（江苏专用）2020版高考数学大一轮复习 第八章 立体几何 微专题三 立体几何中的实际应用问题教案（

1微专题三立体几何中的实际应用问题例1(2018·南通、泰州模拟)如图，铜质六角螺帽毛坯是由一个正六棱柱挖去一个圆柱所构成的，已知正六棱柱的底面边长、高都为4cm，圆柱的底面积为93cm2.若将该螺帽熔化后铸成一个高为6cm的正三棱柱零件，则该正三棱柱的底面边长为________cm.(不计损耗)答案210解析由题意知，铜质六角螺帽毛坯的体积V＝6×12×42×sin60°－93×4＝603(cm3)．设正三棱柱的底面边长为acm，则12×a2×sin60°×6＝603，解得a＝210，所以正三棱柱的底面边长为210cm.例2如图，一个倒圆锥形容器，它的轴截面是正三角形，在容器内放一个半径为r的铁球，并向容器内注水，使水面恰好与铁球面相切．将球取出后，容器内的水深是多少？解铁球取出后，容器内水的体积不变，设球被取出后容器内水深为h，∵△ABC为正三角形，O为△ABC的中心，∴AO1＝3OM＝3r，注水后圆锥的底面半径O1C＝33×3r，∵球取出后的水深为h，则此时圆锥底面半径为33h.∴球的体积与球被取出后圆锥的体积之和等于注水后圆锥的体积，即43πr3＋13π·33h2·h＝13π33·3r2·3r，解得h＝315r.∴球取出后，容器内的水深为315r.2例3现需要设计一个仓库，它由上、下两部分组成，上部的形状是正四棱锥P－A1B1C1D1，下部的形状是正四棱柱ABCD－A1B1C1D1(如图所示)，并要求正四棱柱的高O1O是正四棱锥的高PO1的4倍．(1)若AB＝6m，PO1＝2m，则仓库的容积是多少？(2)若正四棱锥的侧棱长为6m，则当PO1为多少时，仓库的容积最大？解(1)由PO1＝2知，O1O＝4PO1＝8.因为A1B1＝AB＝6，所以正四棱锥P－A1B1C1D1的体积V锥＝13·A1B21·PO1＝13×62×2＝24(m3)；正四棱柱ABCD－A1B1C1D1的体积V柱＝AB2·O1O＝62×8＝288(m3)．所以仓库的容积V＝V锥＋V柱＝24＋288＝312(m3)．(2)设A1B1＝am，PO1＝hm，则0h6，O1O＝4h.连结O1B1.因为在Rt△PO1B1中，O1B21＋PO21＝PB21，所以2a22＋h2＝36，即a2＝2(36－h2)，于是仓库的容积V＝V柱＋V锥＝a2·4h＋13a2·h＝133a2h＝263(36h－h3)，0h6，从而V′＝263(36－3h2)＝26(12－h2)．令V′＝0，得h＝23或h＝－23(舍)．当0h23时，V′0，V是单调增函数；当23h6时，V′0，V是单调减函数．故当h＝23时，V取得极大值，也是最大值．因此，当PO1＝23m时，仓库的容积最大．3跟踪训练(1)某农场拟建一座如图所示的粮仓，该粮仓由上、下两部分组成，上部分是底面半径为rm，高为3r4m的无底圆锥，下部分是底面半径为rm，高为hm的无盖圆柱．设圆柱侧面和底面的建造成本分别为100元/m2和160元/m2，圆锥侧面的建造成本是72元/m2，该粮仓的总建造成本为27000π元(π为圆周率)．记该粮仓下部分(圆柱)的体积为Vm3.①试将V表示成r的函数V(r)，并求其定义域；②当r为何值时，该粮仓下部分(圆柱)的体积最大？解①设圆锥的母线长为l，则l＝r2＋3r42＝54r.该粮仓上部分的建造成本为72×12l×2πr＝72×12×54r×2πr＝90πr2(元)．下部分的建造成本为160×πr2＋100×2πr×h＝(160πr2＋200πrh)(元)．由于该粮仓的总建造成本为27000π元，所以90πr2＋160πr2＋200πrh＝27000π，即5r2＋4rh＝540，所以h＝5108－r24r，故V(r)＝πr2h＝πr2×5108－r24r＝5π108r－r34.由r0，h＝5108－r24r0，得0r63，所以V(r)＝5π108r－r34，其定义域为{r|0r63}．②因为V(r)＝5π108r－r34，0r63，所以V′(r)＝5π108－3r24.令V′(r)＝5π108－3r24＝0，解得r＝±6，又0r63，所以r＝6.4当0r6时，V′(r)0，所以V(r)在(0,6)上单调递增；当6r63时，V′(r)0，所以V(r)在(6,63)上单调递减．因此当r＝6时，V(r)取得最大值，故当r为6时，该粮仓下部分(圆柱)的体积最大．(2)(2018·南京、盐城模拟)有一矩形硬纸板材料(厚度忽略不计)，一边AB长为6分米，另一边足够长．现从中截取矩形ABCD(如图甲所示)，再剪去图中阴影部分，用剩下的部分恰好能折卷成一个底面是弓形的柱体包装盒(如图乙所示，重叠部分忽略不计)，其中OEMF是以O为圆心、∠EOF＝120°的扇形，且弧EF，GH分别与边BC，AD相切于点M，N.①当BE长为1分米时，求折卷成的包装盒的容积；②当BE的长是多少分米时，折卷成的包装盒的容积最大？解①在图甲中，连结MO交EF于点T.设OE＝OF＝OM＝R，在Rt△OET中，因为∠EOT＝12∠EOF＝60°，所以OT＝R2，则MT＝OM－OT＝R2.从而BE＝MT＝R2，即R＝2BE＝2.故所得柱体的底面积S＝S扇形OEF－S△OEF＝13πR2－12R2sin120°＝4π3－3.又所得柱体的高EG＝4，所以V＝S×EG＝16π3－43.5答当BE长为1分米时，折卷成的包装盒的容积为16π3－43立方分米．②设BE＝x，则R＝2x，所以所得柱体的底面积S＝S扇形OEF－S△OEF＝13πR2－12R2sin120°＝4π3－3x2.又所得柱体的高EG＝6－2x，所以V＝S×EG＝8π3－23(－x3＋3x2)，其中0x3.令f(x)＝－x3＋3x2，x∈(0,3)，则由f′(x)＝－3x2＋6x＝－3x(x－2)＝0，解得x＝2.当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如表所示：x(0,2)2(2,3)f′(x)＋0－f(x)↗极大值↘所以当x＝2时，f(x)取得极大值，也是最大值．答当BE的长为2分米时，折卷成的包装盒的容积最大．