（江苏专用）2020版高考数学大一轮复习 第二章 函数 微专题一 分段函数探究教案（含解析）

1微专题一分段函数探究一、分段函数的性质例1函数f(x)＝x2－4a＋1x－8a＋4，x1，logax，x≥1是(－∞，＋∞)上的减函数，求a的取值范围．解因为函数f(x)＝x2－4a＋1x－8a＋4，x1，logax，x≥1是(－∞，＋∞)上的减函数，所以①当x1时，f(x)＝x2－(4a＋1)x－8a＋4，x1是减函数，即4a＋12≥1；②当x≥1时，f(x)＝logax是减函数，即0a1；③12－(4a＋1)×1－8a＋4≥loga1.由①②③得4a＋12≥1，0a1，12－4a＋1×1－8a＋4≥loga1，所以14≤a≤13.即a的取值范围是14，13.例2已知f(x)是定义在R上的奇函数，且当x∈(－∞，0)时，f(x)＝－xlg(2－x)，求函数f(x)的解析式．解因为f(x)是R上的奇函数，所以f(0)＝0.当x0时，－x0，由已知得f(－x)＝xlg(2＋x)，所以－f(x)＝xlg(2＋x)，即f(x)＝－xlg(2＋x)(x0)．所以f(x)＝－xlg2－x，x0，－xlg2＋x，x≥0.即f(x)＝－xlg(2＋|x|)(x∈R)．跟踪训练1(1)函数y＝－(x－3)|x|的单调增区间是________．答案0，32解析y＝－(x－3)|x|＝－x2＋3x，x0，x2－3x，x≤0.作出该函数的图象如图所示，2观察图象知函数的单调增区间为0，32.(2)已知函数f(x)＝ex－k，x≤0，1－kx＋k，x0是R上的增函数，则实数k的取值范围是________．答案12，1解析由题意得e0－k≤k，1－k0，解得12≤k1.(3)判断g(x)＝x，x0，0，x＝0，－x，x0的奇偶性．解当x0时，－x0，g(－x)＝－－x＝x＝g(x)，当x0时，－x0，g(－x)＝－x＝g(x)，又g(－0)＝g(0)，所以g(x)＝x，x0，0，x＝0，－x，x0为偶函数．(4)已知函数f(x)＝x2＋4x，x≥0，－x2＋4x，x0，若f(2－a2)f(a)，求实数a的取值范围．解当x≥0时，函数f(x)＝x2＋4x在[0，＋∞)上是增函数，当x0时，函数f(x)＝－x2＋4x在(－∞，0)上是增函数，易知连续函数y＝f(x)是定义在R上的增函数，因为f(2－a2)f(a)，所以2－a2a，所以－2a1，所以实数a的取值范围是(－2,1)．二、分段函数的值域(最值)例3已知函数f(x)＝3x＋12，x∈[－1，t]，－2x－12，x∈1，a].若存在实数t使f(x)的值域是[－1,1]，求实数a的取值范围．3解由已知得t≤1，函数f(x)＝3x＋12在[－1，t]上为增函数，故其值域为－1，3t＋12；函数f(x)＝－2(x－1)2在(1，a]上为减函数，故其值域为[－2(a－1)2,0)，所以函数f(x)＝3x＋12，x∈[－1，t]，－2x－12，x∈1，a]的值域为[－2(a－1)2,0)∪－1，3t＋12，若存在实数t使f(x)的值域是[－1,1]，则3t＋12＝1，即t＝13，且－2(a－1)2≥－1，即1－22≤a≤1＋22，又a1，所以1a≤1＋22，故实数a的取值范围是1，1＋22.例4若函数f(x)＝|x＋1|＋|2x＋a|的最小值为3，则实数a的值为________．答案－4或8解析当a≤2时，f(x)＝3x＋1＋a，x≥－a2，－x＋1－a，－1x－a2，－3x－1－a，x≤－1.当x＝－a2时，f(x)取得最小值3，此时－3a2＋1＋a＝3，解得a＝－4.当a2时，f(x)＝3x＋1＋a，x≥－1，x－1＋a，－a2x－1，－3x－1－a，x≤－a24当x＝－a2时，f(x)取得最小值3，此时3a2－1－a＝3，解得a＝8，故a＝－4或8.跟踪训练2(1)已知函数f(x)＝x2－2，x－1，2x－1，x≥－1，则函数f(x)的值域为________．答案(－1，＋∞)解析根据分段函数f(x)＝x2－2，x－1，2x－1，x≥－1的图象(图略)可知，该函数的值域为(－1，＋∞)．(2)函数f(x)＝1x，x≥1，－x2＋2，x1的最大值为________．答案2解析当x≥1时，函数f(x)＝1x为减函数，所以f(x)在x＝1处取得最大值，为f(1)＝1；当x1时，易知函数f(x)＝－x2＋2在x＝0处取得最大值，为f(0)＝2.故函数f(x)的最大值为2.(3)已知a∈R，函数f(x)＝x＋4x－a＋a在区间[1,4]上的最大值是5，则a的取值范围是________．答案－∞，92解析方法一当x∈[1,4]时，x＋4x∈[4,5]．①当a≥5时，f(x)＝a－x－4x＋a＝2a－x－4x，函数的最大值为2a－4＝5，解得a＝92(舍去)；②当a≤4时，f(x)＝x＋4x－a＋a＝x＋4x≤5，此时符合题意；③当4＜a＜5时，f(x)max＝max{|4－a|＋a，|5－a|＋a}，则|4－a|＋a≥|5－a|＋a，|4－a|＋a＝5或|4－a|＋a＜|5－a|＋a，|5－a|＋a＝5，解得a＝92或a＜92.5综上，a的取值范围是－∞，92.方法二当x∈[1,4]时，令t＝x＋4x∈[4,5]．则f(x)＝|t－a|＋a，结合数轴易知，t＝92为[4,5]的对称轴，当a≤92时，a靠近左端点4，此时|t－a|≤|5－a|＝5－a，即f(x)max＝5－a＋a＝5，符合题意．当a＞92时，a靠近右端点5，此时|t－a|≤|4－a|＝a－4，即f(x)max＝a－4＋a＝2a－4＞5，不符合题意．综上可得，a的取值范围是－∞，92.方法三当x∈[1,4]时，x＋4x∈[4,5]．结合数轴可知，f(x)max＝max{|5－a|，|4－a|}＋a＝5，a≤92，2a－4，a＞92，令f(x)max＝5，得a∈－∞，92.(4)函数f(x)＝1－2ax＋3a，x1，lnx，x≥1的值域为R，求实数a的取值范围．解因为当x≥1时，lnx≥0，又因为函数f(x)＝1－2ax＋3a，x1，lnx，x≥1的值域为R，所以当x1时，f(x)＝(1－2a)x＋3a必须取到所有的负数，所以1－2a0，1－2a＋3a≥0，解得－1≤a12，所以实数a的取值范围是－1，12.三、分段函数的零点例5(1)已知f(x)＝2－x，x≤1，log81x，x1，则g(x)＝f(x)－12的零点个数为________．答案26解析令g(x)＝0，得f(x)＝12.当x≤1时，2－x＝12，即x＝1；当x1时，log81x＝12，即x＝81＝9.故所求零点为1和9，g(x)的零点个数为2.(2)函数f(x)＝x2－x，x0，12－12＋x，x≤0.若关于x的方程f(x)＝kx－k至少有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围是________．答案－13，1∪(1，＋∞)解析如图，作出函数图象，y＝kx－k过定点(1,0)，临界点－12，12和(1,0)连线的斜率为－13，又f′(1)＝1，由图象知实数k的取值范围是－13，1∪(1，＋∞)．跟踪训练3已知函数f(x)＝x，x≥a，x3－3x，xa.若函数g(x)＝2f(x)－ax恰有2个不同零点，求实数a的取值范围．解函数g(x)＝2f(x)－ax恰有2个不同的零点，即方程2f(x)－ax＝0恰有2个不相等的根，亦即方程组①x≥a，2x－ax＝0或②xa，2x3－6x－ax＝0共有2个不相等的根．首先①中2x－ax＝0，即(2－a)x＝0，若a＝2，则x≥2都是方程2x－ax＝0的根，不符合题意，所以a≠2，因此由2x－ax＝0，解得x＝0，下面分情况讨论．(1)若x＝0是方程①的根，则必须满足0≥a，即a≤0，7此时方程②必须再有另一个根，即xa≤0，2x3－6x－ax＝0有一根，因为x≠0，由2x3－6x－ax＝0，得2x2＝6＋a必须有满足xa≤0的一根，首先6＋a0，其次解得负根需满足－6＋a2a≤0，从而解得－32a≤0.(2)若x＝0不是方程①的根，即方程①无根，则必须满足0a，即a0，此时方程②必须有两个不相等的根，即a0，xa，2x3－6x－ax＝0有两个不相等的根，由2x3－6x－ax＝0，得x＝0a适合，另外2x2＝6＋a必须还有一个满足xa，a0的非零实根，首先6＋a0，由于解得的负根－6＋a2a，a0总成立，故要求解得的正根需满足6＋a2≥a，从而解得0a≤2，但前面已经指出a≠2，故0a2.综合(1)(2)，得实数a的取值范围为－32，2.四、分段函数的综合问题例6已知函数f(x)＝x2＋(x－1)|x－a|.(1)若a＝－1，解方程f(x)＝1；(2)若函数f(x)在R上单调递增，求实数a的取值范围；(3)若a1，且不等式f(x)≥2x－3对一切实数x∈R恒成立，求实数a的取值范围．解(1)当a＝－1时，f(x)＝2x2－1，x≥－1，1，x－1.当x≥－1时，令2x2－1＝1，解得x＝1或x＝－1；当x－1时，f(x)＝1恒成立．∴方程的解集为{x|x≤－1或x＝1}．(2)f(x)＝2x2－a＋1x＋a，x≥a，a＋1x－a，xa.若f(x)在R上单调递增，8则有a＋14≤a，a＋10，a＋1a－a≤2a2－aa＋1＋a，解得a≥13.(3)设g(x)＝f(x)－(2x－3)，则g(x)＝2x2－a＋3x＋a＋3，x≥a，a－1x－a＋3，xa，即不等式g(x)≥0对一切实数x∈R恒成立．∵a1，∴当xa时，g(x)单调递减，其值域为(a2－2a＋3，＋∞)．∵a2－2a＋3＝(a－1)2＋2≥2，∴g(x)≥0恒成立．当x≥a时，∵a1，∴aa＋34，∴g(x)min＝ga＋34＝a＋3－a＋328≥0，得－3≤a≤5.∵a1，∴－3≤a1.综上所述，－3≤a1.跟踪训练4已知函数f(x)＝x2＋2x|x－a|，其中a∈R.(1)求函数f(x)的单调区间；(2)若不等式4≤f(x)≤16在x∈[1,2]上恒成立，求实数a的取值范围．解(1)由f(x)＝－x－a2＋a2，x≤a，3x－a32－a23，xa，故当a≥0时，f(x)在(－∞，a)和(a，＋∞)上递增，又∵f(a)＝a2，∴f(x)在R上递增，当a0时，f(x)在(－∞，a)和a3，＋∞上递增，在a，a3上递减．(2)由题意只需f(x)min≥4，f(x)max≤16，首先，由(1)可知，f(x)在x∈[1,2]上递增，则f(x)min＝f(1)＝1＋2|1－a|≥4，解得a≤－12或a≥52，其次，当a≥52时，f(x)在R上递增，9故f(x)max＝f(2)＝4a－4≤16，解得52≤a≤5，当a≤－12时，f(x)在x∈[1,2]上递增，故f(x)max＝f(2)＝12－4a≤16，解得－1≤a≤－12，综上实数a的取值范围为－1≤a≤－12或52≤a≤5.