是减函数，则a的取值范围是________．答案(1,3]解析由已知可得a1，3－a≥0，解得1a≤3.35．函数f(x)＝log2(3x＋1)的值域为________．答案(0，＋∞)解析3x0⇒3x＋11⇒log2(3x＋1)log21＝0.故f(x)的值域为(0，＋∞)．6．若loga341(a0且a≠1)，则实数a的取值范围是____________________．答案0，34∪(1，＋∞)解析当0a1时，loga34logaa＝1，∴0a34；当a1时，loga34logaa＝1，∴a1.∴实数a的取值范围是0，34∪(1，＋∞)．题型一对数函数的图象例1(1)已知函数f(x)＝|lgx|，0x≤10，－12x＋6，x10，若a，b，c互不相等，且f(a)＝f(b)＝f(c)，则abc的取值范围是________．答案(10,12)解析作出函数f(x)的大致图象如下．由图象知，要使f(a)＝f(b)＝f(c)，不妨设0abc，则－lga＝lgb＝－12c＋6.∴lga＋lgb＝0，∴ab＝1，∴abc＝c.由图知10c12，∴abc∈(10,12)．(2)当0x≤12时，4xlogax，则a的取值范围是________．答案22，14解析由题意得，当0a1时，要使得4xlogax0x≤12，即当0x≤12时，函数y＝4x的图象在函数y＝logax图象的下方．又当x＝12时，1242,=即函数y＝4x的图象过点12，2.把点12，2代入y＝logax，得a＝22.若0x≤12时，函数y＝4x的图象在函数y＝logax图象的下方，则需22a1(如图所示)．当a1时，不符合题意，舍去．所以实数a的取值范围是22，1.引申探究若本例(2)变为方程4x＝logax在0，12上有解，则实数a的取值范围为__________．答案0，22解析若方程4x＝logax在0，12上有解，则函数y＝4x和函数y＝logax在0，12上有交点，由图象知0a1，loga12≤2，解得0a≤22.思维升华(1)对一些可通过平移、对称变换作出其图象的对数型函数，在求解其单调性(单调区间)、值域(最值)、零点时，常利用数形结合思想求解．(2)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解．跟踪训练1(1)如图是对数函数y＝logax的底数a的值分别取3，43，35，110时所对应的图象，则相应的C1，C2，C3，C4的a的值依次是________．5答案3，43，35，110(2)已知函数f(x)＝log2x，x0，3x，x≤0，且关于x的方程f(x)＋x－a＝0有且只有一个实根，则实数a的取值范围是____________．答案(1，＋∞)解析如图，在同一坐标系中分别作出y＝f(x)与y＝－x＋a的图象，其中a表示直线在y轴上的截距．由图可知，当a1时，直线y＝－x＋a与y＝f(x)只有一个交点．题型二对数函数的性质命题点1比较对数值的大小例2(1)设a＝log412，b＝log515，c＝log618，则a，b，c的大小关系为________．(用“”连接)答案abc解析a＝1＋log43，b＝1＋log53，c＝1＋log63，∵log43log53log63，∴abc.(2)已知213311,,34ab骣骣鼢珑==鼢珑鼢珑桫桫c＝log3π，则a，b，c的大小关系为________．(用“”连接)答案abc解析由指数函数的性质可得，0a＝2313骣÷ç÷ç÷ç桫130＝1,0b＝1233111,42骣骣鼢珑=鼢珑鼢珑桫桫∵23yx=递增，∴ab，又由对数函数的性质可得c＝log3πlog33＝1，∴abc.命题点2解对数方程、不等式例3(1)方程log2(x－1)＝2－log2(x＋1)的解为________．6答案x＝5解析原方程变形为log2(x－1)＋log2(x＋1)＝log2(x2－1)＝2，即x2－1＝4，解得x＝±5，又x1，所以x＝5.(2)已知不等式logx(2x2＋1)logx(3x)0成立，则实数x的取值范围是____________．答案13，12解析原不等式⇔①0x1，2x2＋13x1，或②x1，2x2＋13x1，解不等式组①得13x12，不等式组②无解．所以实数x的取值范围为13，12.思维升华对数函数的性质以定义域作为基础，要注意底数与1的关系和“同底”原则．跟踪训练2(1)设a＝log32，b＝log52，c＝log23，则a，b，c的大小关系是________．(用“”连接)答案cab解析a＝log32log33＝1，b＝log52log55＝1.又c＝log23log22＝1，所以c最大．由1log23log25，得1log231log25，即ab，所以cab.(2)已知函数f(x)＝－x2＋2x，则不等式f(log2x)f(2)的解集为________．答案(0,1)∪(4，＋∞)解析∵二次函数f(x)＝－x2＋2x的对称轴为x＝1，∴f(0)＝f(2)．结合二次函数的图象可得log2x0或log2x2，解得0x1或x4，∴不等式的解集为(0,1)∪(4，＋∞)．题型三对数函数的综合应用例4已知函数f(x)＝3－2log2x，g(x)＝log2x.7(1)当x∈[1,4]时，求函数h(x)＝[f(x)＋1]·g(x)的值域；(2)如果对任意的x∈[1,4]，不等式f(x2)·f(x)k·g(x)恒成立，求实数k的取值范围．解(1)h(x)＝(4－2log2x)·log2x＝－2(log2x－1)2＋2，因为x∈[1,4]，所以log2x∈[0,2]．故函数h(x)的值域为[0,2]．(2)由f(x2)·f(x)k·g(x)得(3－4log2x)(3－log2x)k·log2x.令t＝log2x，因为x∈[1,4]，所以t∈[0,2]，所以(3－4t)(3－t)k·t对一切t∈[0,2]恒成立．①当t＝0时，k∈R；②当t∈(0,2]时，k3－4t3－tt恒成立，即k4t＋9t－15恒成立，因为4t＋9t≥12，当且仅当4t＝9t，即t＝32时取等号，所以4t＋9t－15的最小值为－3，即k∈(－∞，－3)．思维升华解对数函数的综合问题，要搞清题中复合函数的构成，保证变形过程的等价性．跟踪训练3(1)若函数f(x)＝log2(x2－ax－3a)在区间(－∞，－2]上是减函数，则实数a的取值范围是________．答案[－4,4)解析由题意得x2－ax－3a0在区间(－∞，－2]上恒成立且函数y＝x2－ax－3a在(－∞，－2]上单调递减，则a2≥－2且(－2)2－(－2)a－3a0，解得实数a的取值范围是[－4,4)．(2)函数f(x)＝log2x·2log(2)x的最小值为______．答案－14解析依题意得f(x)＝12log2x·(2＋2log2x)＝(log2x)2＋log2x＝log2x＋122－14≥－14，当log2x＝－12，即x＝22时等号成立，所以函数f(x)的最小值为－14.(3)已知函数f(x)＝a－1x＋4－2a，x1，1＋log2x，x≥1，若f(x)的值域为R，则实数a的取值范围是____________．答案(1,2]8解析当x≥1时，f(x)＝1＋log2x≥1，当x1时，f(x)＝(a－1)x＋4－2a，要满足f(x)的值域为R，需a－10，a－1＋4－2a≥1，解得a∈(1,2]．比较指数式、对数式的大小比较大小问题是每年高考的必考内容之一，基本思路是：(1)比较指数式和对数式的大小，可以利用函数的单调性，引入中间量；有时也可用数形结合的方法．(2)解题时要根据实际情况来构造相应的函数，利用函数单调性进行比较，如果指数相同，而底数不同则构造幂函数，若底数相同而指数不同则构造指数函数，若引入中间量，一般选0或1.例(1)设a＝log3π，b＝log23，c＝log32，则a，b，c的大小关系是________．答案abc解析因为a＝log3πlog33＝1，b＝log23log22＝1，所以ab，又bc＝12log2312log32＝(log23)21，c0，所以bc，故abc.(2)已知a＝log23＋log23，b＝log29－log23，c＝log32，则a，b，c的大小关系是________．答案a＝bc解析因为a＝log23＋log23＝log233＝32log231，b＝log29－log23＝log233＝a，c＝log32log33＝1，所以a＝bc.(3)若实数a，b，c满足loga2logb2logc2，则下列关系中不可能成立的是________．(填序号)①abc；②bac；③cba；④acb.答案①解析由loga2logb2logc2的大小关系，可知a，b，c有如下可能：1cba；0a1cb；0ba1c；0cba1.故①中关系不可能成立．(4)已知函数y＝f(x＋2)的图象关于直线x＝－2对称，且当x∈(0，＋∞)时，f(x)＝|log2x|，若a＝f(－3)，b＝f14，c＝f(2)，则a，b，c的大小关系是________．答案bac9解析易知y＝f(x)是偶函数．当x∈(0，＋∞)时，f(x)＝f1x＝|log2x|，且当x∈[1，＋∞)时，f(x)＝log2x单调递增，又a＝f(－3