（鲁京津琼专用）2020版高考数学大一轮复习 第五章 平面向量与复数 5.2 平面向量基本定理及坐标

1§5.2平面向量基本定理及坐标表示最新考纲1.了解平面向量基本定理及其意义.2.掌握平面向量的正交分解及其坐标表示.3.会用坐标表示平面向量的加、减与数乘运算.4.理解用坐标表示的平面向量共线的条件．1．平面向量基本定理如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.其中，不共线的向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底．2．平面向量的坐标运算(1)向量加法、减法、数乘及向量的模设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)，a－b＝(x1－x2，y1－y2)，λa＝(λx1，λy1)，|a|＝x21＋y21.(2)向量坐标的求法①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标．②设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则AB→＝(x2－x1，y2－y1)，|AB→|＝x2－x12＋y2－y12.3．平面向量共线的坐标表示设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0.a，b共线⇔x1y2－x2y1＝0.概念方法微思考1．若两个向量存在夹角，则向量的夹角与直线的夹角一样吗？为什么？提示不一样．因为向量有方向，而直线不考虑方向．当向量的夹角为直角或锐角时，与直线的夹角相同．当向量的夹角为钝角或平角时，与直线的夹角不一样．2．平面内的任一向量可以用任意两个非零向量表示吗？提示不一定．当两个向量共线时，这两个向量就不能表示，即两向量只有不共线时，才能作为一组基底表示平面内的任一向量．2题组一思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)平面内的任意两个向量都可以作为一组基底．(×)(2)若a，b不共线，且λ1a＋μ1b＝λ2a＋μ2b，则λ1＝λ2，μ1＝μ2.(√)(3)在等边三角形ABC中，向量AB→与BC→的夹角为60°.(×)(4)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b的充要条件可表示成x1x2＝y1y2.(×)(5)平面向量不论经过怎样的平移变换之后其坐标不变．(√)(6)当向量的起点在坐标原点时，向量的坐标就是向量终点的坐标．(√)题组二教材改编2．已知▱ABCD的顶点A(－1，－2)，B(3，－1)，C(5,6)，则顶点D的坐标为________．答案(1,5)解析设D(x，y)，则由AB→＝DC→，得(4,1)＝(5－x,6－y)，即4＝5－x，1＝6－y，解得x＝1，y＝5.3．已知向量a＝(2,3)，b＝(－1,2)，若ma＋nb与a－2b共线，则mn＝________.答案－12解析由向量a＝(2,3)，b＝(－1,2)，得ma＋nb＝(2m－n,3m＋2n)，a－2b＝(4，－1)．由ma＋nb与a－2b共线，得2m－n4＝3m＋2n－1，所以mn＝－12.题组三易错自纠4．设e1，e2是平面内一组基底，若λ1e1＋λ2e2＝0，则λ1＋λ2＝________.答案05．已知点A(0,1)，B(3,2)，向量AC→＝(－4，－3)，则向量BC→＝________.答案(－7，－4)解析根据题意得AB→＝(3,1)，∴BC→＝AC→－AB→＝(－4，－3)－(3,1)＝(－7，－4)．6．已知向量a＝(m,4)，b＝(3，－2)，且a∥b，则m＝________.答案－6解析因为a∥b，3所以(－2)×m－4×3＝0，解得m＝－6.题型一平面向量基本定理的应用例1如图，已知△OCB中，A是CB的中点，D是将OB→分成2∶1的一个内分点，DC和OA交于点E，设OA→＝a，OB→＝b.(1)用a和b表示向量OC→，DC→；(2)若OE→＝λOA→，求实数λ的值．解(1)由题意知，A是BC的中点，且OD→＝23OB→，由平行四边形法则，得OB→＋OC→＝2OA→，所以OC→＝2OA→－OB→＝2a－b，DC→＝OC→－OD→＝(2a－b)－23b＝2a－53b.(2)由题意知，EC→∥DC→，故设EC→＝xDC→.因为EC→＝OC→－OE→＝(2a－b)－λa＝(2－λ)a－b，DC→＝2a－53b.所以(2－λ)a－b＝x2a－53b.因为a与b不共线，由平面向量基本定理，得2－λ＝2x，－1＝－53x，解得x＝35，λ＝45.故λ＝45.思维升华应用平面向量基本定理的注意事项4(1)选定基底后，通过向量的加、减、数乘以及向量平行的充要条件，把相关向量用这一组基底表示出来．(2)强调几何性质在向量运算中的作用，用基底表示未知向量，常借助图形的几何性质，如平行、相似等．(3)强化共线向量定理的应用．跟踪训练1在△ABC中，点P是AB上一点，且CP→＝23CA→＋13CB→，Q是BC的中点，AQ与CP的交点为M，又CM→＝tCP→，则t的值为________．答案34解析∵CP→＝23CA→＋13CB→，∴3CP→＝2CA→＋CB→，即2CP→－2CA→＝CB→－CP→，∴2AP→＝PB→，即P为AB的一个三等分点，如图所示．∵A，M，Q三点共线，∴CM→＝xCQ→＋(1－x)CA→＝x2CB→＋(x－1)AC→，而CB→＝AB→－AC→，∴CM→＝x2AB→＋x2－1AC→.又CP→＝CA→－PA→＝－AC→＋13AB→，由已知CM→＝tCP→，可得x2AB→＋x2－1AC→＝t－AC→＋13AB→，又AB→，AC→不共线，∴x2＝t3，x2－1＝－t，解得t＝34.5题型二平面向量的坐标运算例2(1)已知点M(5，－6)和向量a＝(1，－2)，若MN→＝－3a，则点N的坐标为()A．(2,0)B．(－3,6)C．(6,2)D．(－2,0)答案A解析设N(x，y)，则(x－5，y＋6)＝(－3,6)，∴x＝2，y＝0.(2)已知A(－2,4)，B(3，－1)，C(－3，－4)．设AB→＝a，BC→＝b，CA→＝c，a＝mb＋nc(m，n∈R)，则m＋n＝________.答案－2解析由已知得a＝(5，－5)，b＝(－6，－3)，c＝(1,8)．∵mb＋nc＝(－6m＋n，－3m＋8n)，∴－6m＋n＝5，－3m＋8n＝－5，解得m＝－1，n＝－1.∴m＋n＝－2.思维升华平面向量坐标运算的技巧(1)利用向量加、减、数乘运算的法则来进行求解，若已知有向线段两端点的坐标，则应先求向量的坐标．(2)解题过程中，常利用“向量相等，则坐标相同”这一结论，由此可列方程(组)进行求解．跟踪训练2线段AB的端点为A(x,5)，B(－2，y)，直线AB上的点C(1,1)，使|AC→|＝2|BC→|，则x＋y＝________.答案－2或6解析由已知得AC→＝(1－x，－4)，2BC→＝2(3,1－y)．由|AC→|＝2|BC→|，可得AC→＝±2BC→，则当AC→＝2BC→时，有1－x＝6，－4＝2－2y，解得x＝－5，y＝3，此时x＋y＝－2；当AC→＝－2BC→时，有1－x＝－6，－4＝－2＋2y，解得x＝7，y＝－1，此时x＋y＝6.综上可知，x＋y＝－2或6.题型三向量共线的坐标表示6命题点1利用向量共线求向量或点的坐标例3已知O为坐标原点，点A(4,0)，B(4,4)，C(2,6)，则AC与OB的交点P的坐标为________．答案(3,3)解析方法一由O，P，B三点共线，可设OP→＝λOB→＝(4λ，4λ)，则AP→＝OP→－OA→＝(4λ－4,4λ)．又AC→＝OC→－OA→＝(－2,6)，由AP→与AC→共线，得(4λ－4)×6－4λ×(－2)＝0，解得λ＝34，所以OP→＝34OB→＝(3,3)，所以点P的坐标为(3,3)．方法二设点P(x，y)，则OP→＝(x，y)，因为OB→＝(4,4)，且OP→与OB→共线，所以x4＝y4，即x＝y.又AP→＝(x－4，y)，AC→＝(－2,6)，且AP→与AC→共线，所以(x－4)×6－y×(－2)＝0，解得x＝y＝3，所以点P的坐标为(3,3)．命题点2利用向量共线求参数例4(2018·洛阳模拟)已知平面向量a＝(2，－1)，b＝(1,1)，c＝(－5,1)，若(a＋kb)∥c，则实数k的值为()A．－114B.12C．2D.114答案B解析因为a＝(2，－1)，b＝(1,1)，所以a＋kb＝(2＋k，－1＋k)，又c＝(－5,1)，由(a＋kb)∥c得(2＋k)×1＝－5×(k－1)，解得k＝12，故选B.思维升华平面向量共线的坐标表示问题的解题策略(1)如果已知两向量共线，求某些参数的取值时，利用“若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b7的充要条件是x1y2＝x2y1”．(2)在求与一个已知向量a共线的向量时，可设所求向量为λa(λ∈R)．跟踪训练3(1)(2018·济南模拟)已知向量a＝(1,1)，b＝(2，x)，若a＋b与3a－b平行，则实数x的值是__________________．答案2解析∵a＝(1,1)，b＝(2，x)，∴a＋b＝(3，x＋1)，3a－b＝(1,3－x)，∵a＋b与3a－b平行，∴3(3－x)－(x＋1)＝0，解得x＝2.(2)已知向量OA→＝(k,12)，OB→＝(4,5)，OC→＝(－k,10)，且A，B，C三点共线，则实数k的值是________．答案－23解析AB→＝OB→－OA→＝(4－k，－7)，AC→＝OC→－OA→＝(－2k，－2)．∵A，B，C三点共线，∴AB→，AC→共线，∴－2×(4－k)＝－7×(－2k)，解得k＝－23.1．已知M(3，－2)，N(－5，－1)，且MP→＝12MN→，则P点的坐标为()A．(－8,1)B.－1，－32C.1，32D．(8，－1)答案B解析设P(x，y)，则MP→＝(x－3，y＋2)．而12MN→＝12(－8,1)＝－4，12，∴x－3＝－4，y＋2＝12，解得x＝－1，y＝－32，8∴P－1，－32.故选B.2．(2019·山西榆社中学诊断)若向量AB→＝DC→＝(2,0)，AD→＝(1,1)，则AC→＋BC→等于()A．(3,1)B．(4,2)C．(5,3)D．(4,3)答案B解析AC→＝AD→＋DC→＝(3,1)，又BD→＝AD→－AB→＝(－1,1)，则BC→＝BD→＋DC→＝(1,1)，所以AC→＋BC→＝(4,2)．故选B.3．(2018·海南联考)设向量a＝(x，－4)，b＝(1，－x)，若向量a与b同向，则x等于()A．－2B．2C．±2D．0答案B解析由向量a与b共线得－x2＝－4，所以x＝±2.又向量a与b同向，所以x＝2.故选B.4．已知平面直角坐标系内的两个向量a＝(1,2)，b＝(m，3m－2)，且平面内的任一向量c都可以唯一的表示成c＝λa＋μb(λ，μ为实数)，则实数m的取值范围是()A．(－∞，2)B．(2，＋∞)C．(－∞，＋∞)D．(－∞，2)∪(2，＋∞)答案D解析由题意知向量a，b不共线，故2m≠3m－2，即m≠2.5．在平面直角坐标系xOy中，已知A(1,0)，B(0,1)，C为坐标平面内第一象限内一点，∠AOC＝π4，且|OC|＝2，若OC→＝λOA→＋μOB→，则λ＋μ等于()A．22B.2C．2D．42答案A解析因为|OC|＝2，∠AOC＝π4，所以C(2，2)，又OC→＝λOA→＋μOB→，所以(2，2)＝λ(1,0)＋μ(0,1)＝(λ，μ)，所以λ＝μ＝2，λ＋μ＝22.6．(2019·蚌埠期中)已知向量m＝sinA，12与向量n＝(3，sinA＋3cosA)共线，其中A9是△ABC的内角，则角A的大小为()A.π6B.π4C.π3D.π2答案C解析∵m∥n，∴sinA(sinA＋3cosA)－32＝0，∴2sin2A＋23sinAcosA＝3，∴1－cos2A＋3sin2A＝3，∴sin