2020版高考数学大一轮复习 第八章 立体几何与空间向量 8.7 立体几何中的向量方法(一)——证明

1§8.7立体几何中的向量方法(一)——证明平行与垂直最新考纲考情考向分析1.理解直线的方向向量及平面的法向量.2.能用向量语言表述线线、线面、面面的平行和垂直关系.3.能用向量方法证明立体几何中有关线面位置关系的一些简单定理.利用空间向量证明空间中的位置关系是近几年高考重点考查的内容，涉及直线的方向向量，平面的法向量及空间直线、平面之间位置关系的向量表示等内容.以解答题为主，主要考查空间直角坐标系的建立及空间向量坐标的运算能力及应用能力，有时也以探索论证题的形式出现.1.用向量表示直线或点在直线上的位置(1)给定一个定点A和一个向量a，再任给一个实数t，以A为起点作向量AP→＝ta，则此向量方程叫做直线l以t为参数的参数方程.向量a称为该直线的方向向量.(2)对空间任一确定的点O，点P在直线l上的充要条件是存在唯一的实数t，满足等式OP→＝(1－t)OA→＋tOB→，叫做空间直线的向量参数方程.2.用向量证明空间中的平行关系(1)设直线l1和l2的方向向量分别为v1和v2，则l1∥l2(或l1与l2重合)⇔v1∥v2.(2)设直线l的方向向量为v，与平面α共面的两个不共线向量v1和v2，则l∥α或l⊂α⇔存在两个实数x，y，使v＝xv1＋yv2.(3)设直线l的方向向量为v，平面α的法向量为u，则l∥α或l⊂α⇔v⊥u.(4)设平面α和β的法向量分别为u1，u2，则α∥β⇔u1∥u2.3.用向量证明空间中的垂直关系(1)设直线l1和l2的方向向量分别为v1和v2，则l1⊥l2⇔v1⊥v2⇔v1·v2＝0.(2)设直线l的方向向量为v，平面α的法向量为u，则l⊥α⇔v∥u.(3)设平面α和β的法向量分别为u1和u2，则α⊥β⇔u1⊥u2⇔u1·u2＝0.2概念方法微思考1.直线的方向向量如何确定？提示l是空间一直线，A，B是l上任意两点，则AB→及与AB→平行的非零向量均为直线l的方向向量.2.如何确定平面的法向量？提示设a，b是平面α内两不共线向量，n为平面α的法向量，则求法向量的方程组为n·a＝0，n·b＝0.题组一思考辨析1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)直线的方向向量是唯一确定的.(×)(2)平面的单位法向量是唯一确定的.(×)(3)若两平面的法向量平行，则两平面平行.(√)(4)若两直线的方向向量不平行，则两直线不平行.(√)(5)若a∥b，则a所在直线与b所在直线平行.(×)(6)若空间向量a平行于平面α，则a所在直线与平面α平行.(×)题组二教材改编2.设u，v分别是平面α，β的法向量，u＝(－2,2,5)，当v＝(3，－2,2)时，α与β的位置关系为__________；当v＝(4，－4，－10)时，α与β的位置关系为________.答案α⊥βα∥β解析当v＝(3，－2,2)时，u·v＝(－2,2,5)·(3，－2,2)＝0⇒α⊥β.当v＝(4，－4，－10)时，v＝－2u⇒α∥β.3.如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，O是底面正方形ABCD的中心，M是D1D的中点，N是A1B1的中点，则直线ON，AM的位置关系是________.答案垂直解析以A为原点，分别以AB→，AD→，AA1→所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，如图所3示.设正方体的棱长为1，则A(0,0,0)，M0，1，12，O12，12，0，N12，0，1，AM→·ON→＝0，1，12·0，－12，1＝0，∴ON与AM垂直.题组三易错自纠4.直线l的方向向量a＝(1，－3,5)，平面α的法向量n＝(－1,3，－5)，则有()A.l∥αB.l⊥αC.l与α斜交D.l⊂α或l∥α答案B解析由a＝－n知，n∥a，则有l⊥α，故选B.5.已知平面α，β的法向量分别为n1＝(2,3,5)，n2＝(－3，1，－4)，则()A.α∥βB.α⊥βC.α，β相交但不垂直D.以上均不对答案C解析∵n1≠λn2，且n1·n2＝2×(－3)＋3×1＋5×(－4)＝－23≠0，∴α，β既不平行，也不垂直.6.已知A(1,0,0)，B(0,1,0)，C(0,0,1)，则下列向量是平面ABC法向量的是()A.(－1,1,1)B.(1，－1,1)C.－33，－33，－33D.33，33，－33答案C解析设n＝(x，y，z)为平面ABC的法向量，AB→＝(－1,1,0)，AC→＝(－1,0,1)，则n·AB→＝0，n·AC→＝0，化简得－x＋y＝0，－x＋z＝0，∴x＝y＝z.故选C.4题型一利用空间向量证明平行问题例1如图所示，平面PAD⊥平面ABCD，ABCD为正方形，△PAD是直角三角形，且PA＝AD＝2，E，F，G分别是线段PA，PD，CD的中点.求证：PB∥平面EFG.证明∵平面PAD⊥平面ABCD，ABCD为正方形，△PAD是直角三角形，且PA＝AD，∴AB，AP，AD两两垂直，以A为坐标原点，AB，AD，AP所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系Axyz，则A(0,0,0)，B(2，0,0)，C(2,2,0)，D(0,2,0)，P(0，0,2)，E(0,0,1)，F(0,1,1)，G(1，2,0).∴PB→＝(2,0，－2)，FE→＝(0，－1,0)，FG→＝(1,1，－1)，设PB→＝sFE→＋tFG→，即(2,0，－2)＝s(0，－1,0)＋t(1,1，－1)，∴t＝2，t－s＝0，－t＝－2，解得s＝t＝2，∴PB→＝2FE→＋2FG→，又∵FE→与FG→不共线，∴PB→，FE→与FG→共面.∵PB⊄平面EFG，∴PB∥平面EFG.引申探究若本例中条件不变，证明平面EFG∥平面PBC.证明∵EF→＝(0,1,0)，BC→＝(0,2,0)，∴BC→＝2EF→，∴BC∥EF.又∵EF⊄平面PBC，BC⊂平面PBC，∴EF∥平面PBC，5同理可证GF∥PC，从而得出GF∥平面PBC.又EF∩GF＝F，EF，GF⊂平面EFG，∴平面EFG∥平面PBC.思维升华利用空间向量证明平行的方法线线平行证明两直线的方向向量共线线面平行①证明该直线的方向向量与平面的某一法向量垂直；②证明直线的方向向量与平面内某直线的方向向量平行面面平行①证明两平面的法向量为共线向量；②转化为线面平行、线线平行问题跟踪训练1如图，在三棱锥PABC中，PA⊥底面ABC，∠BAC＝90°.点D，E，N分别为棱PA，PC，BC的中点，M是线段AD的中点，PA＝AC＝4，AB＝2.求证：MN∥平面BDE.证明如图，以A为原点，分别以AB→，AC→，AP→的方向为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系.由题意，可得A(0,0,0)，B(2,0,0)，C(0,4,0)，P(0，0,4)，D(0,0,2)，E(0,2,2)，M(0,0,1)，N(1,2,0).DE→＝(0,2,0)，DB→＝(2,0，－2).设n＝(x，y，z)为平面BDE的一个法向量，则n·DE→＝0，n·DB→＝0，即2y＝0，2x－2z＝0.不妨设z＝1，可得n＝(1,0,1).又MN→＝(1,2，－1)，可得MN→·n＝0.因为MN⊄平面BDE，所以MN∥平面BDE.6题型二利用空间向量证明垂直问题命题点1证明线面垂直例2如图所示，正三棱柱(底面为正三角形的直三棱柱)ABC—A1B1C1的所有棱长都为2，D为CC1的中点.求证：AB1⊥平面A1BD.证明方法一设平面A1BD内的任意一条直线m的方向向量为m.由共面向量定理，则存在实数λ，μ，使m＝λBA1→＋μBD→.令BB1→＝a，BC→＝b，BA→＝c，显然它们不共面，并且|a|＝|b|＝|c|＝2，a·b＝a·c＝0，b·c＝2，以它们为空间的一个基底，则BA1→＝a＋c，BD→＝12a＋b，AB1→＝a－c，m＝λBA1→＋μBD→＝λ＋12μa＋μb＋λc，AB1→·m＝(a－c)·λ＋12μa＋μb＋λc＝4λ＋12μ－2μ－4λ＝0.故AB1→⊥m，结论得证.方法二取BC的中点O，连接AO.因为△ABC为正三角形，所以AO⊥BC.因为在正三棱柱ABC—A1B1C1中，平面ABC⊥平面BCC1B1，且平面ABC∩平面BCC1B1＝BC，AO⊂平面ABC，所以AO⊥平面BCC1B1.取B1C1的中点O1，以O为原点，分别以OB，OO1，OA所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，如图所示，7则B(1,0,0)，D(－1,1,0)，A1(0,2，3)，A(0,0，3)，B1(1,2,0).设平面A1BD的一个法向量为n＝(x，y，z)，BA1→＝(－1,2，3)，BD→＝(－2,1,0).因为n⊥BA1→，n⊥BD→，故n·BA1→＝0，n·BD→＝0，即－x＋2y＋3z＝0，－2x＋y＝0，令x＝1，则y＝2，z＝－3，故n＝(1,2，－3)为平面A1BD的一个法向量，而AB1→＝(1,2，－3)，所以AB1→＝n，所以AB1→∥n，故AB1⊥平面A1BD.命题点2证明面面垂直例3如图，已知AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，△ACD为等边三角形，AD＝DE＝2AB.求证：平面BCE⊥平面CDE.证明设AD＝DE＝2AB＝2a，以A为原点，分别以AC，AB所在直线为x轴，z轴，以过点A垂直于AC的直线为y轴，建立如图所示的空间直角坐标系Axyz，则A(0,0,0)，C(2a,0,0)，B(0,0，a)，D(a，3a,0)，E(a，3a,2a).所以BE→＝(a，3a，a)，BC→＝(2a,0，－a)，CD→＝(－a，3a,0)，ED→＝(0,0，－2a).设平面BCE的法向量为n1＝(x1，y1，z1)，由n1·BE→＝0，n1·BC→＝0可得8ax1＋3ay1＋az1＝0，2ax1－az1＝0，即x1＋3y1＋z1＝0，2x1－z1＝0.令z1＝2，可得n1＝(1，－3，2).设平面CDE的法向量为n2＝(x2，y2，z2)，由n2·CD→＝0，n2·ED→＝0可得－ax2＋3ay2＝0，－2az2＝0，即－x2＋3y2＝0，z2＝0.令y2＝1，可得n2＝(3，1,0).因为n1·n2＝1×3＋1×(－3)＋2×0＝0.所以n1⊥n2，所以平面BCE⊥平面CDE.思维升华利用空间向量证明垂直的方法线线垂直证明两直线所在的方向向量互相垂直，即证它们的数量积为零线面垂直证明直线的方向向量与平面的法向量共线，或将线面垂直的判定定理用向量表示面面垂直证明两个平面的法向量垂直，或将面面垂直的判定定理用向量表示跟踪训练2如图所示，已知四棱锥P—ABCD的底面是直角梯形，∠ABC＝∠BCD＝90°，AB＝BC＝PB＝PC＝2CD，侧面PBC⊥底面ABCD.证明：(1)PA⊥BD；(2)平面PAD⊥平面PAB.证明(1)取BC的中点O，连接PO，∵平面PBC⊥底面ABCD，△PBC为等边三角形，9平面PBC∩底面ABCD＝BC，PO⊂平面PBC，∴PO⊥底面ABCD.以BC的中点O为坐标原点，以BC所在直线为x轴，过点O与AB平行的直线为y轴，OP所在直线为z轴，建立空间直角坐标系，如图所示.不妨设CD＝1，则AB＝BC＝2，PO＝3，∴A(1，－2,0)，B(1,0,0)，D(－1，－1,0)，P(0,0，3)，∴BD→＝(－2，－1,0)，PA→＝(1，－2，－3).∵BD→·PA→＝(－2)×1＋(－1)×(－2)＋0×(－3)＝0，∴PA→⊥BD→，∴PA⊥BD.(2)取PA的中点M，连接DM，则M12，－1，32.∵DM→＝32，0，32，PB→＝(1,0，－3)，∴DM→·PB→＝32×1＋0×0＋32×(－3)＝0，∴DM→⊥PB→，即DM⊥PB.∵DM→·PA→＝32×1＋0×(－2)＋32×(－3)＝0，∴DM→⊥PA→，即D