(鲁京津琼专用)2020版高考数学大一轮复习 第四章 三角函数、解三角形 4.5 简单的三角恒等变换

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1§4.5简单的三角恒等变换最新考纲1.经历用向量的数量积推导出两角差的余弦公式的过程,进一步体会向量方法的作用.2.能从两角差的余弦公式导出两角和与差的正弦、余弦、正切公式,二倍角的正弦、余弦、正切公式,了解它们的内在联系.3.能运用上述公式进行简单的恒等变换(包括引导导出积化和差、和差化积、半角公式,但不要求记忆).1.两角和与差的余弦、正弦、正切公式cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ(C(α-β))cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ(C(α+β))sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ(S(α-β))sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ(S(α+β))tan(α-β)=tanα-tanβ1+tanαtanβ(T(α-β))tan(α+β)=tanα+tanβ1-tanαtanβ(T(α+β))2.二倍角公式sin2α=2sinαcosα;cos2α=cos2α-sin2α=2cos2α-1=1-2sin2α;tan2α=2tanα1-tan2α.概念方法微思考1.诱导公式与两角和差的三角函数公式有何关系?提示诱导公式可以看成和差公式中β=k·π2(k∈Z)时的特殊情形.2.怎样研究形如f(x)=asinx+bcosx函数的性质?提示先根据辅助角公式asinx+bcosx=a2+b2·sin(x+φ),将f(x)化成f(x)=Asin(ωx+φ)+k的形式,再结合图象研究函数的性质.2题组一思考辨析1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)存在实数α,β,使等式sin(α+β)=sinα+sinβ成立.(√)(2)对任意角α都有1+sinα=sinα2+cosα22.(√)(3)y=3sinx+4cosx的最大值是7.(×)(4)公式tan(α+β)=tanα+tanβ1-tanαtanβ可以变形为tanα+tanβ=tan(α+β)(1-tanαtanβ),且对任意角α,β都成立.(×)题组二教材改编2.若cosα=-45,α是第三象限的角,则sinα+π4等于()A.-210B.210C.-7210D.7210答案C解析∵α是第三象限角,∴sinα=-1-cos2α=-35,∴sinα+π4=-35×22+-45×22=-7210.3.sin347°cos148°+sin77°cos58°=.答案22解析sin347°cos148°+sin77°cos58°=sin(270°+77°)cos(90°+58°)+sin77°cos58°=(-cos77°)·(-sin58°)+sin77°cos58°=sin58°cos77°+cos58°sin77°=sin(58°+77°)=sin135°=22.4.tan10°+tan50°+3tan10°tan50°=.答案3解析∵tan60°=tan(10°+50°)=tan10°+tan50°1-tan10°tan50°,∴tan10°+tan50°=tan60°(1-tan10°tan50°)=3-3tan10°tan50°,3∴原式=3-3tan10°tan50°+3tan10°tan50°=3.题组三易错自纠5.sin47°-sin17°cos30°cos17°=________.答案12解析原式=sin30°+17°-sin17°cos30°cos17°=sin30°cos17°+cos30°sin17°-sin17°cos30°cos17°=sin30°cos17°cos17°=sin30°=12.6.化简:cos40°cos25°·1-sin40°=________.答案2解析原式=cos40°cos25°1-cos50°=cos40°cos25°·2sin25°=cos40°22sin50°=2.7.(2018·烟台模拟)已知θ∈0,π2,且sinθ-π4=210,则tan2θ=.答案-247解析方法一sinθ-π4=210,得sinθ-cosθ=15,①θ∈0,π2,①平方得2sinθcosθ=2425,可求得sinθ+cosθ=75,∴sinθ=45,cosθ=35,∴tanθ=43,tan2θ=2tanθ1-tan2θ=-247.方法二∵θ∈0,π2且sinθ-π4=210,∴cosθ-π4=7210,4∴tanθ-π4=17=tanθ-11+tanθ,∴tanθ=43.故tan2θ=2tanθ1-tan2θ=-247.8.化简:2sinπ-α+sin2αcos2α2=________.答案4sinα解析2sinπ-α+sin2αcos2α2=2sinα+2sinαcosα121+cosα=4sinα1+cosα1+cosα=4sinα.第1课时两角和与差的正弦、余弦和正切公式题型一和差公式的直接应用1.(2018·石家庄质检)若sin(π-α)=13,且π2≤α≤π,则sin2α的值为()A.-429B.-229C.229D.429答案A解析因为sin(π-α)=sinα=13,π2≤α≤π,所以cosα=-1-sin2α=-223,所以sin2α=2sinαcosα=2×13×-223=-429.2.已知tanα-π6=37,tanπ6+β=25,则tan(α+β)的值为()5A.2941B.129C.141D.1答案D解析∵tanα-π6=37,tanπ6+β=25,∴tan(α+β)=tanα-π6+π6+β=tanα-π6+tanπ6+β1-tanα-π6·tanπ6+β=37+251-37×25=1.3.(2018·青岛调研)已知sinα=35,α∈π2,π,tan(π-β)=12,则tan(α-β)的值为()A.-211B.211C.112D.-112答案A解析∵α∈π2,π,∴cosα=-45,tanα=-34,又tanβ=-12,∴tan(α-β)=tanα-tanβ1+tanα·tanβ=-34+121+-12×-34=-211.4.计算sin110°sin20°cos2155°-sin2155°的值为.答案12解析sin110°sin20°cos2155°-sin2155°=sin70°sin20°cos310°6=cos20°sin20°cos50°=12sin40°sin40°=12.思维升华(1)使用两角和与差的三角函数公式,首先要记住公式的结构特征.(2)使用公式求值,应先求出相关角的函数值,再代入公式求值.题型二和差公式的灵活应用命题点1角的变换例1(1)设α,β都是锐角,且cosα=55,sin(α+β)=35,则cosβ=.答案2525解析依题意得sinα=1-cos2α=255,因为sin(α+β)=35sinα且α+βα,所以α+β∈π2,π,所以cos(α+β)=-45.于是cosβ=cos[(α+β)-α]=cos(α+β)cosα+sin(α+β)sinα=-45×55+35×255=2525.(2)设α为锐角,若cosα+π6=45,则sin2α+π3的值为()A.1225B.2425C.-2425D.-1225答案B解析因为α为锐角,且cosα+π6=45,所以sinα+π6=1-cos2α+π6=35,所以sin2α+π3=sin2α+π6=2sinα+π6cosα+π6=2×35×45=2425,故选B.7命题点2三角函数式的变换例2(1)化简:1+sinθ+cosθsinθ2-cosθ22+2cosθ(0θπ);(2)求值:1+cos20°2sin20°-sin10°1tan5°-tan5°.解(1)由θ∈(0,π),得0θ2π2,∴cosθ20,∴2+2cosθ=4cos2θ2=2cosθ2.又(1+sinθ+cosθ)sinθ2-cosθ2=2sinθ2cosθ2+2cos2θ2sinθ2-cosθ2=2cosθ2sin2θ2-cos2θ2=-2cosθ2cosθ,故原式=-2cosθ2cosθ2cosθ2=-cosθ.(2)原式=2cos210°2×2sin10°cos10°-sin10°cos5°sin5°-sin5°cos5°=cos10°2sin10°-sin10°·cos25°-sin25°sin5°cos5°=cos10°2sin10°-sin10°·cos10°12sin10°=cos10°2sin10°-2cos10°=cos10°-2sin20°2sin10°=cos10°-2sin30°-10°2sin10°=cos10°-212cos10°-32sin10°2sin10°=3sin10°2sin10°=32.引申探究8化简:1+sinθ-cosθsinθ2-cosθ22-2cosθ(0θπ).解∵0θπ,∴0θ2π2,∴2-2cosθ=2sinθ2,又1+sinθ-cosθ=2sinθ2cosθ2+2sin2θ2=2sinθ2sinθ2+cosθ2,∴原式=2sinθ2sinθ2+cosθ2sinθ2-cosθ22sinθ2=-cosθ.命题点3公式的逆用与变形例3(1)已知sinα+cosβ=13,sinβ-cosα=12,则sin(α-β)=.答案-5972解析∵sinα+cosβ=13,sinβ-cosα=12,∴(sinα+cosβ)2=19,(sinβ-cosα)2=14,即sin2α+2sinαcosβ+cos2β=19,①sin2β-2sinβcosα+cos2α=14.②①+②得sin2α+2sinαcosβ+cos2β+sin2β-2sinβcosα+cos2α=(sin2α+cos2α)+(cos2β+sin2β)+2(sinαcosβ-sinβcosα)=1+1+2sin(α-β)=2+2sin(α-β)=1336,则sin(α-β)=-5972.(2)已知α-β=π3,tanα-tanβ=3,则cos(α+β)的值为.答案33-12解析∵tanα-tanβ=sinαcosα-sinβcosβ=sinα-βcosαcosβ=3,且α-β=π3,∴cosαcosβ=36,又cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ=12,∴sinαsinβ=12-36,那么cos(α9+β)=cosαcosβ-sinαsinβ=33-12.思维升华(1)解决三角函数的求值问题的关键是把“所求角”用“已知角”表示.①当“已知角”有两个时,“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式;②当“已知角”有一个时,此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系.(2)常见的配角技巧:2α=(α+β)+(α-β),α=(α+β)-β,β=α+β2-α-β2,α=α+β2+α-β2,α-β2=α+β2-α2+β等.跟踪训练(1)计算:cos10°-3cos-100°1-sin10°=.(用数字作答)答案2解析cos10°-3cos-100°1-sin10°=cos10°+3cos80°1-cos80°=cos10°+3sin10°2·sin40°=2sin10°+30°2·sin40°=2.(2)已知α∈0,π2,β∈0,π2,且cosα=17,cos(α+β)

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