（江苏专用）2020版高考数学大一轮复习 第二章 函数 2.10 函数模型及其应用教案（含解析）

1§2.10函数模型及其应用考情考向分析考查根据实际问题建立函数模型解决问题的能力，常与函数图象、单调性、最值及方程、不等式交汇命题，题型以解答题为主，中高档难度．1．几类函数模型函数模型函数解析式一次函数模型f(x)＝ax＋b(a，b为常数，a≠0)反比例函数模型f(x)＝kx＋b(k，b为常数且k≠0)二次函数模型f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)指数函数模型f(x)＝bax＋c(a，b，c为常数，b≠0，a0且a≠1)对数函数模型f(x)＝blogax＋c(a，b，c为常数，b≠0，a0且a≠1)幂函数模型f(x)＝axn＋b(a，b为常数，a≠0)2.三种函数模型的性质函数性质y＝ax(a1)y＝logax(a1)y＝xn(n0)在(0，＋∞)上的增减性单调递增单调递增单调递增增长速度越来越快越来越慢相对平稳图象的变化随x的增大逐渐表现为与y轴平行随x的增大逐渐表现为与x轴平行随n值变化而各有不同值的比较存在一个x0，当xx0时，有logaxxnax2概念方法微思考请用框图概括表示解函数应用题的一般步骤．提示解函数应用题的步骤题组一思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)某种商品进价为每件100元，按进价增加10%出售，后因库存积压降价，若按九折出售，则每件还能获利．(×)(2)函数y＝2x的函数值比y＝x2的函数值大．(×)(3)不存在x0，使0xaxn0logax0.(×)(4)“指数爆炸”是指数型函数y＝a·bx＋c(a≠0，b0，b≠1)增长速度越来越快的形象比喻．(×)题组二教材改编2．[P104习题T1]某县目前人口100万人，经过x年后为y万人，若人口年增长率是1.2%，则y关于x的函数关系式是________．答案y＝100(1＋1.2%)x(x∈N*)解析本题属于简单的指数模型的应用问题，依题意有y＝100(1＋1.2%)x(x∈N*)．3．[P99例3]生产一定数量的商品的全部费用称为生产成本，某企业一个月生产某种商品x万件时的生产成本为C(x)＝12x2＋2x＋20(万元)．一万件售价为20万元，为获取更大利润，该企业一个月应生产该商品数量为________万件．答案18解析利润L(x)＝20x－C(x)＝－12(x－18)2＋142，当x＝18时，L(x)有最大值．34．[P77例8]某大型民企为激励创新，计划逐年加大研发资金投入．若该民企2016年全年投入研发资金130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长12%，则该民企全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是______________年．(参考数据：lg1.12≈0.05，lg1.3≈0.11，lg2≈0.30)答案2020解析设从2016年起，过了n(n∈N*)年该民企全年投入的研发资金超过200万元，则130×(1＋12%)n≥200，则n≥lg2013lg1.12≈0.30－0.110.05＝3.8，由题意取n＝4，则n＋2016＝2020.题组三易错自纠5．某市生产总值连续两年持续增加．第一年的增长率为p，第二年的增长率为q，则该市这两年生产总值的年平均增长率为____________．答案p＋1q＋1－1解析设年平均增长率为x，则(1＋x)2＝(1＋p)(1＋q)，∴x＝1＋p1＋q－1.6．已知某种动物繁殖量y(只)与时间x(年)的关系为y＝alog3(x＋1)，设这种动物第2年有100只，到第8年它们发展到________只．答案200解析由题意知100＝alog3(2＋1)，∴a＝100，∴y＝100log3(x＋1)．当x＝8时，y＝100log39＝200.题型一已知函数模型的实际问题例1(1)加工爆米花时，爆开且不糊的粒数占加工总粒数的百分比称为“可食用率”．在特定条件下，可食用率p与加工时间t(单位：分钟)满足函数关系p＝at2＋bt＋c(a，b，c是常数)，如图记录了三次实验的数据．根据上述函数模型和实验数据，可以得到最佳加工时间为________分钟．4答案3.75解析根据图表，把(t，p)的三组数据(3,0.7)，(4,0.8)，(5,0.5)分别代入函数关系式，联立方程组得0.7＝9a＋3b＋c，0.8＝16a＋4b＋c，0.5＝25a＋5b＋c，消去c化简得7a＋b＝0.1，9a＋b＝－0.3，解得a＝－0.2，b＝1.5，c＝－2.所以p＝－0.2t2＋1.5t－2＝－15t2－152t＋22516＋4516－2＝－15t－1542＋1316，所以当t＝154＝3.75时，p取得最大值，即最佳加工时间为3.75分钟．(2)某商场从生产厂家以每件20元的价格购进一批商品，若该商品零售价定为p元，销售量为Q件，则销售量Q(单位：件)与零售价p(单位：元)有如下关系：Q＝8300－170p－p2，则最大毛利润为(毛利润＝销售收入－进货支出)________元．答案23000解析设毛利润为L(p)元，则由题意知L(p)＝pQ－20Q＝Q(p－20)＝(8300－170p－p2)(p－20)＝－p3－150p2＋11700p－166000，所以L′(p)＝－3p2－300p＋11700.令L′(p)＝0，解得p＝30或p＝－130(舍去)．当p∈(0,30)时，L′(p)0，当p∈(30，＋∞)时，L′(p)0，故L(p)在p＝30时取得极大值，即最大值，且最大值为L(30)＝23000.思维升华求解所给函数模型解决实际问题的关注点(1)认清所给函数模型，弄清哪些量为待定系数．(2)根据已知利用待定系数法，确定模型中的待定系数．5(3)利用该模型求解实际问题．跟踪训练1(1)拟定甲、乙两地通话m分钟的电话费(单位：元)由f(m)＝1.06(0.5[m]＋1)给出，其中m0，[m]是不超过m的最大整数(如[3]＝3，[3.7]＝3，[3.1]＝3)，则甲、乙两地通话6.5分钟的电话费为______元．答案4.24解析∵m＝6.5，∴[m]＝6，则f(6.5)＝1.06×(0.5×6＋1)＝4.24.(2)某工厂生产某种产品固定成本为2000万元，并且每生产一单位产品，成本增加10万元．又知总收入K是单位产品数Q的函数，K(Q)＝40Q－120Q2，则总利润L(Q)的最大值是________万元．答案2500解析L(Q)＝40Q－120Q2－10Q－2000＝－120Q2＋30Q－2000＝－120(Q－300)2＋2500.则当Q＝300时，L(Q)的最大值为2500万元．题型二构建函数模型的实际问题命题点1构造一次函数、二次函数模型例2某航空公司规定，乘飞机所携带行李的质量x(kg)与其运费y(元)之间的关系由如图所示的一次函数图象确定，那么乘客可免费携带行李的质量最大为______kg.答案19解析由图象可求得一次函数的解析式为y＝30x－570，令30x－570＝0，解得x＝19.命题点2构造指数函数、对数函数模型例3一片森林原来面积为a，计划每年砍伐一些树，且每年砍伐面积的百分比相等，当砍伐到面积的一半时，所用时间是10年，为保护生态环境，森林面积至少要保留原面积的14，已6知到今年为止，森林剩余面积为原来的22.(1)求每年砍伐面积的百分比；(2)到今年为止，该森林已砍伐了多少年？解(1)设每年降低的百分比为x(0x1)，则a(1－x)10＝12a，即(1－x)10＝12，解得11011.2x骣÷ç÷ç÷ç桫＝－(2)设经过m年剩余面积为原来的22，则a(1－x)m＝22a，即110211,22m骣骣鼢珑=鼢珑鼢珑桫桫即m10＝12，解得m＝5.故到今年为止，该森林已砍伐了5年．引申探究若本例的条件不变，试计算：今后最多还能砍伐多少年？解设从今年开始，以后砍了n年，则n年后剩余面积为22a(1－x)n.令22a(1－x)n≥14a，即(1－x)n≥24，310211,22n骣骣鼢珑鼢珑鼢珑桫桫≥即n10≤32，解得n≤15.故今后最多还能砍伐15年．命题点3构造y＝x＋ax(a0)型函数例4(1)某汽车运输公司购买了一批豪华大客车投入营运，据市场分析，每辆客车营运的总利润y(万元)与营运年数x的关系如图所示(抛物线的一段)，则为使其营运年平均利润最大，每辆客车营运年数为________．7答案5解析根据图象求得y＝－(x－6)2＋11，∴年平均利润yx＝12－x＋25x，∵x＋25x≥10，当且仅当x＝5时等号成立．∴要使平均利润最大，客车营运年数为5.(2)某地区要建造一条防洪堤，其横断面为等腰梯形，腰与底边夹角为60°(如图)，考虑防洪堤坚固性及石块用料等因素，设计其横断面要求面积为93平方米，且高度不低于3米．记防洪堤横断面的腰长为x米，外周长(梯形的上底线段BC与两腰长的和)为y米．要使防洪堤的上面与两侧面的水泥用料最省(即横断面的外周长最小)，则防洪堤的腰长x＝________米．答案23解析由题意可得BC＝18x－x2(2≤x6)，∴y＝18x＋3x2≥218x×3x2＝63.当且仅当18x＝3x2(2≤x6)，即x＝23时等号成立．命题点4构造分段函数模型例5已知某公司生产某款手机的年固定成本为40万美元，每生产1万只还需另投入16万美元．设该公司一年内共生产该款手机x万只并全部销售完，每万只的销售收入为R(x)万美元，且R(x)＝400－6x，0x≤40，7400x－40000x2，x40.(1)写出年利润W(万美元)关于年产量x(万只)的函数解析式；(2)当年产量为多少万只时，该公司在该款手机的生产中所获得的年利润最大？并求出最大年利润．解(1)当0x≤40时，W＝xR(x)－(16x＋40)＝－6x2＋384x－40，当x40时，8W＝xR(x)－(16x＋40)＝－40000x－16x＋7360.所以W＝－6x2＋384x－40，0x≤40，－40000x－16x＋7360，x40.(2)①当0x≤40时，W＝－6(x－32)2＋6104，所以Wmax＝W(32)＝6104；②当x40时，W＝－40000x－16x＋7360，由于40000x＋16x≥240000x×16x＝1600，当且仅当40000x＝16x，即x＝50∈(40，＋∞)时，取等号，所以W取最大值5760.综合①②，当年产量x＝32万只时，W取最大值6104万美元．思维升华构建数学模型解决实际问题，要正确理解题意，分清条件和结论，理顺数量关系，将文字语言转化成数学语言，建立适当的函数模型，求解过程中不要忽略实际问题对变量的限制．跟踪训练2(1)某化工厂生产一种溶液，按市场要求杂质含量不超过0.1%，若初时含杂质2%，每过滤一次可使杂质含量减少13，至少应过滤__________次才能达到市场要求．(参考数据：lg2≈0.3010，lg3≈0.4771)答案8解析设至少过滤n次才能达到市场要求，则2%1－13n≤0.1%，即23n≤120，所以nlg23≤－1－lg2，所以n≥7.39，所以n＝8.(2)大学毕业生小赵想开一家服装专卖店，经过预算，该门面需要装修费为20000元，每天需要房租、水电等费用100元，受经营信誉度、销售季节等因素的影响，专卖店销售总收益R(元)与门面经营天数x的关系是R(x)＝400x－12x2，0≤x≤400，80000，x400，则当总利润最大时，该门面经营的天数是________．答案3009解析由题意，总利润y＝400x－12x2－100x－20000，0≤x≤400，60000－100x，x400，当0≤x≤400时，y＝－12(x－300)2＋25000，所以当x＝300时，ymax＝25000；当x400时，y＝60000－100x20000.综上，当门面经营的天数为300时，总利润最大为25