2020版高考数学大一轮复习 第七章 不等式、推理与证明 7.4 二元一次不等式(组)与简单的线性规

1§7.4二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题最新考纲考情考向分析1.会从实际情境中抽象出二元一次不等式组.2.了解二元一次不等式的几何意义，能用平面区域表示二元一次不等式组.3.会从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并能加以解决.以线性、非线性目标函数最值的求法为主，兼顾由最优解(可行域)情况确定参数的范围，以及简单线性规划问题的实际应用，加强转化与化归和数形结合思想的应用意识.在高考中以选择、填空题的形式进行考查，难度为中低档.1.二元一次不等式(组)表示的平面区域不等式表示区域Ax＋By＋C0直线Ax＋By＋C＝0某一侧的所有点组成的平面区域不包括边界直线Ax＋By＋C≥0包括边界直线不等式组各个不等式所表示平面区域的公共部分2.线性规划中的基本概念名称意义约束条件由变量x，y组成的不等式(组)线性约束条件由x，y的一次不等式(或方程)组成的不等式组目标函数要求最大值或最小值的函数线性目标函数关于x，y的一次解析式可行解满足线性约束条件的解(x，y)可行域所有可行解组成的集合最优解使目标函数取得最大值或最小值的可行解线性规划问题在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小值问题2概念方法微思考1.不等式x≥0表示的平面区域是什么？提示不等式x≥0表示的区域是y轴的右侧(包括y轴).2.可行解一定是最优解吗？二者有何关系？提示不一定.最优解是可行解中的一个或多个.最优解必定是可行解，但可行解不一定是最优解，最优解不一定唯一.题组一思考辨析1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)二元一次不等式组所表示的平面区域是各个不等式所表示的平面区域的交集.(√)(2)不等式Ax＋By＋C0表示的平面区域一定在直线Ax＋By＋C＝0的上方.(×)(3)点(x1，y1)，(x2，y2)在直线Ax＋By＋C＝0同侧的充要条件是(Ax1＋By1＋C)(Ax2＋By2＋C)0，异侧的充要条件是(Ax1＋By1＋C)(Ax2＋By2＋C)0.(√)(4)第二、四象限表示的平面区域可以用不等式xy0表示.(√)(5)最优解指的是使目标函数取得最大值或最小值的可行解.(√)(6)目标函数z＝ax＋by(b≠0)中，z的几何意义是直线ax＋by－z＝0在y轴上的截距.(×)题组二教材改编2.不等式组x－3y＋6≥0，x－y＋20表示的平面区域是()答案B解析x－3y＋6≥0表示直线x－3y＋6＝0及其右下方部分，x－y＋20表示直线x－y＋2＝0的左上方部分，故不等式组表示的平面区域为选项B中的阴影部分.3.投资生产A产品时，每生产100吨需要资金200万元，需场地200平方米；投资生产B产品时，每生产100吨需要资金300万元，需场地100平方米.现某单位可使用资金1400万元，3场地900平方米，则上述要求可用不等式组表示为__________________.(用x，y分别表示生产A，B产品的吨数，x和y的单位是百吨)答案200x＋300y≤1400，200x＋100y≤900，x≥0，y≥0解析用表格列出各数据AB总数产品吨数xy资金200x300y1400场地200x100y900所以不难看出，x≥0，y≥0，200x＋300y≤1400，200x＋100y≤900.题组三易错自纠4.下列各点中，不在x＋y－1≤0表示的平面区域内的是()A.(0,0)B.(－1,1)C.(－1,3)D.(2，－3)答案C解析把各点的坐标代入可得(－1,3)不适合，故选C.5.(2018·全国Ⅰ)若x，y满足约束条件x－2y－2≤0，x－y＋1≥0，y≤0，则z＝3x＋2y的最大值为________.答案6解析作出满足约束条件的可行域如图阴影部分(包括边界)所示.由z＝3x＋2y，得y＝－32x＋z2.作直线l0：y＝－32x，平移直线l0，当直线y＝－32x＋z2过点(2,0)时，z取最大值，zmax＝3×2＋2×0＝6.46.已知x，y满足x－y＋5≥0，x＋y≥0，x≤3，若使得z＝ax＋y取最大值的点(x，y)有无数个，则a的值为________.答案－1解析先根据约束条件画出可行域，如图中阴影部分(含边界)所示，当直线z＝ax＋y和直线AB重合时，z取得最大值的点(x，y)有无数个，∴－a＝kAB＝1，∴a＝－1.题型一二元一次不等式(组)表示的平面区域命题点1不含参数的平面区域问题例1在平面直角坐标系中，不等式组3x－y≤0，x－3y＋2≥0，y≥0表示的平面区域的面积是()A.32B.3C.2D.23答案B解析作出不等式组表示的平面区域是以点O(0,0)，B(－2，0)和A(1，3)为顶点的三角形区域，如图所示的阴影部分(含边界)，5由图知该平面区域的面积为12×2×3＝3，故选B.命题点2含参数的平面区域问题例2若不等式组x－y≥0，2x＋y≤2，y≥0，x＋y≤a表示的平面区域的形状是三角形，则a的取值范围是()A.a≥43B.0a≤1C.1≤a≤43D.0a≤1或a≥43答案D解析作出不等式组x－y≥0，2x＋y≤2，y≥0表示的平面区域(如图中阴影部分所示).由图知，要使原不等式组表示的平面区域的形状为三角形，只需动直线l：x＋y＝a在l1，l2之间(包含l2，不包含l1)或l3上方(包含l3).思维升华平面区域的形状问题主要有两种题型：(1)确定平面区域的形状，求解时先画满足条件的平面区域，然后判断其形状；(2)根据平面区域的形状求解参数问题，求解时通常先画满足条件的平面区域，但要注意对参数进行必要的讨论.跟踪训练1(1)不等式组x＋y－2≥0，x≤4，y≤5表示的平面区域的形状为()A.等边三角形B.梯形C.等腰直角三角形D.正方形答案C解析作出不等式组表示的平面区域，如图所示，易知平面区域的形状为等腰直角三角形(阴6影部分，含边界).(2)已知由不等式组x≤0，y≥0，y－kx≤2，y－x－4≤0确定的平面区域Ω的面积为7，则k的值为()A.－3B.－1C.3D.1答案B解析作出不等式组x≤0，y≥0，y－x－4≤0所表示的平面区域，如图阴影部分(含边界)所示，可知该区域是等腰直角三角形且面积为8.由于直线y＝kx＋2恒过点B(0,2)，且原点的坐标恒满足y－kx≤2，当k＝0时，y≤2，此时平面区域Ω的面积为6，由于67，由此可得k0.由y－kx＝2，y－x－4＝0，可得D2k－1，4k－2k－1，依题意应有12×2×2k－1＝1，解得k＝－1或k＝3(舍去)，故选B.题型二求目标函数的最值问题命题点1求线性目标函数的最值7例3(2018·全国Ⅱ)若x，y满足约束条件x＋2y－5≥0，x－2y＋3≥0，x－5≤0，则z＝x＋y的最大值为________.答案9解析由不等式组画出可行域如图阴影部分(含边界).目标函数x＋y取得最大值⇔斜率为－1的直线x＋y＝z(z看作常数)在y轴上的截距最大，由图可得当直线x＋y＝z过点C时，z取得最大值.由x＝5，x－2y＋3＝0，得点C(5,4)，∴zmax＝5＋4＝9.命题点2求非线性目标函数的最值例4已知实数x，y满足x－y＋1≤0，x＋2y－8≤0，x≥1，则z＝yx＋2的取值范围是________.答案23，76解析作出不等式组x－y＋1≤0，x＋2y－8≤0，x≥1表示的平面区域如图中阴影部分所示，这是一个三角形区域(包含边界)，三角形的三个顶点的坐标分别为B(1,2)，C1，72，D(2,3)，yx＋2的几何意义是可行域内任一点(x，y)与点(－2,0)连线的斜率，记P(－2,0)，连接PB，PC，由于直线PB的斜率为23，直线PC的斜率为76，由图可知z＝yx＋2的取值范围是23，76.命题点3求参数值或取值范围8例5(2018·鞍山模拟)已知实数x，y满足y≥1，y≤2x－1，x＋y≤m，如果目标函数z＝x－y的最小值为－1，则实数m等于()A.7B.5C.4D.1答案B解析绘制不等式组表示的平面区域如图阴影部分所示(含边界)，联立直线方程y＝2x－1，y＝－x＋m，可得交点坐标为Am＋13，2m－13，由目标函数的几何意义可知目标函数在点A处取得最小值，所以m＋13－2m－13＝－1，解得m＝5.故选B.思维升华常见的三类目标函数(1)截距型：形如z＝ax＋by.(2)距离型：形如z＝(x－a)2＋(y－b)2.(3)斜率型：形如z＝y－bx－a.跟踪训练2(1)(2019·辽阳适应性考试)若实数x，y满足约束条件x－y≥0，x＋y＋1≥0，x－3≤0，则z＝2x－y的最大值为()A.3B.6C.10D.12答案C解析先根据约束条件画出可行域，如图阴影部分所示(含边界)，9将z＝2x－y的最大值转化为直线y＝2x－z在y轴上截距的最小值.当直线y＝2x－z经过点A时，z最大，又A(3，－4)，故z的最大值为10.(2)(2019·呼伦贝尔模拟)已知x，y满足x＋y≥1，mx－y≤0，3x－2y＋2≥0且z＝3x－y的最大值为2，则实数m的值为()A.13B.23C.1D.2答案D解析由约束条件x＋y≥1，mx－y≤0，3x－2y＋2≥0作出可行域(图略)，z＝3x－y的最大值为2，联立3x－2y＋2＝0，3x－y＝2，解得A(2,4)，化目标函数z＝3x－y为y＝3x－z，可知，直线mx－y＝0必须过点A，可得2m－4＝0，解得m＝2.故选D.(3)(2019·海南五校模拟)已知实数x，y满足不等式组x＋y≤2，x－y≥－2，y≥1，则(x－3)2＋(y＋2)2的最小值为________.答案13解析画出不等式组x＋y≤2，x－y≥－2，y≥1表示的平面区域(图略)，易知(x－3)2＋(y＋2)2表示可行域内的点(x，y)与(3，－2)两点间距离的平方，通过数形结合可知，当(x，y)为直线x＋y＝2与y＝1的交点(1,1)时，(x－3)2＋(y＋2)2取得最小值，10最小值为13.1.设点(x，y)满足约束条件x－y＋3≥0，x－5y－1≤0，3x＋y－3≤0，且x∈Z，y∈Z，则这样的点共有()A.12个B.11个C.10个D.9个答案A解析画出x－y＋3≥0，x－5y－1≤0，3x＋y－3≤0表示的可行域如图阴影部分所示(含边界)，由图可知，满足x∈Z，y∈Z的(x，y)为(－4，－1)，(－3,0)，(－2,1)，(－2,0)，(－1,0)，(－1,1)，(－1,2)，(0,0)，(0,1)，(0,2)，(0,3)，(1,0)，共12个，故选A.2.若变量x，y满足约束条件y≤1，x＋y≥0，x－y－2≤0，则z＝x－2y的最大值为()A.4B.3C.2D.1答案B解析方法一由约束条件可知可行域的边界分别为直线y＝1，x＋y＝0，x－y－2＝0，则边界的交点分别为(－1,1)，(3,1)，(1，－1)，分别代入z＝x－2y，得对应的z分别为－3,1,3，可得z的最大值为3，故选B.方法二作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示(含边界)，11作出直线x－2y＝0并平移，由图可知，当直线过点(1，－1)时，z取得最大值，即zmax＝1－2×(－1)＝3，故选B.3.设约束条件y≤x＋1，y≤－x＋5，y≥－12x＋2，则y＋1x的最大值为()A.12B.1C.2D.4答案D解析作出可行域如图阴影部分所示(含边界)，则y＋1x表示可行域内的点(x，y)和(0，－1)连线的斜率，由图可知，可行域中的点23，53和(0，－1)连线的斜率最大，最大值为4，故选D.4.若不等式组x＋y－2≤0，x＋2y－2≥0，x－y＋2m≥0表示的平面区域为三角形且其