（江苏专用）2020版高考数学大一轮复习 第九章 平面解析几何 9.4 直线与圆的位置关系教案（含解

1§9.4直线与圆的位置关系考情考向分析考查直线与圆的位置关系的判断，根据位置关系求参数的范围、最值、几何量的大小等．题型以填空题为主．判断直线与圆的位置关系常用的两种方法(1)几何法：利用圆心到直线的距离d和圆的半径r的大小关系．dr⇔相交；d＝r⇔相切；dr⇔相离．(2)代数法：―――――→判别式Δ＝b2－4ac0⇔相交；＝0⇔相切；0⇔相离.概念方法微思考1．过一定点作圆的切线，切线条数可能有几种情况．提示三种情况，若点在圆上则该点为切点，切线只有一条；若点在圆外，切线应有两条；若点在圆内，切线为零条．2．求圆的弦长有几种常用方法．提示三种．(1)用代数法求出弦的端点坐标，然后利用两点间的距离公式．(2)利用半径、半弦和圆心到直线的垂线段构成的直角三角形．(3)利用弦长公式．若斜率为k的直线与圆交于A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB＝1＋k2|x1－x2|＝1＋1k2|y1－y2|(其中k≠0)，特别地，当k＝0时，AB＝|x1－x2|，当斜率不存在时，AB＝|y1－y2|.题组一思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)若直线与圆有公共点，则直线与圆相交．(×)(2)直线y＝kx＋1和圆x2＋y2＝4一定相交．(√)(3)过圆O：x2＋y2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程是x0x＋y0y＝r2.(√)2(4)过圆O：x2＋y2＝r2外一点P(x0，y0)作圆的两条切线，切点分别为A，B，则O，P，A，B四点共圆且直线AB的方程是x0x＋y0y＝r2.(√)(5)如果直线与圆组成的方程组有解，则直线与圆相交或相切．(√)题组二教材改编2．[P115T1]圆(x－1)2＋(y＋2)2＝6与直线2x＋y－5＝0的位置关系是________．答案相交解析圆心(1，－2)到直线2x＋y－5＝0的距离为|2－2－5|5＝56，故直线与圆相交．3．[P117习题T2(3)]若过点(－1，－2)的直线l被圆x2＋y2－2x－2y＋1＝0截得的弦长为2，则直线l的斜率为________．答案1或177解析将圆的方程化为标准方程得(x－1)2＋(y－1)2＝1，∴圆心坐标为(1,1)，半径r＝1，又弦长为2，∴圆心到直线l的距离d＝12－222＝22，设直线l的斜率为k，又直线l过点(－1，－2)，∴直线l的方程为y＋2＝k(x＋1)，即kx－y＋k－2＝0，∴|2k－3|1＋k2＝22，即(k－1)(7k－17)＝0，解得k＝1或k＝177，则直线l的斜率为1或177.题组三易错自纠4．若直线l：x－y＋m＝0与圆C：x2＋y2－4x－2y＋1＝0恒有公共点，则m的取值范围是________________．答案[－22－1,22－1]解析圆C的标准方程为(x－2)2＋(y－1)2＝4，圆心为(2,1)，半径为2，圆心到直线的距离d＝|2－1＋m|2，若直线与圆恒有公共点，则|2－1＋m|2≤2，解得－22－1≤m≤22－1.5．过点A(3,5)作圆O：x2＋y2－2x－4y＋1＝0的切线，则切线的方程为__________________．答案5x－12y＋45＝0或x－3＝03解析化圆x2＋y2－2x－4y＋1＝0为标准方程得(x－1)2＋(y－2)2＝4，其圆心为(1,2)，∵OA＝3－12＋5－22＝132，∴点A(3,5)在圆外．显然，当切线斜率不存在时，直线与圆相切，即切线方程为x－3＝0，当切线斜率存在时，可设所求切线方程为y－5＝k(x－3)，即kx－y＋5－3k＝0.又圆心为(1,2)，半径r＝2，而圆心到切线的距离d＝|3－2k|k2＋1＝2，即|3－2k|＝2k2＋1，∴k＝512，故所求切线方程为5x－12y＋45＝0或x－3＝0.6．(2018·苏北四市摸底)若直线ax＋y＋1＝0被圆x2＋y2－2ax＋a＝0截得的弦长为2，则实数a的值是________．答案－2解析圆x2＋y2－2ax＋a＝0可化为(x－a)2＋y2＝a2－a，∴圆心为(a,0)，半径为a2－a，圆心到直线的距离为d＝a2＋1a2＋1＝a2＋1.∵直线ax＋y＋1＝0被圆x2＋y2－2ax＋a＝0截得的弦长为2，∴a2＋1＋1＝a2－a，∴a＝－2.题型一直线与圆的位置关系的判断1．已知点M(a，b)在圆O：x2＋y2＝1外，则直线ax＋by＝1与圆O的位置关系是________．答案相交解析因为M(a，b)在圆O：x2＋y2＝1外，所以a2＋b21，而圆心O到直线ax＋by＝1的距离d＝|a·0＋b·0－1|a2＋b2＝1a2＋b21.所以直线与圆相交．2．圆x2＋y2－2x＋4y＝0与直线2tx－y－2－2t＝0(t∈R)的位置关系为________．答案相交解析直线2tx－y－2－2t＝0恒过点(1，－2)，∵12＋(－2)2－2×1＋4×(－2)＝－50，∴点(1，－2)在圆x2＋y2－2x＋4y＝0内，直线2tx－y－2－2t＝0与圆x2＋y2－2x＋4y＝0相交．43．在△ABC中，若asinA＋bsinB－csinC＝0，则圆C：x2＋y2＝1与直线l：ax＋by＋c＝0的位置关系是________．答案相切解析因为asinA＋bsinB－csinC＝0，所以由正弦定理，得a2＋b2－c2＝0.故圆心C(0,0)到直线l：ax＋by＋c＝0的距离d＝|c|a2＋b2＝1＝r，故圆C：x2＋y2＝1与直线l：ax＋by＋c＝0相切．4．(2018·苏州、无锡、常州、镇江三模)若直线3x＋4y－m＝0与圆x2＋y2＋2x－4y＋4＝0始终有公共点，则实数m的取值范围是________．答案[0,10]解析圆的方程x2＋y2＋2x－4y＋4＝0化为标准方程为(x＋1)2＋(y－2)2＝1，所以圆心为(－1,2)，半径r＝1，圆心到直线3x＋4y－m＝0的距离d＝|－3＋8－m|9＋16＝|5－m|5，∵直线3x＋4y－m＝0与圆x2＋y2＋2x－4y＋4＝0始终有公共点，∴0≤|5－m|5≤1，解得0≤m≤10，∴实数m的取值范围是[0,10]．思维升华判断直线与圆的位置关系的常见方法(1)几何法：利用d与r的关系．(2)代数法：联立方程之后利用Δ判断．(3)点与圆的位置关系法：若直线恒过定点且定点在圆内，可判断直线与圆相交．上述方法中最常用的是几何法，点与圆的位置关系法适用于动直线问题．题型二切线问题例1已知圆C：(x－1)2＋(y＋2)2＝10，求满足下列条件的圆的切线方程．(1)与直线l1：x＋y－4＝0平行；(2)与直线l2：x－2y＋4＝0垂直；(3)过切点A(4，－1)．解(1)设切线方程为x＋y＋b＝0，则|1－2＋b|2＝10，∴b＝1±25，5∴切线方程为x＋y＋1±25＝0.(2)设切线方程为2x＋y＋m＝0，则|2－2＋m|5＝10，∴m＝±52，∴切线方程为2x＋y±52＝0.(3)∵kAC＝－2＋11－4＝13，∴过切点A(4，－1)的切线斜率为－3，∴过切点A(4，－1)的切线方程为y＋1＝－3(x－4)，即3x＋y－11＝0.思维升华解决圆的切线问题的关键是抓住圆心到直线的距离等于半径，从而建立关系求解．跟踪训练1已知P是直线3x＋4y＋8＝0上的动点，PA，PB是圆x2＋y2－2x－2y＋1＝0的切线，A，B是切点，C是圆心，那么四边形PACB面积的最小值是________．答案22解析如图，由题意知，圆x2＋y2－2x－2y＋1＝0的圆心是C(1,1)，半径为1，由PA＝PB易知，四边形PACB的面积为12(PA＋PB)＝PA，故PA最小时，四边形PACB的面积最小．由于PA＝PC2－1，故PC最小时PA最小，此时CP垂直于直线3x＋4y＋8＝0，P为垂足，PC＝|3＋4＋8|5＝3，PA＝PC2－1＝22，所以四边形PACB面积的最小值是22.题型三直线与圆相交问题命题点1圆的弦长例2直线x＋3y－2＝0与圆x2＋y2＝4相交于A，B两点，则弦AB的长为________．答案23解析∵圆x2＋y2＝4的圆心为点(0,0)，半径r＝2，∴圆心到直线x＋3y－2＝0的距离d＝|－2|2＝1，6∴弦长AB＝24－1＝23.命题点2直线与圆相交求参数范围例3已知直线l：kx－y－2k＝0，圆C：x2＋y2－2x－2y－2＝0.(1)求证：无论k取何值，直线l与圆C都有两个交点；(2)若k＝1，求直线l被圆C截得的弦长；(3)是否存在实数k，使以l被圆C截得的弦AB为直径的圆过原点？若存在，求出实数k的值；若不存在，请说明理由．(1)证明直线l的方程可化为k(x－2)－y＝0，所以直线l过定点(2,0)．由于22＋02－2×2－2×0－20，故点(2,0)在圆C内，所以直线l与圆C恒有两个交点．(2)解当k＝1时，直线l的方程为x－y－2＝0，圆C：x2＋y2－2x－2y－2＝0的圆心C(1,1)，半径r＝2.圆心C到直线l的距离d＝|1－1－2|2＝2，所以直线l被圆C截得的弦长为2r2－d2＝222－22＝22.(3)解存在．设A(x1，y1)，B(x2，y2)．由kx－y－2k＝0与x2＋y2－2x－2y－2＝0消元得(k2＋1)x2－(4k2＋2k＋2)x＋4k2＋4k－2＝0，x1,2＝4k2＋2k＋2±4k2＋2k＋22－4k2＋14k2＋4k－22k2＋1，所以x1＋x2＝4k2＋2k＋2k2＋1，x1x2＝4k2＋4k－2k2＋1.因为以线段AB为直径的圆过原点，所以x1x2＋y1y2＝0，所以(k2＋1)x1x2－2k2(x1＋x2)＋4k2＝0，所以(k2＋1)·4k2＋4k－2k2＋1－2k2·4k2＋2k＋2k2＋1＋4k2＝0，所以k＝－1±2.思维升华(1)直线和圆问题的代数解法就是联立直线方程和圆的方程，通过交点坐标满足的关系式解题，往往“设而不求”．(2)弦长问题可采用几何法，利用半弦、半径和圆心到弦的垂线段构成的直角三角形．跟踪训练2(1)过三点A(1,3)，B(4,2)，C(1，－7)的圆交y轴于M，N两点，则MN＝__________.7答案46解析由已知，得AB→＝(3，－1)，BC→＝(－3，－9)，则AB→·BC→＝3×(－3)＋(－1)×(－9)＝0，所以AB→⊥BC→，即AB⊥BC，故过三点A，B，C的圆以AC为直径，得其方程为(x－1)2＋(y＋2)2＝25，令x＝0得(y＋2)2＝24，解得y1＝－2－26，y2＝－2＋26，所以MN＝|y1－y2|＝46.(2)(2018·江苏省如东高级中学等四校联考)在平面直角坐标系xOy中，已知圆C：x2＋y2＝2，直线x＋by－2＝0与圆C相交于A，B两点，且|OA→＋OB→|≥3|OA→－OB→|，则b的取值范围是________________．答案－153，－1∪1，153解析设AB中点为M，则|OA→＋OB→|≥3|OA→－OB→|，即2OM≥3×2AM，即OM≥32OA＝62.又直线x＋by－2＝0与圆C相交于A，B两点，所以62≤OM2，而OM＝21＋b2，所以62≤21＋b22，解得1b2≤53，即b的取值范围是－153，－1∪1，153.1．(2019·如皋调研)已知圆x2＋y2＝9被直线mx＋y－2m－1＝0所截得弦长为32，则实数m的值为________．答案1或7解析因为圆x2＋y2＝9的圆心是(0,0)，半径为3，根据弦长为32，所以圆心到直线的距离为d＝9－3222＝322，所以d＝|－2m－1|m2＋1＝322，解得m＝1或m＝7.2．圆x2＋y2－4x－4y－10＝0上的点到直线x＋y－8＝0的最大距离与最小距离的差是________．答案528解析圆的方程可化为(x－2)2＋(y－2)2＝(32)2，圆心到直线的距离为|2＋2－8|2＝2232，故直线与圆相交，最小距离为0，最大距离为