（鲁京津琼专用）2020版高考数学大一轮复习 第七章 不等式 微专题八 基本不等式的向量形式教案（含

1微专题八基本不等式的向量形式[思维扩展]波利亚有句名言：“类比是伟大的引路人”．这句话言简意赅地阐明了类比在数学发现中的地位．我们知道，a2＋b2≥2ab(a，b∈R)以及a＋b2≥ab(a，b∈R＋)是两个应用广泛的基本不等式，一种有趣的想法是：这两个不等式可以类比到向量中去吗？由(a－b)2＝|a－b|2≥0不难得到a2＋b2≥2a·b，当且仅当a＝b时等号成立．但将a＋b2≥ab(a，b∈R＋)简单地类比为a＋b2≥a·b就不行了，由于该不等式左边为向量，右边为数量，故其无意义，因此我们需要调整角度，看能否获得有用的结果．注意到a＋b2≥ab(a，b∈R＋)⇔a＋b22≥ab(a，b∈R＋)，而不等式a＋b22≥a·b左右两边都是数量，因而可以比较大小．事实上，由(a＋b)2＝(a－b)2＋4a·b＝|a－b|2＋4a·b≥4a·b可得a＋b22≥a·b，当且仅当a＝b时等号成立．这样，我们就得到如下两个结论：定理1设a，b是两个向量，则a2＋b2≥2a·b，当且仅当a＝b时等号成立．定理2设a，b是两个向量，则a＋b22≥a·b，当且仅当a＝b时等号成立．例1若平面向量a，b满足|2a－b|≤3，则a·b的最小值是________．答案－98解析方法一由定理1得32≥|2a－b|2＝(2a－b)2＝(－2a)2＋b2－4a·b≥2·(－2a·b)－4a·b＝－8a·b，所以a·b≥－98，当且仅当b＝－2a时等号成立，故a·b的最小值是－98.方法二由定理2得2a·(－b)≤2a－b22＝|2a－b|24≤94，2则a·b≥－98，当且仅当b＝－2a时等号成立．故a·b的最小值是－98.说明本题可推广至一般形式：若平面向量a，b满足：|λa＋b|≤m(m0)，则当λ0时，a·b的最大值为m24λ；当λ0时，a·b的最小值为m24λ.例2已知a，b满足|a|＝1，(a＋b)·(a－2b)＝0，则|b|的最小值为________．分析此题有一定难度．普通学生难以想到．事实上，利用定理1此题极易作答，过程如下．答案12解析引入正参数λ，由(a＋b)·(a－2b)＝0得a2－a·b－2b2＝0，又|a|＝1，则1－2b2＝a·b，1－2b2＝a·b≤12λa2＋1λb2＝12(λ＋1λb2)，当且仅当λa2＝1λb2，即b2＝λ2时等号成立．所以1－2λ2＝a·b≤12λa2＋1λb2＝12λ＋1λ·λ2，解得λ＝|b|≥12，故|b|的最小值为12.例3已知a，b是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量c满足(a－c)·(b－c)＝0，求|c|的最大值．解由(a－c)·(b－c)＝0得c2＝c·(a＋b)，由定理1及已知条件得c2＝c·(a＋b)≤12[c2＋(a＋b)2]＝12(c2＋a2＋b2)＝12(c2＋2)，解得|c|2≤2，故|c|的最大值是2.拓展1已知a，b是平面内夹角为θ的两个单位向量，若向量c满足(a－c)·(b－c)＝0，3则|c|的最大值是1cosθ2.拓展2已知a，b是平面内两个互相垂直的向量，且|a|＝m，|b|＝n，若向量c满足(a－c)·(b－c)＝0，则|c|的最大值是m2＋n2.例4平面上三点A，B，C满足AB→·BC→0，求AC→2＋1AB→·BC→的最小值．解由定理2得0AB→·BC→≤AB→＋BC→22＝14AC→2，则AC→2＋1AB→·BC→≥AC→2＋4AC→2＝|AC→|2＋4|AC→|2≥2·|AC→|·2|AC→|＝4，故当且仅当AB→＝BC→，且|AC→|＝2时，AC→2＋1AB→·BC→取得最小值4.例5设a，b满足a2＋a·b＋b2＝3，求a2－a·b＋b2的取值范围．解由定理1得a·b≤a2＋b22，所以a·b≤3－a·b2，解得a·b≤1.又由定理1得(－a)·b≤－a2＋b22，所以a·b≥－a2＋b22＝－3－a·b2，解得a·b≥－3.所以－3≤a·b≤1.因为a2－a·b＋b2＝(3－a·b)－a·b＝3－2a·b，所以1≤a2－a·b＋b2≤9.以上五道例题从不同角度为我们初步展示了定理1、定理2的魅力，它们微小平凡，对破解难题却极其有效．不过，追求它们更广泛的应用前景固然让人心动，但更有价值的则是获得它们的思维过程．类比是打开发现之门的金钥匙，但如何用好这把钥匙却值得我们长久的思考．4