（鲁京津琼专用）2020版高考数学大一轮复习 第五章 平面向量与复数 5.4 平面向量的综合应用教案

1§5.4平面向量的综合应用最新考纲经历用向量方法解决某些简单的平面几何问题、力学问题与其他一些实际问题的过程，体会向量是一种处理几何问题、物理问题等的工具，发展运算能力和解决实际问题的能力．1．向量在平面几何中的应用(1)用向量解决常见平面几何问题的技巧：问题类型所用知识公式表示线平行、点共线等问题共线向量定理a∥b⇔a＝λb⇔x1y2－x2y1＝0，其中a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，b≠0垂直问题数量积的运算性质a⊥b⇔a·b＝0⇔x1x2＋y1y2＝0，其中a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，且a，b为非零向量夹角问题数量积的定义cosθ＝a·b|a||b|(θ为向量a，b的夹角)，其中a，b为非零向量长度问题数量积的定义|a|＝a2＝x2＋y2，其中a＝(x，y)，a为非零向量(2)用向量方法解决平面几何问题的步骤平面几何问题――→设向量向量问题――→运算解决向量问题――→还原解决几何问题．2．向量在解析几何中的应用向量在解析几何中的应用，是以解析几何中的坐标为背景的一种向量描述．它主要强调向量的坐标问题，进而利用直线和圆锥曲线的位置关系的相关知识来解答，坐标的运算是考查的主体．3．平面向量在物理中的应用(1)由于物理学中的力、速度、位移都是矢量，它们的分解与合成与向量的加法和减法相似，可以用向量的知识来解决．2(2)物理学中的功是一个标量，是力F与位移s的数量积，即W＝F·s＝|F||s|cosθ(θ为F与s的夹角)．4．向量与相关知识的交汇平面向量作为一种工具，常与函数(三角函数)、解析几何结合，常通过向量的线性运算与数量积，向量的共线与垂直求解相关问题．概念方法微思考1．根据你对向量知识的理解，你认为可以利用向量方法解决哪些几何问题？提示(1)线段的长度问题．(2)直线或线段平行问题．(3)直线或线段垂直问题．(4)角的问题等．2．如何用向量解决平面几何问题？提示用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题然后通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题，最后把运算结果“翻译”成几何关系．题组一思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)若AB→∥AC→，则A，B，C三点共线．(√)(2)在△ABC中，若AB→·BC→0，则△ABC为钝角三角形．(×)(3)若平面四边形ABCD满足AB→＋CD→＝0，(AB→－AD→)·AC→＝0，则该四边形一定是菱形．(√)(4)已知平面直角坐标系内有三个定点A(－2，－1)，B(0，10)，C(8,0)，若动点P满足：OP→＝OA→＋t(AB→＋AC→)，t∈R，则点P的轨迹方程是x－y＋1＝0.(√)题组二教材改编2．已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A(3，4)，B(5,2)，C(－1，－4)，则该三角形为()A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．等腰直角三角形答案B解析AB→＝(2，－2)，AC→＝(－4，－8)，BC→＝(－6，－6)，∴|AB→|＝22＋－22＝22，|AC→|＝16＋64＝45，|BC→|＝36＋36＝62，∴|AB→|2＋|BC→|2＝|AC→|2，3∴△ABC为直角三角形．3．平面直角坐标系xOy中，若定点A(1,2)与动点P(x，y)满足OP→·OA→＝4，则点P的轨迹方程是____________．答案x＋2y－4＝0解析由OP→·OA→＝4，得(x，y)·(1,2)＝4，即x＋2y＝4.题组三易错自纠4．在△ABC中，已知AB→＝(2,3)，AC→＝(1，k)，且△ABC的一个内角为直角，则实数k的值为________________．答案－23或113或3±132解析①若A＝90°，则有AB→·AC→＝0，即2＋3k＝0，解得k＝－23；②若B＝90°，则有AB→·BC→＝0，因为BC→＝AC→－AB→＝(－1，k－3)，所以－2＋3(k－3)＝0，解得k＝113；③若C＝90°，则有AC→·BC→＝0，即－1＋k(k－3)＝0，解得k＝3±132.综上所述，k＝－23或113或3±132.5．在四边形ABCD中，AC→＝(1,2)，BD→＝(－4,2)，则该四边形的面积为________．答案5解析依题意得AC→·BD→＝1×(－4)＋2×2＝0，所以AC→⊥BD→，所以四边形ABCD的面积为12|AC→|·|BD→|＝12×5×20＝5.6．已知点P在圆x2＋y2＝1上，点A的坐标为(－2,0)，O为坐标原点，则AO→·AP→的最大值为________．答案6解析方法一由题意知，AO→＝(2,0)，4令P(cosα，sinα)，则AP→＝(cosα＋2，sinα)．AO→·AP→＝(2,0)·(cosα＋2，sinα)＝2cosα＋4≤6，故AO→·AP→的最大值为6.方法二由题意知，AO→＝(2,0)，令P(x，y)，－1≤x≤1，则AO→·AP→＝(2,0)·(x＋2，y)＝2x＋4≤6，故AO→·AP→的最大值为6.题型一向量在平面几何中的应用例1(1)如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，CD＝2，∠BAD＝π4，若AB→·AC→＝2AB→·AD→，则AD→·AC→＝________.答案12解析(1)方法一因为AB→·AC→＝2AB→·AD→，所以AB→·AC→－AB→·AD→＝AB→·AD→，所以AB→·DC→＝AB→·AD→.因为AB∥CD，CD＝2，∠BAD＝π4，所以2|AB→|＝|AB→||AD→|cosπ4，化简得|AD→|＝22.故AD→·AC→＝AD→·(AD→＋DC→)＝|AD→|2＋AD→·DC→＝(22)2＋22×2cosπ4＝12.方法二如图，建立平面直角坐标系xAy.依题意，可设点D(m，m)，C(m＋2，m)，B(n,0)，5其中m0，n0，则由AB→·AC→＝2AB→·AD→，得(n,0)·(m＋2，m)＝2(n,0)·(m，m)，所以n(m＋2)＝2nm，化简得m＝2.故AD→·AC→＝(m，m)·(m＋2，m)＝2m2＋2m＝12.(2)(2018·广元统考)在△ABC中，AB＝2AC＝6，BA→·BC→＝BA→2，点P是△ABC所在平面内一点，则当PA→2＋PB→2＋PC→2取得最小值时，AP→·BC→＝________.答案－9解析∵BA→·BC→＝BA→2，∴BA→·BC→－BA→2＝BA→·(BC→－BA→)＝BA→·AC→＝0，∴BA→⊥AC→，即BA⊥AC.以点A为原点建立如图所示的平面直角坐标系，则B(6,0)，C(0,3)，设P(x，y)，∴PA→2＋PB→2＋PC→2＝x2＋y2＋(x－6)2＋y2＋x2＋(y－3)2＝3x2－12x＋3y2－6y＋45＝3[(x－2)2＋(y－1)2＋10]．∴当x＝2，y＝1时，PA→2＋PB→2＋PC→2有最小值，此时AP→·BC→＝(2,1)·(－6,3)＝－9.思维升华向量与平面几何综合问题的解法(1)坐标法把几何图形放在适当的坐标系中，则有关点与向量就可以用坐标表示．(2)基向量法适当选取一组基底，沟通向量之间的联系，利用向量间的关系构造关于未知量的方程进行求解．跟踪训练1(1)(2018·松原三校联考)已知△ABC外接圆的圆心为O，AB＝23，AC＝22，A为钝角，M是BC边的中点，则AM→·AO→等于()6A．3B．4C．5D．6答案C解析∵M是BC边的中点，∴AM→＝12(AB→＋AC→)，∵O是△ABC的外接圆的圆心，∴AO→·AB→＝|AO→|·|AB→|cos∠BAO＝12|AB→|2＝12×(23)2＝6.同理可得AO→·AC→＝12|AC→|2＝12×(22)2＝4.∴AM→·AO→＝12(AB→＋AC→)·AO→＝12AB→·AO→＋12AC→·AO→＝12×(6＋4)＝5.(2)(2018·聊城模拟)在△ABC中，BC边上的中线AD的长为2，点P是△ABC所在平面上的任意一点，则PA→·PB→＋PA→·PC→的最小值为()A．1B．2C．－2D．－1答案C解析建立如图所示的平面直角坐标系，使得点D在原点处，点A在y轴上，则A(0,2)．设点P的坐标为(x，y)，则PA→＝()－x，2－y，PO→＝(－x，－y)，故PA→·PB→＋PA→·PC→＝PA→·()PB→＋PC→＝2PA→·PO→＝2()x2＋y2－2y7＝2[]x2＋()y－12－2≥－2，当且仅当x＝0，y＝1时等号成立．所以PA→·PB→＋PA→·PC→的最小值为－2.题型二向量在解析几何中的应用例2(1)已知正三角形ABC的边长为23，平面ABC内的动点P，M满足|AP→|＝1，PM→＝MC→，则|BM→|2的最大值是()A.434B.494C.37＋634D.37＋2334答案B解析如图，由|AP→|＝1知点P的轨迹是以A为圆心，以1为半径的圆．由PM→＝MC→知，点M为PC的中点，取AC的中点N，连接MN，则|MN|＝12|AP|＝12，所以点M的轨迹是以N为圆心，以12为半径的圆．因为|BN→|＝3，所以|BM→|的最大值为3＋12＝72，|BM→|2的最大值为494.故选B.(2)(2017·江苏)在平面直角坐标系xOy中，A(－12,0)，B(0，6)，点P在圆O：x2＋y2＝50上，若PA→·PB→≤20，则点P的横坐标的取值范围是________．答案[－52，1]解析方法一因为点P在圆O：x2＋y2＝50上，所以设P点坐标为(x，±50－x2)(－52≤x≤52)．因为A(－12,0)，B(0,6)，8所以PA→＝(－12－x，－50－x2)或PA→＝(－12－x，50－x2)，PB→＝(－x,6－50－x2)或PB→＝(－x,6＋50－x2)．因为PA→·PB→≤20，先取P(x，50－x2)进行计算，所以(－12－x)·(－x)＋(－50－x2)(6－50－x2)≤20，即2x＋5≤50－x2.当2x＋50，即x－52时，上式恒成立．当2x＋5≥0，即x≥－52时，(2x＋5)2≤50－x2，解得－52≤x≤1，故x≤1.同理可得P(x，－50－x2)时，x≤－5.又－52≤x≤52，所以－52≤x≤1.故点P的横坐标的取值范围为[－52，1]．方法二设P(x，y)，则PA→＝(－12－x，－y)，PB→＝(－x,6－y)．∵PA→·PB→≤20，∴(－12－x)·(－x)＋(－y)·(6－y)≤20，即2x－y＋5≤0.如图，作圆O：x2＋y2＝50，直线2x－y＋5＝0与⊙O交于E，F两点，∵P在圆O上且满足2x－y＋5≤0，∴点P在EDF上．由x2＋y2＝50，2x－y＋5＝0，得F点的横坐标为1，又D点的横坐标为－52，∴P点的横坐标的取值范围为[－52，1]．思维升华向量在解析几何中的“两个”作用9(1)载体作用：向量在解析几何问题中出现，多用于“包装”，关键是利用向量的意义、运算脱去“向量外衣”，导出曲线上点的坐标之间的关系，从而解决有关距离、斜率、夹角、轨迹、最值等问题．(2)工具作用：利用a⊥b⇔a·b＝0(a，b为非零向量)，a∥b⇔a＝λb(b≠0)，可解决垂直、平行问题，特别地，向量垂直、平行的坐标表示对于解决解析几何中的垂直、平行问题是一种比较简捷的方法．跟踪训练2(2018·重庆质检)已知圆C：x2＋y2－2x－23y＋3＝0，点A(0，m)(m0)，A，B两点关于x轴对称．若圆C上存在点M，使得AM→·BM→＝0，则当m取得最大值时，点M的坐标是()A.32，322B.322，32C.32，332D.332，32答案C解析由题意得圆的方程为(x－1)2＋(y－3)2＝1，B(0，－m)，设M(x，y)，由于AM→·BM→＝0，所以(x，y－m)·(x，y＋m)＝0，所以x2＋y2－m2＝0，所以m2＝x2＋y2，由于x2＋y2表示圆C上的点到原点距离的平方，所以连接OC，并延长和圆C相交，交点即为M，此时m2最大，m也最大．|OM|