2020版高中数学 第二章 统计 2.3 变量间的相关关系学案（含解析）新人教A版必修3

1§2.3变量间的相关关系学习目标1.了解变量间的相关关系，会画散点图.2.根据散点图，能判断两个变量是否具有相关关系.3.了解线性回归思想，会求回归直线的方程．知识点一变量间的相关关系相关关系的定义变量间确实存在关系，但又不具备函数关系所要求的确定性，它们的关系是带有随机性的，那么这两个变量之间的关系叫做相关关系，两个变量之间的关系分为函数关系和相关关系．知识点二散点图及正、负相关的概念1．散点图将样本中n个数据点(xi，yi)(i＝1,2，…，n)描在平面直角坐标系中，以表示具有相关关系的两个变量的一组数据的图形叫做散点图．点(x，y)叫样本点中心．2．正相关与负相关(1)正相关：散点图中的点散布在从左下角到右上角的区域．(2)负相关：散点图中的点散布在从左上角到右下角的区域．知识点三回归直线回归直线的方程(1)回归直线：如果散点图中点的分布从整体上看大致在一条直线附近，就称这两个变量之间具有线性相关关系，这条直线叫做回归直线．回归直线过样本点中心．(2)线性回归方程：回归直线对应的方程叫做回归直线的方程，简称回归方程．(3)最小二乘法：求线性回归方程y^＝b^x＋a^时，使得样本数据的点到回归直线的距离的平方和最小的方法叫做最小二乘法．b^＝i＝1nxi－xyi－yi＝1nxi－x2＝i＝1nxiyi－nxyi＝1nx2i－nx2，a^＝y－b^x，2其中，b^是线性回归方程的斜率，a^是线性回归方程在y轴上的截距．1．人的身高与年龄之间的关系是相关关系．(×)2．农作物的产量与施肥量之间的关系是相关关系．(√)3．回归直线过样本点中心(x，y)．(√)4．根据回归直线方程得到的结论一定是可靠的．(×)题型一变量间相关关系的判断例1(1)下列关系中，属于相关关系的是________．(填序号)①正方形的边长与面积之间的关系；②农作物的产量与施肥量之间的关系；③出租车费与行驶的里程；④降雪量与交通事故的发生率之间的关系．答案②④解析在①中，正方形的边长与面积之间的关系是函数关系；在②中，农作物的产量与施肥量之间不具有严格的函数关系，但具有相关关系；③为确定的函数关系；在④中，降雪量与交通事故的发生率之间具有相关关系．(2)某个男孩的年龄与身高的统计数据如下表所示.年龄x(岁)123456身高y(cm)788798108115120①画出散点图；②判断y与x是否具有线性相关关系．解①散点图如图所示．②由图知，所有数据点接近一条直线排列，因此，认为y与x具有线性相关关系．反思感悟两个变量是否相关的两种判断方法(1)根据实际经验：借助积累的经验进行分析判断．3(2)利用散点图：通过散点图，观察它们的分布是否存在一定的规律，直观地进行判断．4跟踪训练1某中学的兴趣小组在某座山测得海拔高度、气压和沸点的六组数据绘制成散点图如图所示，则下列说法错误的是()A．沸点与海拔高度呈正相关B．沸点与气压呈正相关C．沸点与海拔高度呈负相关D．沸点与海拔高度、沸点与气压的相关性都很强答案A解析由左图知气压随海拔高度的增加而减小，由右图知沸点随气压的升高而升高，所以沸点与气压呈正相关，沸点与海拔高度呈负相关，由于两个散点图中的点都成线性分布，所以沸点与海拔高度、沸点与气压的相关性都很强，故B，C，D正确，A错误．题型二求回归方程例2某种产品的广告费支出x(单位：百万元)与销售额y(单位：百万元)之间有如下对应数据：x24568y3040605070(1)画出散点图；(2)求回归方程．解(1)散点图如图所示．(2)列出下表，并用科学计算器进行有关计算.i12345xi24568yi30406050705xiyi60160300300560x2i416253664x＝5，y＝50，i＝15x2i＝145，i＝15xiyi＝1380于是可得，b^＝i＝15xiyi－5xyi＝15x2i－5x2＝1380－5×5×50145－5×52＝6.5，a^＝y－b^x＝50－6.5×5＝17.5.于是所求的回归方程是y^＝6.5x＋17.5.反思感悟求回归方程的一般步骤(1)收集样本数据，设为(xi，yi)(i＝1,2，…，n)．(2)作出散点图，确定x，y具有线性相关关系．(3)把数据制成表格．(4)计算x，y，i＝1nx2i，i＝1nxiyi.(5)代入公式计算b^，a^，公式为b^＝i＝1nxiyi－nxyi＝1nx2i－nx2，a^＝y－b^x.(6)写出回归方程y^＝b^x＋a^.跟踪训练2已知变量x，y有如下对应数据：x1234y1345(1)作出散点图；(2)用最小二乘法求关于x，y的回归方程．解(1)散点图如图所示．6(2)x＝1＋2＋3＋44＝52，y＝1＋3＋4＋54＝134，i＝14xiyi＝1＋6＋12＋20＝39.i＝14x2i＝1＋4＋9＋16＝30，b^＝39－4×52×13430－4×522＝1310，a^＝134－1310×52＝0，所以y^＝1310x即为所求的回归方程．利用线性回归方程对总体进行估计典例由某种设备的使用年限xi(年)与所支出的维修费yi(万元)的数据资料算得如下结果，i＝15x2i＝90，i＝15xiyi＝112，i＝15xi＝20，i＝15yi＝25.(1)求所支出的维修费y对使用年限x的线性回归方程y^＝b^x＋a^；(2)①判断变量x与y之间是正相关还是负相关；②当使用年限为8年时，试估计支出的维修费是多少？解(1)∵i＝15xi＝20，i＝15yi＝25，∴x＝15i＝15xi＝4，y＝15i＝15yi＝5，∴b^＝i＝15xiyi－5xyi＝15x2i－5x2＝112－5×4×590－5×42＝1.2，7a^＝y－b^x＝5－1.2×4＝0.2.∴线性回归方程为y^＝1.2x＋0.2.(2)①由(1)知b^＝1.2＞0，∴变量x与y之间是正相关．②由(1)知，当x＝8时，y^＝1.2×8＋0.2＝9.8，即使用年限为8年时，支出的维修费约是9.8万元．[素养评析](1)用回归方程进行总体估计要注意几点，①首先要判断两个变量具有相关关系，②准确求出回归方程，③根据回归方程进行估计或预测，但估计值不是实际值，允许有一定误差．(2)收集数据，求回归方程，进行估计和预测，充分体现了数学核心素养之数学运算和数据分析素养的形成过程.1．对变量x，y有观测数据(xi，yi)(i＝1,2,3，…，10)，得散点图1；对变量u，v有观测数据(ui，vi)(i＝1,2,3，…，10)，得散点图2，由这两个散点图可以断定()A．x与y正相关，u与v正相关B．x与y正相关，u与v负相关C．x与y负相关，u与v正相关D．x与y负相关，u与v负相关答案C解析由图1可知，点散布在从左上角到右下角的区域，各点整体呈递减趋势，故x与y负相关；由图2可知，点散布在从左下角到右上角的区域，各点整体呈递增趋势，故u与v正相关．2．工人工资y(元)与劳动生产率x(千元)的相关关系的回归方程为y^＝50＋80x，下列判断正确的是()A．劳动生产率为1000元时，工人工资为130元B．劳动生产率提高1000元时，工人工资平均提高80元8C．劳动生产率提高1000元时，工人工资平均提高130元D．当月工资为250元时，劳动生产率为2000元答案B解析因为回归直线的斜率为80，所以x每增加1，y平均增加80，即劳动生产率提高1000元时，工人工资平均提高80元．3．设某大学的女生体重y(单位：kg)与身高x(单位：cm)具有线性相关关系，根据一组样本数据(xi，yi)(i＝1,2，…，n)，用最小二乘法建立的回归方程为y^＝0.85x－85.71，则下列结论中不正确的是()A．y与x具有正的线性相关关系B．回归直线过样本点中心(x，y)C．若该大学某女生身高增加1cm，则其体重约增加0.85kgD．若该大学某女生身高为170cm，则可断定其体重必为58.79kg答案D解析当x＝170时，y^＝0.85×170－85.71＝58.79，体重的估计值为58.79kg.4．某地区近10年居民的年收入x与年支出y之间的关系大致符合y^＝0.8x＋0.1(单位：亿元)，预计今年该地区居民收入为15亿元，则今年支出估计是________亿元．答案12.1解析将x＝15代入y^＝0.8x＋0.1，得y^＝12.1.5．已知回归直线的斜率的估计值是1.23，且过定点(4,5)，则线性回归方程是_____________．答案y^＝1.23x＋0.08解析回归直线的斜率的估计值为1.23，即b^＝1.23，又回归直线过定点(4,5)，∴a^＝5－1.23×4＝0.08，∴y^＝1.23x＋0.08.1．判断变量之间有无相关关系，一种简便可行的方法就是绘制散点图．根据散点图，可以很容易看出两个变量是否具有相关关系，是不是线性相关，是正相关还是负相关．2．求线性回归方程时应注意的问题(1)知道x与y成线性相关关系，无需进行相关性检验，否则应首先进行相关性检验，如果两个变量之间本身不具有相关关系，或者说，它们之间的相关关系不显著，即使求出线性回归方程也是毫无意义的，而且用其估计和预测的量也是不可信的．9(2)用公式计算a^，b^的值时，要先计算b^，然后才能算出a^.3．利用回归方程，我们可以进行估计和预测．若回归方程为y^＝b^x＋a^，则在x＝x0处的估计值为y^0＝b^x0＋a^.一、选择题1.已知变量x，y之间具有线性相关关系，其散点图如图所示，则其回归方程可能为()A.y^＝1.5x＋2B.y^＝－1.5x＋2C.y^＝1.5x－2D.y^＝－1.5x－2答案B2．判断下图中的两个变量，具有较强相关关系的是()答案B解析A，C是函数关系，D中的点的分布毫无规律，横轴、纵轴表示的两个变量之间相关性不强．3．已知x与y之间的一组数据：x0123ym35.5710已求得关于y与x的线性回归方程为y^＝2.2x＋0.7，则m的值为()A．1B．0.85C．0.7D．0.5答案D解析x＝0＋1＋2＋34＝1.5，y＝m＋3＋5.5＋74，将其代入y^＝2.2x＋0.7，可得m＝0.5，故选D.4．设有一条回归直线的方程为y^＝2－1.5x，则变量x增加1个单位时()A．y平均增加1.5个单位B．y平均增加2个单位C．y平均减少1.5个单位D．y平均减少2个单位答案C解析∵回归方程为y^1＝2－1.5x，①∴y^2＝2－1.5(x＋1)，②∴②－①得y^2－y^1＝－1.5，即y平均减少1.5个单位，故选C.5．已知x与y之间的一组数据：x0123y1357若y与x线性相关，则y与x的回归直线y^＝b^x＋a^必过()A．点(2,2)B．点(1.5,0)C．点(1,2)D．点(1.5,4)答案D解析∵x＝0＋1＋2＋34＝1.5，y＝1＋3＋5＋74＝4，∴回归直线必过点(1.5,4)．故选D.6．已知x，y的取值如表所示：x234y645如果y与x线性相关，且线性回归方程为y^＝b^x＋132，则b^等于()11A．－12B.12C．－110D.110答案A解析∵x＝2＋3＋43＝3，y＝6＋4＋53＝5，∴回归直线过点(3,5)，∴5＝3b^＋132，∴b^＝－12，故选A.7．某产品的广告费用x(单位：万元)与销售额y(单位：万元)的统计数据如下表：广告费用x4235销售额y49263954根据上表可得回归方程y^＝b^x＋a^中的b^为9.4，据此模型预报广告费用为6万元时销售额为()A．63.6万元B．65.5万元C．67.7万元D．72.0万元答案B解析x＝4＋2＋3＋54＝3.5，y＝49＋26＋39＋544＝42.因为回归直线过点(x，y)，所以42＝9.4×3.5＋a^.解得a^＝9.1.故回归方程为y^＝9.4x＋9.1.所以当x＝6时，y^＝6×9.4＋9.1＝65.5.8．根据如下样本数据得到的回归方程为y^＝b^x＋a^，则()x345678y4.02.