1§8.1空间几何体的结构、表面积与体积最新考纲1.利用实物模型、计算机软件观察大量空间图形,认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征,并能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构.2.了解球、棱柱、棱锥、台的表面积和体积的计算公式(不要求记忆公式).1.空间几何体的结构特征(1)多面体的结构特征名称棱柱棱锥棱台图形底面互相平行且全等多边形互相平行侧棱平行且相等相交于一点但不一定相等延长线交于一点侧面形状平行四边形三角形梯形(2)旋转体的结构特征名称圆柱圆锥圆台球图形母线平行、相等且垂直于底面相交于一点延长线交于一点轴截面全等的矩形全等的等腰三角形全等的等腰梯形圆侧面展开图矩形扇形扇环2.圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式2圆柱圆锥圆台侧面展开图侧面积公式S圆柱侧=2πrlS圆锥侧=πrlS圆台侧=π(r1+r2)l3.空间几何体的表面积与体积公式名称几何体表面积体积柱体(棱柱和圆柱)S表面积=S侧+2S底V=S底·h锥体(棱锥和圆锥)S表面积=S侧+S底V=13S底·h台体(棱台和圆台)S表面积=S侧+S上+S下V=13(S上+S下+S上S下)h球S=4πR2V=43πR3概念方法微思考1.底面是正多边形的棱柱是正棱柱吗?为什么?提示不一定.因为底面是正多边形的直棱柱才是正棱柱.2.如何求不规则几何体的体积?提示求不规则几何体的体积要注意分割与补形,将不规则的几何体通过分割或补形转化为规则的几何体求解.题组一思考辨析1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)有两个面平行,其余各面都是平行四边形的几何体是棱柱.(×)(2)有一个面是多边形,其余各面都是三角形的几何体是棱锥.(×)(3)棱台是由平行于底面的平面截棱锥所得的平面与底面之间的部分.(√)(4)锥体的体积等于底面积与高之积.(×)3(5)已知球O的半径为R,其内接正方体的边长为a,则R=32a.(√)(6)圆柱的一个底面积为S,侧面展开图是一个正方形,那么这个圆柱的侧面积是2πS.(×)题组二教材改编2.已知圆锥的表面积等于12πcm2,其侧面展开图是一个半圆,则底面圆的半径为()A.1cmB.2cmC.3cmD.32cm答案B解析S表=πr2+πrl=πr2+πr·2r=3πr2=12π,∴r2=4,∴r=2.3.在如图所示的几何体中,是棱柱的为________.(填写所有正确的序号)答案③⑤题组三易错自纠4.体积为8的正方体的顶点都在同一球面上,则该球的表面积为()A.12πB.323πC.8πD.4π答案A解析由题意可知正方体的棱长为2,其体对角线为23即为球的直径,所以球的表面积为4πR2=(2R)2π=12π,故选A.5.如图,将一个长方体用过相邻三条棱的中点的平面截出一个棱锥,则该棱锥的体积与剩下的几何体体积的比为________.答案1∶47解析设长方体的相邻三条棱长分别为a,b,c,它截出棱锥的体积V1=13×12×12a×12b×12c=148abc,剩下的几何体的体积V2=abc-148abc=4748abc,所以V1∶V2=1∶47.4题型一空间几何体的结构特征1.以下命题:①以直角三角形的一边所在直线为轴旋转一周所得的旋转体是圆锥;②以直角梯形的一腰所在直线为轴旋转一周所得的旋转体是圆台;③圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆面;④一个平面截圆锥,得到一个圆锥和一个圆台.其中正确命题的个数为()A.0B.1C.2D.3答案B解析由圆锥、圆台、圆柱的定义可知①②错误,③正确.对于命题④,只有用平行于圆锥底面的平面去截圆锥,才能得到一个圆锥和一个圆台,④不正确.2.给出下列四个命题:①有两个侧面是矩形的立体图形是直棱柱;②侧面都是等腰三角形的棱锥是正棱锥;③侧面都是矩形的直四棱柱是长方体;④底面为正多边形,且有相邻两个侧面与底面垂直的棱柱是正棱柱.其中不正确的命题为________.(填序号)答案①②③解析对于①,平行六面体的两个相对侧面也可能是矩形,故①错;对于②,对等腰三角形的腰是否为侧棱未作说明(如图),故②错;对于③,若底面不是矩形,则③错;④由线面垂直的判定,可知侧棱垂直于底面,故④正确.综上,命题①②③不正确.思维升华空间几何体概念辨析题的常用方法(1)定义法:紧扣定义,由已知构建几何模型,在条件不变的情况下,变换模型中的线面关系或增加线、面等基本元素,根据定义进行判定.(2)反例法:通过反例对结构特征进行辨析.题型二空间几何体的表面积与体积5命题点1空间几何体的表面积例1(2018·全国Ⅰ)已知圆柱的上、下底面的中心分别为O1,O2,过直线O1O2的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形,则该圆柱的表面积为()A.122πB.12πC.82πD.10π答案B解析设圆柱的轴截面的边长为x,则由x2=8,得x=22,∴S圆柱表=2S底+S侧=2×π×(2)2+2π×2×22=12π.故选B.命题点2求简单几何体的体积例2如图,正三棱柱ABC-A1B1C1的底面边长为2,侧棱长为3,D为BC的中点,则三棱锥A-B1DC1的体积为()A.3B.32C.1D.32答案C解析如题图,因为△ABC是正三角形,且D为BC中点,则AD⊥BC.又因为BB1⊥平面ABC,AD⊂平面ABC,故BB1⊥AD,且BB1∩BC=B,BB1,BC⊂平面BCC1B1,所以AD⊥平面BCC1B1,所以AD是三棱锥A-B1DC1的高.所以V三棱锥A-B1DC1=13S△B1DC1·AD=13×3×3=1.思维升华空间几何体表面积、体积的求法(1)旋转体的表面积问题注意其侧面展开图的应用.6(2)多面体的表面积是各个面的面积之和;组合体的表面积注意衔接部分的处理.(3)体积可用公式法、转换法、分割法、补形法等求解.跟踪训练1如图,直三棱柱ABC-A1B1C1的各条棱长均为2,D为棱B1C1上任意一点,则三棱锥D-A1BC的体积是______.答案233解析VD-A1BC=VB1-A1BC=VA1-B1BC=13×S△B1BC×3=233.题型三与球有关的切、接问题例3已知直三棱柱ABC-A1B1C1的6个顶点都在球O的球面上,若AB=3,AC=4,AB⊥AC,AA1=12,则球O的半径为()A.3172B.210C.132D.310答案C解析如图所示,由球心作平面ABC的垂线,则垂足为BC的中点M.又AM=12BC=52,OM=12AA1=6,所以球O的半径R=OA=522+62=132.引申探究1.本例若将直三棱柱改为“棱长为4的正方体”,则此正方体外接球和内切球的体积各是多少?7解由题意可知,此正方体的体对角线长即为其外接球的直径,正方体的棱长即为其内切球的直径.设该正方体外接球的半径为R,内切球的半径为r.又正方体的棱长为4,故其体对角线长为43,从而V外接球=43πR3=43π×(23)3=323π,V内切球=43πr3=43π×23=32π3.2.本例若将直三棱柱改为“正四面体”,则此正四面体的表面积S1与其内切球的表面积S2的比值为多少?解正四面体棱长为a,则正四面体表面积为S1=4×34·a2=3a2,其内切球半径r为正四面体高的14,即r=14·63a=612a,因此内切球表面积为S2=4πr2=πa26,则S1S2=3a2πa26=63π.3.本例中若将直三棱柱改为“侧棱和底面边长都是32的正四棱锥”,则其外接球的半径是多少?解依题意,得该正四棱锥底面对角线的长为32×2=6,高为322-12×62=3,因此底面中心到各顶点的距离均等于3,所以该正四棱锥的外接球的球心即为底面正方形的中心,其外接球的半径为3.思维升华“切”“接”问题的处理规律(1)“切”的处理首先要找准切点,通过作截面来解决,截面过球心.(2)“接”的处理抓住外接的特点,即球心到多面体的顶点的距离等于球的半径.跟踪训练2(2018·全国Ⅲ)设A,B,C,D是同一个半径为4的球的球面上四点,△ABC为等边三角形且其面积为93,则三棱锥D-ABC体积的最大值为()A.123B.183C.243D.543答案B解析由等边△ABC的面积为93,可得34AB2=93,所以AB=6,所以等边△ABC的外接圆的半径为r=33AB=23.8设球的半径为R,球心到等边△ABC的外接圆圆心的距离为d,则d=R2-r2=16-12=2.所以三棱锥D-ABC高的最大值为2+4=6,所以三棱锥D-ABC体积的最大值为13×93×6=183.1.将一个等腰梯形绕它的较长的底边所在的直线旋转一周,所得的几何体包括()A.一个圆台、两个圆锥B.两个圆台、一个圆柱C.两个圆柱、一个圆台D.一个圆柱、两个圆锥答案D解析从较短的底边的端点向另一底边作垂线,两条垂线把等腰梯形分成了两个直角三角形,一个矩形,所以一个等腰梯形绕它的较长的底边所在直线旋转一周形成的是由一个圆柱,两个圆锥所组成的几何体,如图:2.用长为8,宽为4的矩形做侧面围成一个圆柱,则圆柱的轴截面的面积为()A.32B.32πC.16πD.8π答案B解析若8为底面周长,则圆柱的高为4,此时圆柱的底面直径为8π,其轴截面的面积为32π;若4为底面周长,则圆柱的高为8,此时圆柱的底面直径为4π,其轴截面的面积为32π.3.(2018·辽宁部分重点中学协作体模拟)在一个密闭透明的圆柱筒内装一定体积的水,将该圆柱筒分别竖直、水平、倾斜放置时,指出圆柱桶内的水平面可以呈现出的几何形状不可能是()A.圆面B.矩形面C.梯形面D.椭圆面或部分椭圆面答案C解析将圆柱桶竖放,水面为圆面;将圆柱桶斜放,水面为椭圆面或部分椭圆面;将圆柱桶水平放置,水面为矩形面,所以圆柱桶内的水平面可以呈现出的几何形状不可能是梯形面,故选C.94.棱长为a的正四面体的表面积是()A.36a2B.312a2C.34a2D.3a2答案D解析棱长为a的正四面体的四个面都是正三角形,正四面体的表面积是4×34a2=3a2.5.(2019·江西重点中学联考)《算术书》竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土,这是我国现存最早的有系统的数学典著,其中记载有求“囷盖”的术:置如其周,令相乘也,又以高乘之,三十六成一,该术相当于给出圆锥的底面周长l与高h,计算其体积V的近似公式V=136l2h,它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率π近似取3,那么,近似公式V≈25942l2h相当于将圆锥体积公式中的π近似取()A.227B.258C.15750D.355113答案C解析V=13πr2h=13π×l2π2h=112πl2h,由112π≈25942,得π≈15750,故选C.6.(2018·四川棠湖中学月考)用一个平面去截正方体,则截面不可能是()A.直角三角形B.等边三角形C.正方形D.正六边形答案A解析用一个平面去截正方体,则截面的情况为:①截面为三角形时,可以是锐角三角形、等腰三角形、等边三角形,但不可能是钝角三角形、直角三角形;②截面为四边形时,可以是梯形(等腰梯形)、平行四边形、菱形、矩形,但不可能是直角梯形;③截面为五边形时,不可能是正五边形;④截面为六边形时,可以是正六边形.7.给出下列命题:①棱柱的侧棱都相等,侧面都是全等的平行四边形;②若三棱锥的三条侧棱两两垂直,则其三个侧面也两两垂直;10③在四棱柱中,若两个过相对侧棱的截面都垂直于底面,则该四棱柱为直四棱柱;④存在每个面都是直角三角形的四面体.其中正确命题的序号是________.答案②③④解析①不正确,根据棱柱的定义,棱柱的各个侧面都是平行四边形,但不一定全等;②正确,若三棱锥的三条侧棱两两垂直,则三个侧面所在的三个平面的二面角都是直二面角;③正确,因为两个过相对侧棱的截面的交线平行于侧棱,又垂直于底面;④正确,如图,正方体ABCD-A1B1C1D1中的三棱锥C1-ABC,四个面都是直角三角形.8.如图所示,一个底面半径为R的圆柱形量杯中装有适量的水.若放入一个半径为r的实心铁球,水面高度恰好升高r,则Rr=________.答案233解析由水面高度升高r,得圆柱体积增加