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1§3.2古典概型学习目标1.理解古典概型及其概率计算公式.2.会计算一些随机事件所含的基本事件数及事件发生的概率.3.理解(整数值)随机数(randomnumbers)的产生．知识点一基本事件1．定义：在一次试验中，所有可能出现的基本结果中不能再分的最简单的随机事件称为该次试验的基本事件．2．特点：(1)任何两个基本事件是互斥的；(2)任何事件(除不可能事件)都可以表示成基本事件的和．知识点二古典概型1．定义：古典概型满足的条件：(1)试验中所有可能出现的基本事件只有有限个；(2)每个基本事件出现的可能性相等．2．计算公式：对于古典概型，任何事件的概率为P(A)＝A包含的基本事件的个数基本事件的总数.知识点三随机数的产生1．随机数的产生(1)标号：把n个大小、形状相同的小球分别标上1,2,3，…，n.(2)搅拌：放入一个袋中，把它们充分搅拌．(3)摸取：从中摸出一个．这个球上的数就称为从1～n之间的随机整数，简称随机数．2．伪随机数的产生(1)规则：依照确定算法．(2)特点：具有周期性(周期很长)．(3)性质：它们具有类似随机数的性质．计算机或计算器产生的随机数并不是真正的随机数，我们称为伪随机数．3．产生随机数的常用方法(1)用计算器产生．(2)用计算机产生．(3)抽签法．4.随机模拟方法(蒙特卡罗方法)利用计算机或计算器产生的随机数来做模拟试验，通过模拟试验得到的频率来估计概率，这2种用计算机或计算器模拟试验的方法称为随机模拟方法或蒙特卡罗方法．1．任何一个事件都是一个基本事件．(×)2．古典概型中每一个基本事件出现的可能性相等．(√)3．古典概型中的任何两个基本事件都是互斥的．(√)4．相同环境下两次随机模拟得到的概率的估计值是相等的．(×)题型一基本事件的计数问题例1将一枚骰子先后抛掷两次，则：(1)一共有几个基本事件？(2)“出现的点数之和大于8”包含几个基本事件？解方法一(列举法)：(1)用(x，y)表示结果，其中x表示骰子第1次出现的点数，y表示骰子第2次出现的点数，则试验的所有结果为(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，(4,5)，(4,6)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，(5,5)，(5,6)，(6,1)，(6,2)，(6,3)，(6,4)，(6,5)，(6,6)，共36个基本事件．(2)“出现的点数之和大于8”包含以下10个基本事件：(3,6)，(4,5)，(4,6)，(5,4)，(5,5)，(5,6)，(6,3)，(6,4)，(6,5)，(6,6)．方法二(列表法)：如图所示，坐标平面内的数表示相应两次抛掷后出现的点数的和，基本事件与所描点一一对应．(1)由图知，基本事件总数为36.(2)点数之和大于8包含10个基本事件(已用虚线圈出)．3方法三(树状图法)：一枚骰子先后抛掷两次的所有可能结果用树状图表示．如图所示：(1)由图知，共36个基本事件．(2)点数之和大于8包含10个基本事件(已用“√”标出)．反思感悟基本事件的三个探求方法(1)列举法：把试验的全部结果一一列举出来．此方法适合于较为简单的试验问题．(2)列表法：将基本事件用表格的方式表示出来，通过表格可以弄清基本事件的总数，以及要求的事件所包含的基本事件数．列表法适用于较简单的试验问题，基本事件数较多的试验不适合用列表法．(3)树状图法：树状图法是使用树状的图形把基本事件列举出来的一种方法，树状图法便于分析基本事件间的结构关系，对于较复杂的问题，可以作为一种分析问题的主要手段，树状图法适用于较复杂的试验问题．跟踪训练1(1)4张卡片上分别写有数字1,2,3,4，从这4张卡片中随机抽取2张，则取出的2张卡片上的数字之和为奇数的所有基本事件数为()A．2B．3C．4D．6(2)连续掷3枚硬币，观察这3枚硬币落在地面上时是正面朝上还是反面朝上．①写出这个试验的所有基本事件；②求这个试验的基本事件的总数；③“恰有两枚硬币正面朝上”这一事件包含哪些基本事件？(1)答案C解析用列举法列举出“数字之和为奇数”的基本事件为：(1,2)，(1,4)，(2,3)，(3,4)，共4种．(2)解①这个试验包含的基本事件有：(正，正，正)，(正，正，反)，(正，反，正)，(反，正，正)，(正，反，反)，(反，正，反)，(反，反，正)，(反，反，反)．②这个试验包含的基本事件的总数是8.③“恰有两枚硬币正面朝上”这一事件包含以下3个基本事件：(正，正，反)，(正，反，正)，(反，正，正)．4题型二古典概型的概率计算例2将一枚质地均匀的正方体骰子先后抛掷两次观察出现点数的情况．(1)一共有多少种不同的结果？(2)点数之和为5的结果有多少种？(3)点数之和为5的概率是多少？解(1)将一枚质地均匀的正方体骰子抛掷一次，得到的点数有1,2,3,4,5,6，共6种结果，故先后将这枚骰子抛掷两次，一共有6×6＝36(种)不同的结果．(2)点数之和为5的结果有(1,4)，(2,3)，(3,2)，(4,1)，共4种．(3)正方体骰子是质地均匀的，将它先后抛掷两次所得的36种结果是等可能出现的，其中点数之和为5(记为事件A)的结果有4种，因此所求概率P(A)＝436＝19.反思感悟首先，阅读题目，收集题目中的各种信息；其次，判断基本事件是否为等可能事件，并用字母A表示所求事件；再次，求出基本事件的总数n及事件A包含的基本事件的个数m；最后，利用公式P(A)＝A包含的基本事件的个数基本事件的总数＝mn，求出事件A的概率．跟踪训练2(2017·山东)某旅游爱好者计划从3个亚洲国家A1，A2，A3和3个欧洲国家B1，B2，B3中选择2个国家去旅游．(1)若从这6个国家中任选2个，求这2个国家都是亚洲国家的概率；(2)若从亚洲国家和欧洲国家中各任选1个，求这2个国家包括A1但不包括B1的概率．解(1)由题意知，从6个国家中任选2个国家，其一切可能的结果组成的基本事件有{A1，A2}，{A1，A3}，{A1，B1}，{A1，B2}，{A1，B3}，{A2，A3}，{A2，B1}，{A2，B2}，{A2，B3}，{A3，B1}，{A3，B2}，{A3，B3}，{B1，B2}，{B1，B3}，{B2，B3}，共15个．所选2个国家都是亚洲国家的事件所包含的基本事件有{A1，A2}，{A1，A3}，{A2，A3}，共3个，则所求事件的概率为P＝315＝15.(2)从亚洲国家和欧洲国家中各任选1个，其一切可能的结果组成的基本事件有{A1，B1}，{A1，B2}，{A1，B3}，{A2，B1}，{A2，B2}，{A2，B3}，{A3，B1}，{A3，B2}，{A3，B3}，共9个．包括A1但不包括B1的事件所包含的基本事件有{A1，B2}，{A1，B3}，共2个，则所求事件的概率为P＝29.题型三随机模拟法估计概率5例3种植某种树苗成活率为0.9，若种植这种树苗5棵，求恰好成活4棵的概率．设计一个试验，用随机模拟法估计上述概率．解利用计算器或计算机产生0到9之间取整数值的随机数，我们用0代表不成活，1至9的数字代表成活，这样可以体现成活率是0.9.因为是种植5棵，所以每5个随机数作为一组．例如，产生30组随机数：698016609777124229617423531516297472494557558652587413023224374454434433315271202178258555610174524144134922017036283005949765617334783166243034401117这就相当于做了30次试验，在这些数组中，如果恰有一个0，则表示恰有4棵成活，共有9组这样的数，于是我们得到种植5棵这样的树苗恰有4棵成活的概率约为930＝0.3.反思感悟利用随机模拟估计概率应关注三点(1)当试验的基本事件等可能时，基本事件总数即为产生随机数的范围，每个随机数代表一个基本事件．(2)研究等可能事件的概率时，用按比例分配的方法确定表示各个结果的数字个数及总个数．(3)当每次试验结果需要n个随机数表示时，要把n个随机数作为一组来处理，此时一定要注意每组中的随机数字能否重复．跟踪训练3袋子中有四个小球，分别写有“春、夏、秋、冬”四个字，从中任取一个小球，取到“冬”就停止，用随机模拟的方法估计直到第二次停止的概率：先由计算器产生1到4之间取整数值的随机数，且用1,2,3,4表示取出的小球上分别写有“春、夏、秋、冬”四个字，每两个随机数为一组，代表两次的结果，经随机模拟产生了20组随机数：1324123243142432312123133221244213322134据此估计，直到第二次就停止的概率为()A.15B.14C.13D.12答案B解析20组随机数中，第一次不是4且第二次是4的数共有5组，故估计直到第二次就停止的概率为520＝14.综合型古典概型的概率计算典例从含有两件正品a1，a2和一件次品b的三件产品中，每次任取一件．6(1)若每次取后不放回，连续取两次，求取出的两件产品中恰有一件次品的概率；(2)若每次取后放回，连续取两次，求取出的两件产品中恰有一件次品的概率．解(1)每次取出一个，取后不放回地连续取两次，其一切可能的结果组成的基本事件有6个，即(a1，a2)，(a1，b)，(a2，a1)，(a2，b)，(b，a1)，(b，a2)．其中小括号内左边的字母表示第1次取出的产品，右边的字母表示第2次取出的产品，总的事件个数为6，而且可以认为这些基本事件是等可能的．用A表示“取出的两件中恰有一件次品”这一事件，所以A＝{(a1，b)，(a2，b)，(b，a1)，(b，a2)}．因为事件A由4个基本事件组成，所以P(A)＝46＝23.(2)有放回地连续取出两件，其所有可能的结果为(a1，a1)，(a1，a2)，(a1，b)，(a2，a1)，(a2，a2)，(a2，b)，(b，a1)，(b，a2)，(b，b)，共9个基本事件．由于每一件产品被取到的机会均等，因此可以认为这些基本事件的出现是等可能的．用B表示“恰有一件次品”这一事件，则B＝{(a1，b)，(a2，b)，(b，a1)，(b，a2)}．事件B由4个基本事件组成，因而P(B)＝49.[素养评析](1)解决有序和无序问题应注意两点①关于不放回抽样，计算基本事件个数时，既可以看作是有顺序的，也可以看作是无顺序的，其最后结果是一致的．但不论选择哪一种方式，观察的角度必须一致，否则会产生错误．②关于有放回抽样，应注意在连续取出两次的过程中，因为先后顺序不同，所以(a1，b)，(b，a1)不是同一个基本事件．解题的关键是要清楚无论是“不放回抽取”还是“有放回抽取”，每一件产品被取出的机会都是均等的．(2)对于求古典概型的概率问题，关键是判断事件是否为古典概型，能正确求出基本事件的个数，利用公式求解概率，这些都是数学核心素养数学运算的体现.1．下列试验是古典概型的是()A．在适宜的条件下种一粒种子，发芽的概率B．口袋里有2个白球和2个黑球，这4个球除颜色外完全相同，从中任取一球得白球的概率C．向一个圆面内部随机地投一个点，该点落在圆心的概率D．某篮球运动员投篮一次命中的概率答案B解析A，D不是等可能事件，C不满足有限性，故选B.2．从长度分别为1,2,3,4的四条线段中，任取三条不同的线段，以取出的三条线段为边可组成三角形的概率为()7A．0B.14C.12D.34答案B解析从中任取三条线段共有4种取法，能构成三角形的只有长度为2,3,4的线段，所以P＝14，故选B.3．在国庆阅兵中，某兵种A，B，C三个方阵按一定次序通过主席台，若先后次序是随机排定的，则B先于A，C通过的概率为()A.16B.13C.12D.23答案B解析用(A，B，C)表示A，B，C通过主席台的次序，则所有可能的次序有