（鲁京津琼专用）2020版高考数学大一轮复习 第四章 三角函数、解三角形 4.5 简单的三角恒等变换

1第2课时简单的三角恒等变换题型一三角函数式的化简1．化简：sin2α－2cos2αsinα－π4＝.答案22cosα解析原式＝2sinαcosα－2cos2α22sinα－cosα＝22cosα.2．化简：2cos4x－2cos2x＋122tanπ4－xsin2π4＋x＝.答案12cos2x解析原式＝124cos4x－4cos2x＋12×sinπ4－xcosπ4－x·cos2π4－x＝2cos2x－124sinπ4－xcosπ4－x＝cos22x2sinπ2－2x＝cos22x2cos2x＝12cos2x.3．化简：sin2α＋βsinα－2cos(α＋β)．解原式＝sin2α＋β－2sinαcosα＋βsinα＝sin[α＋α＋β]－2sinαcosα＋βsinα＝sinαcosα＋β＋cosαsinα＋β－2sinαcosα＋βsinα＝cosαsinα＋β－sinαcosα＋βsinα2＝sin[α＋β－α]sinα＝sinβsinα.思维升华(1)三角函数式的化简要遵循“三看”原则一看角，二看名，三看式子结构与特征．(2)三角函数式的化简要注意观察条件中角之间的联系(和、差、倍、互余、互补等)，寻找式子和三角函数公式之间的共同点．题型二三角函数的求值命题点1给角求值与给值求值例1(1)(2018·太原质检)[2sin50°＋sin10°(1＋3tan10°)]·2sin280°＝.答案6解析原式＝2sin50°＋sin10°·cos10°＋3sin10°cos10°·2sin80°＝2sin50°＋2sin10°·12cos10°＋32sin10°cos10°·2cos10°＝22[sin50°·cos10°＋sin10°·cos(60°－10°)]＝22sin(50°＋10°)＝22×32＝6.(2)(2018·聊城模拟)已知cosθ＋π4＝1010，θ∈0，π2，则sin2θ－π3＝.答案4－3310解析由题意可得cos2θ＋π4＝1＋cos2θ＋π22＝110，cos2θ＋π2＝－sin2θ＝－45，即sin2θ＝45.因为cosθ＋π4＝10100，θ∈0，π2，所以0θπ4，2θ∈0，π2，根据同角三角函数基本关系式，可得cos2θ＝35，由两角差的正弦公式，可得3sin2θ－π3＝sin2θcosπ3－cos2θsinπ3＝45×12－35×32＝4－3310.命题点2给值求角例2(1)设α，β为钝角，且sinα＝55，cosβ＝－31010，则α＋β的值为()A.3π4B.5π4C.7π4D.5π4或7π4答案C解析∵α，β为钝角，sinα＝55，cosβ＝－31010，∴cosα＝－255，sinβ＝1010，∴cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ＝220.又α＋β∈(π，2π)，∴α＋β∈3π2，2π，∴α＋β＝7π4.(2)已知α，β∈(0，π)，且tan(α－β)＝12，tanβ＝－17，则2α－β的值为．答案－3π4解析∵tanα＝tan[(α－β)＋β]＝tanα－β＋tanβ1－tanα－βtanβ＝12－171＋12×17＝130，∴0απ2.又∵tan2α＝2tanα1－tan2α＝2×131－132＝340，∴02απ2，4∴tan(2α－β)＝tan2α－tanβ1＋tan2αtanβ＝34＋171－34×17＝1.∵tanβ＝－170，∴π2βπ，－π2α－β0，∴2α－β＝－3π4.引申探究本例(1)中，若α，β为锐角，sinα＝55，cosβ＝31010，则α＋β＝.答案π4解析∵α，β为锐角，∴cosα＝255，sinβ＝1010，∴cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ＝255×31010－55×1010＝22.又0α＋βπ，∴α＋β＝π4.思维升华(1)给角求值与给值求值问题的关键在“变角”，通过角之间的联系寻找转化方法．(2)给值求角问题：先求角的某一三角函数值，再求角的范围确定角．跟踪训练1(1)已知α∈0，π2，且2sin2α－sinα·cosα－3cos2α＝0，则sinα＋π4sin2α＋cos2α＋1＝.答案268解析∵α∈0，π2，且2sin2α－sinα·cosα－3cos2α＝0，则(2sinα－3cosα)·(sinα＋cosα)＝0，又∵α∈0，π2，sinα＋cosα0，∴2sinα＝3cosα，又sin2α＋cos2α＝1，∴cosα＝213，sinα＝313，5∴sinα＋π4sin2α＋cos2α＋1＝22sinα＋cosαsinα＋cosα2＋cos2α－sin2α＝24cosα＝268.(2)已知sinα＝55，sin(α－β)＝－1010，α，β均为锐角，则β＝.答案π4解析因为α，β均为锐角，所以－π2α－βπ2.又sin(α－β)＝－1010，所以cos(α－β)＝31010.又sinα＝55，所以cosα＝255，所以sinβ＝sin[α－(α－β)]＝sinαcos(α－β)－cosαsin(α－β)＝55×31010－255×－1010＝22.所以β＝π4.题型三三角恒等变换的应用例3(2017·浙江)已知函数f(x)＝sin2x－cos2x－23sinxcosx(x∈R)．(1)求f2π3的值；(2)求f(x)的最小正周期及单调递增区间．解(1)由sin2π3＝32，cos2π3＝－12，得f2π3＝322－－122－23×32×－12＝2.(2)由cos2x＝cos2x－sin2x与sin2x＝2sinxcosx，得f(x)＝－cos2x－3sin2x＝－2sin2x＋π6.所以f(x)的最小正周期是π.由正弦函数的性质，得π2＋2kπ≤2x＋π6≤3π2＋2kπ，k∈Z，6解得π6＋kπ≤x≤2π3＋kπ，k∈Z.所以f(x)的单调递增区间为π6＋kπ，2π3＋kπ(k∈Z)．思维升华三角恒等变换的应用策略(1)进行三角恒等变换要抓住：变角、变函数名称、变结构，尤其是角之间的关系；注意公式的逆用和变形使用．(2)把形如y＝asinx＋bcosx化为y＝a2＋b2sin(x＋φ)，可进一步研究函数的周期性、单调性、最值与对称性．跟踪训练2(2018·北京)已知函数f(x)＝sin2x＋3sinxcosx.(1)求f(x)的最小正周期；(2)若f(x)在区间－π3，m上的最大值为32，求m的最小值．解(1)f(x)＝sin2x＋3sinxcosx＝12－12cos2x＋32sin2x＝sin2x－π6＋12，所以f(x)的最小正周期T＝2π2＝π.(2)由(1)知，f(x)＝sin2x－π6＋12.由题意知－π3≤x≤m，所以－5π6≤2x－π6≤2m－π6.要使得f(x)在区间－π3，m上的最大值为32，即sin2x－π6在区间－π3，m上的最大值为1，所以2m－π6≥π2，即m≥π3.所以m的最小值为π3.化归思想和整体代换思想在三角函数中的应用讨论形如y＝asinωx＋bcosωx型函数的性质，一律化成y＝a2＋b2sin(ωx＋φ)型的函数；研究y＝Asin(ωx＋φ)型函数的最值、单调性，可将ωx＋φ视为一个整体，7换元后结合y＝sinx的图象解决．例已知函数f(x)＝4tanx·sinπ2－x·cosx－π3－3.(1)求f(x)的定义域与最小正周期；(2)讨论f(x)在区间－π4，π4上的单调性．解(1)f(x)的定义域为xx≠π2＋kπ，k∈Z.f(x)＝4tanxcosxcosx－π3－3＝4sinxcosx－π3－3＝4sinx12cosx＋32sinx－3＝2sinxcosx＋23sin2x－3＝sin2x＋3(1－cos2x)－3＝sin2x－3cos2x＝2sin2x－π3.所以f(x)的最小正周期T＝2π2＝π.(2)因为x∈－π4，π4，所以2x－π3∈－5π6，π6，由y＝sinx的图象可知，当2x－π3∈－5π6，－π2，即x∈－π4，－π12时，f(x)单调递减；当2x－π3∈－π2，π6，即x∈－π12，π4时，f(x)单调递增．所以当x∈－π4，π4时，f(x)在区间－π12，π4上单调递增，在区间－π4，－π12上单调递减．1．(2018·厦门质检)若sinπ3－α＝14，则cosπ3＋2α等于()A．－78B．－14C.14D.78答案A8解析cosπ3＋2α＝cosπ－23π－2α＝－cos23π－2α＝－1－2sin2π3－α＝－1－2×142＝－78.2.cos85°＋sin25°cos30°cos25°等于()A．－32B.22C.12D．1答案C解析原式＝sin5°＋32sin25°cos25°＝sin30°－25°＋32sin25°cos25°＝12cos25°cos25°＝12.3．已知sin2α＝35π22απ，tan(α－β)＝12，则tan(α＋β)等于()A．－2B．－1C．－211D.211答案A解析由题意，可得cos2α＝－45，则tan2α＝－34，tan(α＋β)＝tan[2α－(α－β)]＝tan2α－tanα－β1＋tan2αtanα－β＝－2.4．在斜三角形ABC中，sinA＝－2cosBcosC，且tanB·tanC＝1－2，则角A的值为()A.π4B.π3C.π2D.3π4答案A解析由题意知，sinA＝sin(B＋C)＝sinBcosC＋cosBsinC＝－2cosBcosC，在等式－2cosBcosC＝sinBcosC＋cosBsinC两边同除以cosBcosC，得tanB＋tanC＝－2，又tan(B＋C)＝tanB＋tanC1－tanBtanC＝－1＝－tanA，即tanA＝1，因为0Aπ，所以A＝π4.95．函数f(x)＝3sinx2cosx2＋4cos2x2(x∈R)的最大值等于()A．5B.92C.52D．2答案B解析由题意知f(x)＝32sinx＋4×1＋cosx2＝32sinx＋2cosx＋2＝52sin(x＋φ)＋2，其中cosφ＝35，sinφ＝45，∵x∈R，∴f(x)max＝52＋2＝92，故选B.6．若函数f(x)＝5cosx＋12sinx在x＝θ时取得最小值，则cosθ等于()A.513B．－513C.1213D．－1213答案B解析f(x)＝5cosx＋12sinx＝13513cosx＋1213sinx＝13sin(x＋α)，其中sinα＝513，cosα＝1213，由题意知θ＋α＝2kπ－π2(k∈Z)，得θ＝2kπ－π2－α(k∈Z)，所以cosθ＝cos2kπ－π2－α＝cosπ2＋α＝－sinα＝－513.7．若tanα－π4＝16，则tanα＝________.答案75解析方法一∵tanα－π4＝tanα－tanπ41＋