（江苏专用）2020版高考数学大一轮复习 第二章 函数 2.1 函数及其表示（第2课时）函数的定义域

1第2课时函数的定义域与值域题型一函数的定义域命题点1求函数的定义域例1(1)(2018·江苏)函数f(x)＝log2x－1的定义域为________．答案{x|x≥2}解析由log2x－1≥0，即log2x≥log22，解得x≥2，满足x0，所以函数f(x)＝log2x－1的定义域为{x|x≥2}．(2)函数f(x)＝1xlnx2－3x＋2＋－x2－3x＋4的定义域为________________．答案[－4,0)∪(0,1)解析由x≠0，x2－3x＋20，－x2－3x＋4≥0，解得－4≤x0或0x1，故函数f(x)的定义域为[－4,0)∪(0,1)．(3)若函数y＝f(x)的定义域是[0,2020]，则函数g(x)＝fx＋1x－1的定义域是________．答案[－1,1)∪(1,2019]解析使函数f(x＋1)有意义，则0≤x＋1≤2020，解得－1≤x≤2019，故函数f(x＋1)的定义域为[－1，2019]．所以函数g(x)有意义的条件是－1≤x≤2019，x－1≠0，解得－1≤x1或1x≤2019.故函数g(x)的定义域为[－1,1)∪(1,2019]．引申探究本例(3)中，若将“函数y＝f(x)的定义域为[0,2020]”，改为“函数f(x－1)的定义域为[0,2020]”，则函数g(x)＝fx＋1x－1的定义域为________．答案[－2,1)∪(1,2018]解析由函数f(x－1)的定义域为[0,2020]，得函数y＝f(x)的定义域为[－1,2019]，2令－1≤x＋1≤2019，x≠1，则－2≤x≤2018且x≠1.所以函数g(x)的定义域为[－2,1)∪(1,2018]．命题点2已知定义域求参数范围例2(1)若函数f(x)＝ax2＋abx＋b的定义域为{x|1≤x≤2}，则a＋b的值为________．答案－92解析函数f(x)的定义域是不等式ax2＋abx＋b≥0的解集．不等式ax2＋abx＋b≥0的解集为{x|1≤x≤2}，所以a0，1＋2＝－b，1×2＝ba，解得a＝－32，b＝－3，所以a＋b＝－32－3＝－92.(2)设f(x)的定义域为[0,1]，要使函数f(x－a)＋f(x＋a)有定义，则a的取值范围为____________．答案－12，12解析函数f(x－a)＋f(x＋a)的定义域为[a,1＋a]∩[－a,1－a]，当a≥0时，应有a≤1－a，即0≤a≤12；当a0时，应有－a≤1＋a，即－12≤a0.所以a的取值范围是－12，12.思维升华(1)求给定函数的定义域往往转化为解不等式(组)的问题，可借助于数轴，注意端点值的取舍．(2)求抽象函数的定义域：①若y＝f(x)的定义域为(a，b)，则解不等式ag(x)b即可求出y＝f(g(x))的定义域；②若y＝f(g(x))的定义域为(a，b)，则求出g(x)在(a，b)上的值域即得f(x)的定义域．(3)已知函数定义域求参数的值或范围，可将问题转化成含参数的不等式，然后求解．跟踪训练1(1)函数y＝ln1＋1x＋1－x2的定义域为________．答案(0,1]3解析函数的定义域满足x≠0，1＋1x0，1－x2≥0，解得x≠0，x0或x－1，－1≤x≤1，∴0x≤1.(2)若函数y＝f(x)的定义域为[0,2]，则函数g(x)＝f2xx－1的定义域是________．答案[0,1)解析函数y＝f(x)的定义域是[0,2]，要使函数g(x)有意义，可得0≤2x≤2，x－1≠0，解得0≤x1.(3)记函数f(x)＝2－x＋3x＋1的定义域为A，g(x)＝lg[(x－a－1)(2a－x)](a1)的定义域为B.若B⊆A，则实数a的取值范围为________________．答案(－∞，－2]∪12，1解析由已知得A＝{x|x－1或x≥1}，B＝{x|(x－a－1)(x－2a)0}，由a1得a＋12a，∴B＝{x|2axa＋1}．∵B⊆A，∴a＋1≤－1或2a≥1，∴a≤－2或12≤a1.∴a的取值范围为a≤－2或12≤a1.题型二函数的值域例3求下列函数的值域：(1)y＝3x2－x＋2，x∈[1,3]；(2)y＝3x＋1x－2；(3)y＝x＋41－x；(4)y＝2x2－x＋12x－1x12.解(1)(配方法)因为y＝3x2－x＋2＝3x－162＋2312，所以函数y＝3x2－x＋2在[1,3]上单调递增．4当x＝1时，原函数取得最小值4；当x＝3时，原函数取得最大值26.所以函数y＝3x2－x＋2(x∈[1,3])的值域为[4,26]．(2)(分离常数法)y＝3x＋1x－2＝3x－2＋7x－2＝3＋7x－2，因为7x－2≠0，所以3＋7x－2≠3，所以函数y＝3x＋1x－2的值域为{y|y≠3}．(3)(换元法)设t＝1－x，t≥0，则x＝1－t2，所以原函数可化为y＝1－t2＋4t＝－(t－2)2＋5(t≥0)，所以y≤5，所以原函数的值域为(－∞，5]．(4)(基本不等式法)y＝2x2－x＋12x－1＝x2x－1＋12x－1＝x＋12x－1＝x－12＋12x－12＋12，因为x12，所以x－120，所以x－12＋12x－12≥2x－12·12x－12＝2，当且仅当x－12＝12x－12，即x＝1＋22时取等号．所以y≥2＋12，即原函数的值域为2＋12，＋∞.思维升华配方法、分离常数法和换元法是求函数值域的有效方法，但要注意各种方法所适用的函数形式，还要注意函数定义域的限制．换元法多用于无理函数，换元的目的是进行化归，把无理式转化为有理式来解．二次分式型函数求值域，多采用分离出整式再利用基本不等式求解．跟踪训练2(1)函数y＝2x－x－1的值域是________．5答案158，＋∞解析令x－1＝t，则t≥0且x＝t2＋1≥1，于是y＝2x－x－1＝2t2－t＋2＝2t－142＋158.又因为t≥0，所以y≥158.因此值域为158，＋∞.(2)函数f(x)＝1－e2x1＋e2x的值域是________．答案(－1,1)解析由y＝1－e2x1＋e2x，得e2x＝1－y1＋y0，解得－1y1.(3)函数y＝x2x2－x＋1的值域是________．答案0，43解析若x＝0，则y＝0；若x≠0，则y＝11x2－1x＋1＝11x－122＋34∈0，43.故所求值域为0，43.(4)函数f(x)＝x＋1x2＋4x＋7的值域为________．答案0，66解析当x＋1＝0时，f(x)＝0，当x＋10时，x＋1x2＋4x＋7＝x＋1x＋12＋2x＋1＋4＝1x＋1＋4x＋1＋2≤16，当且仅当x＝1时取等号．∴0f(x)≤66，故f(x)的值域为0，66.题型三函数定义域、值域的综合问题6例4(1)若函数f(x)＝－x＋6，x≤2，3＋logax，x2(a0且a≠1)的值域是[4，＋∞)，则实数a的取值范围是________．答案(1,2]解析当x≤2时，－x＋6≥4，要使得函数f(x)的值域为[4，＋∞)，只需当x2时，f(x)＝3＋logax的值域在区间[4，＋∞)内即可，故a1，所以3＋loga2≥4，解得1a≤2，所以实数a的取值范围是(1,2]．(2)已知函数f(x)＝|log3x|的定义域为[a，b]，值域为[0,1]，若区间[a，b]的长度为b－a，则b－a的最小值为________．答案23解析画出函数图象：函数f(x)＝|log3x|在区间[a，b]上的值域为[0,1]，∵当x＝1时，f(x)＝0，当x＝3或13时，f(x)＝1，由图可知，b－a的最小值为1－13＝23.思维升华对于根据函数定义域、值域求参数的问题，可结合函数的图象、性质进行分析，研究定义域、值域的关系．跟踪训练3(1)已知函数y＝x2－2x＋a的定义域为R，值域为[0，＋∞)，则实数a的取值集合为________．答案{1}解析x2－2x＋a≥0恒成立，且最小值为0，则满足Δ＝0，即4－4a＝0，则a＝1.(2)若函数y＝lg(x2＋2x＋m)的值域是R，则实数m的取值范围是________．答案(－∞，1]解析令t＝x2＋2x＋m，则t可取遍所有正数，∴Δ＝4－4m≥0，∴m≤1.(3)已知函数f(x)＝ax＋b(a0且a≠1)的定义域和值域都是[－1,0]，则a＋b＝________.答案－327解析当a1时，a－1＋b＝－1，a0＋b＝0，该方程组无解；当0a1时，a－1＋b＝0，a0＋b＝－1，解得a＝12，b＝－2，则a＋b＝12－2＝－32.1．下列各组函数中，表示相同函数的是________．(填序号)①y＝x与y＝x2；②y＝x与y＝x2x；③y＝x与y＝t；④y＝x＋1·x－1与y＝x2－1.答案③解析①函数y＝x的定义域为R，值域为R，而函数y＝x2的定义域为R，值域为[0，＋∞)，故不是相同函数；②函数y＝x的定义域为R，值域为R，函数y＝x2x的定义域为{x|x≠0}，值域为{y|y≠0}，故不是相同函数；③两个函数的定义域为R，值域为R，对应法则也相同，故是相同函数；④函数y＝x＋1·x－1定义域为[1，＋∞)，值域为[0，＋∞)，而函数y＝x2－1的定义域为{x|x≥1或x≤－1}，值域为[0，＋∞)，故不是相同函数．综上所述，故答案为③.2．函数y＝lnx＋1－x2－3x＋4的定义域为________．答案(－1,1)解析由x＋10，－x2－3x＋40，得－1x1.3．已知函数f(x)的定义域是[0,2]，则函数g(x)＝fx＋12＋fx－12的定义域是________．答案12，328解析因为函数f(x)的定义域是[0,2]，所以函数g(x)＝fx＋12＋fx－12中的自变量x需满足：0≤x＋12≤2，0≤x－12≤2，解得－12≤x≤32，12≤x≤52.所以12≤x≤32，所以函数g(x)的定义域是12，32.4．函数y＝x－x－2的值域为________．答案74，＋∞解析令a＝x－2，则a≥0，x＝a2＋2，∴y＝a2＋2－a＝a－122＋74，∵a≥0，∴当a＝12时，ymin＝74，∴函数y＝x－x－2的值域为74，＋∞.5．函数y＝14x－12x＋1在区间[－3,2]上的值域是________．答案34，57解析因为x∈[－3,2]，所以令t＝12x，则t∈14，8，故y＝t2－t＋1＝t－122＋34.当t＝12时，ymin＝34；当t＝8时，ymax＝57.故所求函数的值域为34，57.6．若函数f(x)＝a－1x2＋a－1x＋1的定义域为R，则实数a的取值范围为________．答案[1,5]解析由已知得(a－1)x2＋(a－1)x＋1≥0对x∈R恒成立，当a＝1时，显然适合，9当a≠1时，由a－10，a－12－4a－1≤0得1a≤5，综上，实数a的取值范围是[1,5]．7．若函数y＝x2－3x－4的定义域为[0，m]，值域为－254，－4，则实数m的取值范围是________．答案32，3解析y＝x2－3x－4＝x－322－254，由题意易得m≥32，又当x＝32时，y＝－254，当x＝3时，y＝－4，可得实数m的取值范围是