搜索
1§3.3几何概型学习目标1.通过具体问题感受几何概型的概念，体会几何概型的意义.2.会求一些简单的几何概型的概率.3.会用随机模拟的方法近似计算某事件的概率．知识点一几何概型的概念及特点1．几何概型的定义如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称为几何概型．2．几何概型的特点(1)试验中所有可能出现的结果(基本事件)有无限多个．(2)每个基本事件出现的可能性相等．知识点二几何概型的概率公式事件发生的概率与构成该事件的区域测度(如长度、面积、体积)成比例，故可用区域的测度代替基本事件数．P(A)＝构成事件A的区域长度面积或体积试验的全部结果所构成的区域长度面积或体积.知识点三均匀随机数1．均匀随机数的定义如果试验的结果是区间[a，b]内的任何一个实数，而且出现任何一个实数是等可能的，则称这些实数为均匀随机数．2．均匀随机数的特征(1)随机数是在一定范围内产生的．(2)在这个范围内的每一个数被取到的可能性相等．3．均匀随机数的产生(1)计算器产生区间[0,1]上的均匀随机数的函数是RAND.(2)Excel软件产生区间[0,1]上的均匀随机数的函数为“rand()”．(3)产生方法：①由几何概型产生；②由转盘产生；③由计算器或计算机产生．1．在一个正方形区域内任取一点的概率是零．(√)2．与面积有关的几何概型的概率与几何图形的形状有关．(×)23．随机模拟方法是以事件发生的频率估计概率．(√)4．几何概型的概率计算与构成事件的区域形状有关．(×)题型一几何概型的识别例1下列关于几何概型的说法错误的是()A．几何概型是古典概型的一种，基本事件都要具有等可能性B．几何概型中事件发生的概率与它的形状或位置无关C．几何概型在一次试验中可能出现的结果有无限多个D．几何概型中每个结果的发生都具有等可能性答案A解析几何概型和古典概型是两种不同的概率模型，几何概型中的基本事件有无限多个，古典概型中的基本事件有有限个．反思感悟几何概型特点的理解(1)无限性：在每次随机试验中，不同的试验结果有无穷多个，即基本事件有无限多个；(2)等可能性：在每次随机试验中，每个试验结果出现的可能性相等，即基本事件的发生是等可能的．跟踪训练1判断下列概率模型是古典概型还是几何概型．(1)先后抛掷两枚质地均匀的骰子，求出现两个“4点”的概率；(2)如图所示，图中有一个转盘，甲、乙玩转盘游戏，规定当指针指向B区域时，甲获胜，否则乙获胜，求甲获胜的概率．解(1)先后抛掷两枚质地均匀的骰子，所有可能结果有6×6＝36(种)，且它们的发生都是等可能的，因此属于古典概型．(2)游戏中指针指向B区域时有无限多个结果，且它们的发生都是等可能的，而且不难发现“指针落在阴影部分”的概率可以用阴影部分的面积与总面积的比来衡量，即与区域面积有关，因此属于几何概型．3题型二几何概型的计算命题角度1与长度有关的几何概型例2取一根长为3m的绳子，拉直后在任意位置剪断，那么剪得两段的长都不小于1m的概率为多少？解如图，记“剪得两段的长都不小于1m”为事件A.把绳子三等分，于是当剪断位置处在中间一段时，事件A发生，因为中间一段的长度为1m，所以事件A发生的概率为P(A)＝13.反思感悟在求解与长度有关的几何概型时，首先找到试验的全部结果构成的区域D，这时区域D可能是一条线段或几条线段或曲线段，然后找到事件A发生对应的区域d，在找区域d的过程中，确定边界点是问题的关键，但边界点是否取到却不影响事件A的概率．跟踪训练2(1)某公司的班车在7：30,8：00,8：30发车，小明在7：50至8：30之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率是()A.13B.12C.23D.34(2)在区间[－1,2]上随机取一个数x，则|x|≤1的概率为．答案(1)B(2)23解析(1)如图，7：50至8：30之间的时间长度为40分钟，而小明等车时间不超过10分钟是指小明在7：50至8：00之间或8：20至8：30之间到达发车站，此两种情况下的时间长度之和为20分钟，由几何概型概率公式知，所求概率为P＝2040＝12.故选B.(2)∵区间[－1,2]的长度为3，由|x|≤1，得x∈[－1,1]，而区间[－1,1]的长度为2，x取每个值为随机的，∴在[－1,2]上取一个数x，则|x|≤1的概率P＝23.命题角度2与面积有关的几何概型例3(1)如图，在矩形区域ABCD的A，C两点处各有一个通信基站，假设其信号的覆盖范围分别是扇形区域ADE和扇形区域CBF(该矩形区域内无其他信号来源，基站工作正常)．若在该矩形区域内随机地选一地点，则该地点无信号的概率是()4A．1－π4B.π2－1C．2－π2D.π4(2)在区间[－2,2]上任取两个实数x，y组成有序数对(x，y)，求满足x2＋y2≤4的概率．(1)答案A解析由题意知，将两个四分之一圆合在一起，其面积为12×π×12＝π2，矩形面积为2，则所求概率为2－π22＝1－π4.(2)解在区间[－2,2]上任取两个实数x，y组成有序数对(x，y)，区域Ω是边长为4的正方形区域，其中满足x2＋y2≤4的是图中阴影区域(如图所示)，S阴＝π×22＝4π，所以P＝4π16＝π4.反思感悟解与面积有关的几何概型问题的关键点(1)根据题意确认是不是与面积有关的几何概型问题．(2)找出或构造出随机事件对应的几何图形，利用图形的几何特征计算相关面积，套用公式求得概率．跟踪训练3一只海豚在水池中自由游弋，水池为长30m，宽20m的长方形，求此刻海豚嘴尖离岸边不超过2m的概率．解如图所示，区域Ω是长30m、宽20m的长方形．图中阴影部分表示事件A：“海豚嘴尖离岸边不超过2m”，问题可以理解为求海豚嘴尖出现在图中阴影部分的概率．由于区域Ω的面积为30×20＝600(m2)，阴影部分的面积为30×20－26×16＝184(m2)．5所以P(A)＝184600＝2375≈0.31.即海豚嘴尖离岸边不超过2m的概率约为0.31.命题角度3与体积有关的几何概型例4已知正三棱锥S－ABC的底面边长为a，高为h，在正三棱锥内取点M，试求点M到底面的距离小于h2的概率．解如图，分别在SA，SB，SC上取点A1，B1，C1，使A1，B1，C1分别为SA，SB，SC的中点，则当点M位于平面ABC和平面A1B1C1之间时，点M到底面的距离小于h2.设△ABC的面积为S，由△ABC∽△A1B1C1，且相似比为2，得△A1B1C1的面积为S4.由题意，知区域D(三棱锥S－ABC)的体积为13Sh，区域d(三棱台ABC－A1B1C1)的体积为13Sh－13·S4·h2＝13Sh·78.所以点M到底面的距离小于h2的概率为P＝78.反思感悟如果试验的全部结果所构成的区域可用体积来度量，我们要结合问题的背景，选择好观察角度，准确找出基本事件所占的区域体积及事件A所占的区域体积．其概率的计算公式为P(A)＝构成事件A的区域体积试验的全部结果构成的区域体积.跟踪训练4在一个球内有一棱长为1的内接正方体，一动点在球内运动，则此点落在正方体内部的概率为()A.6πB.32πC.3πD.233π答案D解析由题意可知这是一个几何概型，棱长为1的正方体的体积V1＝1，球的直径是正方体的体对角线长，故球的半径R＝32，球的体积V2＝43π×323＝32π，6则此点落在正方体内部的概率P＝V1V2＝233π.随机模拟方法的应用典例(1)(2016·全国Ⅱ)从区间[0,1]上随机抽取2n个数x1，x2，…，xn，y1，y2，…，yn，构成n个数对(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)，其中两数的平方和小于1的数对共有m个，则用随机模拟的方法得到的圆周率π的近似值为()A.4nmB.2nmC.4mnD.2mn(2)如图，边长为2的正方形中有一封闭曲线围成的阴影区域，在正方形中随机撒一粒豆子，它落在阴影区域内的概率为23，则阴影区域的面积为．答案(1)C(2)83解析(1)由题意得，(xi，yi)(i＝1,2，…，n)在如图所示的正方形中，而平方和小于1的点均在如图所示的阴影中，由几何概型概率计算公式知，π41＝mn，所以π＝4mn.(2)由几何概型的概率公式可得S阴影S正方形＝23，又S正方形＝4，所以S阴影＝4×23＝83.[素养评析](1)解决此类问题时应注意两点：一是选取适当的对应图形，二是由几何概型的概率公式正确地计算概率．(2)明确这类问题的运算对象，采用随机模拟的运算方法，设计运算程序，求得运算结果，这7些就是数学核心素养中的数学运算.1．在半径为2的球O内任取一点P，则|OP|＞1的概率为()A.78B.56C.34D.12答案A解析问题相当于在以O为球心，1为半径的球外，且在以O为球心，2为半径的球内任取一点，所以P＝43π×23－43π×1343π×23＝78.2．如图，在平面直角坐标系中，射线OT为60°角的终边，在任意角集合中任取一个角，则该角终边落在∠xOT内的概率是()A.16B.23C.13D.160答案A解析∵在任意角集合中任取一个角，则该角终边落在∠xOT内对应的角度为60°，而整个角集合对应的角度为360°，∴该角终边落在∠xOT内的概率P＝60°360°＝16，故选A.3．当你到一个红绿灯路口时，红灯的时间为30秒，黄灯的时间为5秒，绿灯的时间为45秒，那么你看到黄灯的概率是()A.112B.38C.116D.56答案C解析由题意可知，在80秒内路口的红、黄、绿灯是随机出现的，可以认为是无限次等可能出现的，符合几何概型的条件．事件“看到黄灯”的时间长度为5秒，而整个灯的变换时间长度为80秒，由几何概型的概率计算公式，得看到黄灯的概率P＝580＝116.4．如图，正方形ABCD内的图形来自中国古代的太极图，正方形内切圆中的黑色部分和白色8部分关于正方形的中心成中心对称．在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是．答案π8解析不妨设正方形ABCD的边长为2，则正方形内切圆的半径为1，可得S正方形＝4.由圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称，得S黑＝S白＝12S圆＝π2，所以由几何概型知，所求概率P＝S黑S正方形＝π24＝π8.5．在区间[0,3]内任意取一个数，则此数大于2的概率为．答案13解析由于区间[0,3]的长度为3，区间(2,3]的长度为1，故所求概率P＝13.1．几何概型适用于试验结果是无穷多且事件是等可能发生的概率模型．2．几何概型主要用于解决与长度、面积、体积有关的问题．3．注意理解几何概型与古典概型的区别．4．理解如何将实际问题转化为几何概型的问题，利用几何概型公式求解，概率公式为P(A)＝构成事件A的区域长度面积或体积试验的全部结果所构成的区域长度面积或体积.一、选择题1．在长为10厘米的线段AB上任取一点G，用AG为半径作圆，则圆的面积介于36π平方厘米到64π平方厘米的概率是()A.925B.1625C.310D.15答案D解析以AG为半径作圆，面积介于36π平方厘米到64π平方厘米，则AG的长度应介于6厘米到8厘米之间(如图)．所以所求概率P＝210＝15.92．有四个游戏盘，将它们水平放稳后，在上面扔一颗玻璃小球，若小球落在阴影部分，则可中奖，小明要想增加中奖机会，应选择的游戏盘是()答案A解析∵P(A)＝38，P(B)＝28，P(C)＝26，P(D)＝13，∴P(A)P(C)＝P(D)P(B)．3．如图，矩形ABCD中，点E为边CD的中点，若在矩形ABCD内部随机取一个点Q，则点Q取自△ABE内部的概率等于()A.14B.13C.12D.23答案C解析△ABE的面积是矩形ABCD面积的一半，由几何概型知，点Q取自△ABE内部的概率为12.4．已知地铁列车每10min一班，在车站停1min，则乘客到达站台立即乘上车的概率是()A.110B.19C.111D.18答案A解析设“乘客到达站台立即乘上车”为事件A，试验的所有结果构成的