（江苏专用）2020版高考数学大一轮复习 第二章 函数 2.2 函数的单调性教案（含解析）

1§2.2函数的单调性考情考向分析以基本初等函数为载体，考查函数的单调性、单调区间的确定与应用；强化对函数与方程思想、转化与化归思想、分类讨论思想的考查，题型既有填空题，又有解答题．函数的单调性(1)单调函数的定义增函数减函数定义一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2当x1x2时，都有f(x1)f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是增函数当x1x2时，都有f(x1)f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是减函数图象描述自左向右看图象是上升的自左向右看图象是下降的(2)单调区间的定义如果函数y＝f(x)在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做y＝f(x)的单调区间．概念方法微思考1．在判断函数的单调性时，你还知道哪些等价结论？提示对∀x1，x2∈D，fx1－fx2x1－x20⇔f(x)在D上是增函数，减函数类似．2．写出对勾函数y＝x＋ax(a0)的增区间．2提示(－∞，－a]和[a，＋∞)．题组一思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)若定义在R上的函数f(x)，有f(－1)f(3)，则函数f(x)在R上为增函数．(×)(2)函数y＝f(x)在[1，＋∞)上是增函数，则函数的单调递增区间是[1，＋∞)．(×)(3)函数y＝1x的单调递减区间是(－∞，0)∪(0，＋∞)．(×)(4)闭区间上的单调函数，其最值一定在区间端点取到．(√)题组二教材改编2．[P40练习T1]函数f(x)＝x2－2x的单调递增区间是________．答案[1，＋∞)(或(1，＋∞))3．[P54测试T6]若函数y＝5x2＋mx＋4在区间(－∞，－1]上是减函数，在区间[－1，＋∞)上是增函数，则m＝________.答案10解析函数y＝5x2＋mx＋4的图象为开口向上，对称轴是x＝－m10的抛物线，要使函数y＝5x2＋mx＋4在区间(－∞，－1]上是减函数，在区间[－1，＋∞)上是增函数，则－m10＝－1，∴m＝10.题组三易错自纠4．设函数f(x)满足：对任意的x1，x2∈R都有(x1－x2)·[f(x1)－f(x2)]0，则f(－3)与f(－π)的大小关系是________．答案f(－3)f(－π)解析由(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]0，可知函数f(x)为增函数，又－3－π，∴f(－3)f(－π)．5．函数212log(4)yx=-的单调递减区间为________．答案(2，＋∞)36．若函数f(x)＝|2x＋a|的单调增区间是[3，＋∞)，则a的值为________．答案－6解析由图象(图略)易知函数f(x)＝|2x＋a|的单调增区间是－a2，＋∞，令－a2＝3，得a＝－6.题型一求函数的单调区间1．函数212log(231)yxx=－＋的单调递减区间为________．答案(1，＋∞)解析由2x2－3x＋10，得函数的定义域为－∞，12∪(1，＋∞)．令t＝2x2－3x＋1，x∈－∞，12∪(1，＋∞)．则12logyt=，∵t＝2x2－3x＋1＝2x－342－18，∴t＝2x2－3x＋1的一个单调递增区间为(1，＋∞)．又12logyt=是减函数，∴函数212log(231)yxx=－＋的单调递减区间为(1，＋∞)．2．函数y＝－x2＋2|x|＋3的单调递减区间是__________________．答案[－1,0]，[1，＋∞)解析由题意知，当x≥0时，y＝－x2＋2x＋3＝－(x－1)2＋4；当x0时，y＝－x2－2x＋3＝－(x＋1)2＋4，二次函数的图象如图．由图象可知，函数y＝－x2＋2|x|＋3的单调递减区间为[－1,0]，[1，＋∞)．43．函数2213xxy-骣÷ç=÷ç÷ç桫的单调增区间为________．答案(－∞，1]解析易得函数的定义域为R，令u＝x2－2x＝(x－1)2－1，则u在(－∞，1]上为减函数，在[1，＋∞)上为增函数．又y＝13u在(－∞，＋∞)上为减函数，∴2213xxy-骣÷ç=÷ç÷ç桫的单调增区间为(－∞，1]．4．设函数f(x)＝1，x0，0，x＝0，－1，x0，g(x)＝x2f(x－1)，则函数g(x)的单调递减区间是__________．答案[0,1)解析由题意知g(x)＝x2，x1，0，x＝1，－x2，x1，该函数图象如图所示，其单调递减区间是[0,1)．思维升华确定函数单调性的方法：(1)定义法和导数法，证明函数单调性只能用定义法和导数法；(2)复合函数法，复合函数单调性的规律是“同增异减”；(3)图象法，图象不连续的单调区间不能用“∪”连接．题型二判断函数的单调性命题点1证明函数单调性例1求证：f(x)＝ex＋1ex在(0，＋∞)上是增函数．证明设x1x20，则5()()12121211(ee)eexxxxfxfx骣÷ç-÷ç÷ç桫－＝－＋121212e1(ee)exxxxxx++骣-÷ç÷×ç÷ç÷ç桫＝－∵x1x20，1212ee0e10xxxx\＋－，－，∴f(x1)－f(x2)0，∴f(x1)f(x2)，故函数f(x)＝ex＋1ex在(0，＋∞)上是增函数．引申探究如何用导数法求解本例？解f′(x)＝ex－1ex，∵x0，∴ex1，∴f′(x)0，∴f(x)＝ex＋1ex在(0，＋∞)上是增函数．命题点2讨论函数单调性例2判断函数f(x)＝axx2－1(a≠0)在区间(－1,1)上的单调性．解任取x1，x2∈(－1,1)，且x1x2，则f(x1)－f(x2)＝ax1x2＋1x2－x1x21－1x22－1.由－1x1x21得x1x2＋1x2－x1x21－1x22－10，∴当a0时，f(x1)－f(x2)0，f(x1)f(x2)，∴f(x)在(－1,1)上单调递减；同理，当a0时，f(x)在(－1,1)上单调递增．思维升华证明或判断函数的单调性要严格按照函数单调性的定义，尤其在判断符号时可将f(x1)－f(x2)转化为几个因式积商的形式，也可利用导数法证明或判断函数的单调性．跟踪训练1判断并证明函数f(x)＝ax2＋1x(其中1a3)在[1,2]上的单调性．解函数f(x)＝ax2＋1x(1a3)在[1,2]上单调递增．证明：设1≤x1x2≤2，则f(x2)－f(x1)＝ax22＋1x2－ax21－1x16＝(x2－x1)ax1＋x2－1x1x2，由1≤x1x2≤2，得x2－x10,2x1＋x24，1x1x24，－1－1x1x2－14.又因为1a3，所以2a(x1＋x2)12，得a(x1＋x2)－1x1x20，从而f(x2)－f(x1)0，即f(x2)f(x1)，故当a∈(1,3)时，f(x)在[1,2]上单调递增．题型三函数单调性的应用命题点1比较函数值的大小例3已知函数f(x)的图象向左平移1个单位长度后关于y轴对称，当x2x11时，[f(x2)－f(x1)]·(x2－x1)0恒成立，设a＝f－12，b＝f(2)，c＝f(3)，则a，b，c的大小关系为________．答案bac解析根据已知可得函数f(x)的图象关于直线x＝1对称，且在(1，＋∞)上是减函数，因为a＝f－12＝f52，且2523，所以bac.命题点2解函数不等式例4已知函数f(x)＝lnx＋2x，若f(x2－4)2，则实数x的取值范围是______________．答案(－5，－2)∪(2，5)解析因为函数f(x)＝lnx＋2x在定义域上单调递增，且f(1)＝ln1＋2＝2，所以由f(x2－4)2得f(x2－4)f(1)，所以0x2－41，解得－5x－2或2x5.命题点3求参数的取值范围例5(1)(2018·全国Ⅱ改编)若f(x)＝cosx－sinx在[0，a]上是减函数，则a的最大值是________．7答案3π4解析∵f(x)＝cosx－sinx＝－2sinx－π4，∴当x－π4∈－π2，π2，即x∈－π4，3π4时，y＝sinx－π4单调递增，f(x)＝－2sinx－π4单调递减，∴－π4，3π4是f(x)在原点附近的单调减区间，结合条件得[0，a]⊆－π4，3π4，∴a≤3π4，即amax＝3π4.(2)已知函数f(x)＝x2＋12a－2，x≤1，ax－a，x1，若f(x)在(0，＋∞)上单调递增，则实数a的取值范围为________．答案(1,2]解析由题意，得12＋12a－2≤0，则a≤2，又y＝ax－a(x1)是增函数，故a1，所以a的取值范围为1a≤2.(3)若函数f(x)＝ln(ax2＋x)在区间(0,1)上单调递增，则实数a的取值范围为__________．答案－12，＋∞解析若函数f(x)＝ln(ax2＋x)在区间(0,1)上单调递增，则函数g(x)＝ax2＋x在(0,1)上单调递增且g(x)0恒成立．当a＝0时，g(x)＝x在(0,1)上单调递增且g(x)0，符合题意；当a0时，g(x)图象的对称轴为x＝－12a0，所以g(x)在(0,1)上单调递增，且有g(x)0，符合题意；当a0时，需满足g(x)图象的对称轴x＝－12a≥1，且有g(x)0，解得a≥－12，则－12≤a0.综上，a≥－12.思维升华函数单调性应用问题的常见类型及解题策略(1)比较大小．(2)解不等式．利用函数的单调性将“f”符号脱掉，转化为具体的不等式求解，应注意函数的定义域．8(3)利用单调性求参数．①依据函数的图象或单调性定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较；②需注意若函数在区间[a，b]上是单调的，则该函数在此区间的任意子集上也是单调的；③分段函数的单调性，除注意各段的单调性外，还要注意衔接点的取值．跟踪训练2(1)如果函数f(x)＝2－ax＋1，x1，ax，x≥1满足对任意x1≠x2，都有fx1－fx2x1－x20成立，那么a的取值范围是________．答案32，2解析对任意x1≠x2，都有fx1－fx2x1－x20，所以y＝f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数．所以2－a0，a1，2－a×1＋1≤a，解得32≤a2.故实数a的取值范围是32，2.(2)定义在R上的奇函数y＝f(x)在(0，＋∞)上单调递增，且f12＝0，则不等式19(log)0fx的解集为________________．答案x0x13或1x3解析由题意知，f－12＝－f12＝0，f(x)在(－∞，0)上也单调递增．∴191(log)2fxf骣÷ç÷ç÷ç桫或191(log)2fxf骣÷ç-÷ç÷ç桫，∴191log2x或191log02x-，解得0x13或1x3.∴原不等式的解集为x0x13或1x3.91．函数y＝x2－6x＋10在区间(1,3)上是________函数．(填“增”“减”)答案减解析作出函数y＝x2－6x＋10的图象(图略)，根据图象可知函数在(1,3)上是减函数．2．函数212log(6)yxx＝－＋＋的单调递增区间为________．答案12，3解析由－x2＋x＋60，得－2x3，故函数的定义域为(－2,3)，令t＝－x2＋x＋6，则12logyt=，易知其为减函数，由复合函数的单调性法则可知本题等价于求函数t＝－x2＋x＋6在(－2,3)上的单调递减区间．利用二次函数的性质可得t＝－x2＋