搜索
1§8.2直线、平面平行的判定与性质考情考向分析直线、平面平行的判定及其性质是高考中的重点考查内容，涉及线线平行、线面平行、面面平行的判定及其应用等内容．题型主要以解答题的形式出现，解题要求有较强的推理论证能力，广泛应用转化与化归的思想．1．线面平行的判定定理和性质定理文字语言图形语言符号语言判定定理如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行(简记为“线线平行⇒线面平行”)错误!⇒l∥α性质定理如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线就和交线平行(简记为“线面平行⇒线线平行”)错误!⇒l∥b2.面面平行的判定定理和性质定理文字语言图形语言符号语言判定定理如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行(简记为“线面平行⇒面面平行”)错误!⇒α∥β性质定理如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么所得的两条交线平行错误!⇒a∥b概念方法微思考21．一条直线与一个平面平行，那么它与平面内的所有直线都平行吗？提示不都平行．该平面内的直线有两类，一类与该直线平行，一类与该直线异面．2．一个平面内的两条相交直线与另一个平面内的两条相交直线分别对应平行，那么这两个平面平行吗？提示平行．可以转化为“一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行”，这就是面面平行的判定定理．题组一思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)若一条直线平行于一个平面内的一条直线，则这条直线平行于这个平面．(×)(2)平行于同一条直线的两个平面平行．(×)(3)如果一个平面内的两条直线平行于另一个平面，那么这两个平面平行．(×)(4)如果两个平面平行，那么分别在这两个平面内的两条直线平行或异面．(√)(5)若直线a与平面α内无数条直线平行，则a∥α.(×)题组二教材改编2．[P44习题T1]下面给出了几个结论：①若一个平面内的一条直线平行于另一个平面，则这两个平面平行；②若一个平面内任何一条直线都平行于另一个平面，则这两个平面平行；③若两个平面没有公共点，则这两个平面平行；④平行于同一条直线的两个平面必平行．其中，结论正确的是________．(请把正确结论的序号都填上)答案②③解析①错误，若一个平面内的一条直线平行于另一个平面，则这两个平面平行或相交．②正确，任何直线包括两条相交直线，故能判定两平面平行．③正确，由面面平行的定义可得知．④错误，平行于同一条直线的两个平面平行或相交．3．[P36习题T3]如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为DD1的中点，则BD1与平面ACE的位置关系为________．答案平行3解析连结BD，设BD∩AC＝O，连结EO，在△BDD1中，E为DD1的中点，O为BD的中点，所以EO为△BDD1的中位线，则BD1∥EO，而BD1⊄平面ACE，EO⊂平面ACE，所以BD1∥平面ACE.题组三易错自纠4．(2018·盐城模拟)已知α，β为两个不同的平面，m，n为两条不同的直线，下列命题中正确的是________．(填上所有正确命题的序号)①若α∥β，m⊂α，则m∥β；②若m∥α，n⊂α，则m∥n；③若α⊥β，α∩β＝n，m⊥n，则m⊥β.答案①解析①这是面面平行的性质，正确；②只能确定m，n没有公共点，有可能异面，错误；③当m⊂α时，才能保证m⊥β，错误．5.如图是长方体被一平面所截得的几何体，四边形EFGH为截面，则四边形EFGH的形状为________．答案平行四边形解析∵平面ABFE∥平面DCGH，又平面EFGH∩平面ABFE＝EF，平面EFGH∩平面DCGH＝HG，∴EF∥HG.同理EH∥FG，∴四边形EFGH是平行四边形．4题型一直线与平面平行的判定与性质命题点1直线与平面平行的判定例1如图，在几何体ABCDE中，四边形ABCD是矩形，AB⊥平面BEC，BE⊥EC，AB＝BE＝EC＝2，G，F分别是线段BE，DC的中点．求证：GF∥平面ADE.证明方法一如图，取AE的中点H，连结HG，HD，又G是BE的中点，所以GH∥AB，且GH＝12AB.又F是CD的中点，所以DF＝12CD.由四边形ABCD是矩形得AB∥CD，AB＝CD，所以GH∥DF，且GH＝DF，从而四边形HGFD是平行四边形，所以GF∥DH.又DH⊂平面ADE，GF⊄平面ADE，所以GF∥平面ADE.方法二如图，取AB的中点M，连结MG，MF.5又G是BE的中点，可知GM∥AE.又AE⊂平面ADE，GM⊄平面ADE，所以GM∥平面ADE.在矩形ABCD中，由M，F分别是AB，CD的中点得MF∥AD.又AD⊂平面ADE，MF⊄平面ADE.所以MF∥平面ADE.又因为GM∩MF＝M，GM⊂平面GMF，MF⊂平面GMF，所以平面GMF∥平面ADE.因为GF⊂平面GMF，所以GF∥平面ADE.命题点2直线与平面平行的性质例2在如图所示的几何体中，四边形ABCD是正方形，PA⊥平面ABCD，E，F分别是线段AD，PB的中点，PA＝AB＝1.(1)证明：EF∥平面PDC；(2)求点F到平面PDC的距离．(1)证明取PC的中点M，连结DM，MF，∵M，F分别是PC，PB的中点，∴MF∥CB，MF＝12CB，∵E为DA的中点，四边形ABCD为正方形，6∴DE∥CB，DE＝12CB，∴MF∥DE，MF＝DE，∴四边形DEFM为平行四边形，∴EF∥DM，∵EF⊄平面PDC，DM⊂平面PDC，∴EF∥平面PDC.(2)解∵EF∥平面PDC，∴点F到平面PDC的距离等于点E到平面PDC的距离．∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥DA，在Rt△PAD中，PA＝AD＝1，∴DP＝2，∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥CB，∵CB⊥AB，PA∩AB＝A，PA，AB⊂平面PAB，∴CB⊥平面PAB，∴CB⊥PB，则PC＝3，∴PD2＋DC2＝PC2，∴△PDC为直角三角形，其中PD⊥CD，∴S△PDC＝12×1×2＝22，连结EP，EC，易知VE－PDC＝VC－PDE，设E到平面PDC的距离为h，∵CD⊥AD，CD⊥PA，AD∩PA＝A，AD，PA⊂平面PAD，∴CD⊥平面PAD，则13×h×22＝13×1×12×12×1，∴h＝24，∴F到平面PDC的距离为24.思维升华判断或证明线面平行的常用方法(1)利用线面平行的定义(无公共点)．(2)利用线面平行的判定定理(a⊄α，b⊂α，a∥b⇒a∥α)．(3)利用面面平行的性质(α∥β，a⊂α⇒a∥β)．(4)利用面面平行的性质(α∥β，a⊄β，a∥α⇒a∥β)．跟踪训练1如图，在四棱锥P－ABCD中，平面PAC⊥平面ABCD，且PA⊥AC，PA＝AD＝2，四边形ABCD满足BC∥AD，AB⊥AD，AB＝BC＝1.点E，F分别为侧棱PB，PC上的点，且PEPB＝PFPC＝λ(λ≠0)．7(1)求证：EF∥平面PAD；(2)当λ＝12时，求点D到平面AFB的距离．(1)证明∵PEPB＝PFPC＝λ(λ≠0)，∴EF∥BC.∵BC∥AD，∴EF∥AD.又EF⊄平面PAD，AD⊂平面PAD，∴EF∥平面PAD.(2)解∵λ＝12，∴F是PC的中点，在Rt△PAC中，PA＝2，AC＝2，∴PC＝PA2＋AC2＝6，∴PF＝12PC＝62.∵平面PAC⊥平面ABCD，且平面PAC∩平面ABCD＝AC，PA⊥AC，PA⊂平面PAC，∴PA⊥平面ABCD，∴PA⊥BC.又AB⊥AD，BC∥AD，∴BC⊥AB，又PA∩AB＝A，PA，AB⊂平面PAB，∴BC⊥平面PAB，∴BC⊥PB，∴在Rt△PBC中，BF＝12PC＝62.连结BD，DF，设点D到平面AFB的距离为d，在等腰三角形BAF中，BF＝AF＝62，AB＝1，∴S△ABF＝54，8又S△ABD＝1，点F到平面ABD的距离为1，∴由VF－ABD＝VD－AFB，得13×1×1＝13×d×54，解得d＝455，即点D到平面AFB的距离为455.题型二平面与平面平行的判定与性质例3如图所示，在三棱柱ABC－A1B1C1中，E，F，G，H分别是AB，AC，A1B1，A1C1的中点，求证：(1)B，C，H，G四点共面；(2)平面EFA1∥平面BCHG.证明(1)∵G，H分别是A1B1，A1C1的中点，∴GH是△A1B1C1的中位线，∴GH∥B1C1.又∵B1C1∥BC，∴GH∥BC，∴B，C，H，G四点共面．(2)∵E，F分别是AB，AC的中点，∴EF∥BC.∵EF⊄平面BCHG，BC⊂平面BCHG，∴EF∥平面BCHG.又G，E分别为A1B1，AB的中点，A1B1∥AB且A1B1＝AB，∴A1G∥EB，A1G＝EB，∴四边形A1EBG是平行四边形，∴A1E∥GB.又∵A1E⊄平面BCHG，GB⊂平面BCHG，∴A1E∥平面BCHG.又∵A1E∩EF＝E，A1E，EF⊂平面EFA1，∴平面EFA1∥平面BCHG.9引申探究1．在本例中，若将条件“E，F，G，H分别是AB，AC，A1B1，A1C1的中点”变为“D1，D分别为B1C1，BC的中点”，求证：平面A1BD1∥平面AC1D.证明如图所示，连结A1C，AC1，交于点M，∵四边形A1ACC1是平行四边形，∴M是A1C的中点，连结MD，∵D为BC的中点，∴A1B∥DM.∵A1B⊂平面A1BD1，DM⊄平面A1BD1，∴DM∥平面A1BD1，又由三棱柱的性质知，D1C1∥BD且D1C1＝BD，∴四边形BDC1D1为平行四边形，∴DC1∥BD1.又DC1⊄平面A1BD1，BD1⊂平面A1BD1，∴DC1∥平面A1BD1，又DC1∩DM＝D，DC1，DM⊂平面AC1D，因此平面A1BD1∥平面AC1D.2．在本例中，若将条件“E，F，G，H分别是AB，AC，A1B1，A1C1的中点”变为“点D，D1分别是AC，A1C1上的点，且平面BC1D∥平面AB1D1”，试求ADDC的值．解连结A1B，AB1，交于点O，连结OD1.由平面BC1D∥平面AB1D1，且平面A1BC1∩平面BC1D＝BC1，平面A1BC1∩平面AB1D1＝D1O，10所以BC1∥D1O，则A1D1D1C1＝A1OOB＝1.同理，AD1∥C1D，又AD∥C1D1，所以四边形ADC1D1是平行四边形，所以AD＝D1C1，又AC＝A1C1，所以A1D1D1C1＝DCAD，所以DCAD＝1，即ADDC＝1.思维升华证明面面平行的方法(1)面面平行的定义．(2)面面平行的判定定理．(3)垂直于同一条直线的两个平面平行．(4)两个平面同时平行于第三个平面，那么这两个平面平行．(5)利用“线线平行”、“线面平行”、“面面平行”的相互转化．跟踪训练2如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD是正方形，BF⊥平面ABCD，DE⊥平面ABCD，BF＝DE，M为棱AE的中点．(1)求证：平面BDM∥平面EFC；(2)若AB＝1，BF＝2，求三棱锥A－CEF的体积．(1)证明如图，设AC与BD交于点N，则N为AC的中点，连结MN，又M为棱AE的中点，∴MN∥EC.∵MN⊄平面EFC，EC⊂平面EFC，∴MN∥平面EFC.∵BF⊥平面ABCD，DE⊥平面ABCD，且BF＝DE，∴BF∥DE且BF＝DE，11∴四边形BDEF为平行四边形，∴BD∥EF.∵BD⊄平面EFC，EF⊂平面EFC，∴BD∥平面EFC.又MN∩BD＝N，MN，BD⊂平面BDM，∴平面BDM∥平面EFC.(2)解连结EN，FN.在正方形ABCD中，AC⊥BD，又BF⊥平面ABCD，∴BF⊥AC.又BF∩BD＝B，BF，BD⊂平面BDEF，∴AC⊥平面BDEF，又N是AC的中点，∴V三棱锥A－NEF＝V三棱锥C－NEF，∴V三棱锥A－CEF＝2V三棱锥A－NEF＝2×13×AN×S△NEF＝2×13×22×12×2×2＝23，∴三棱锥A－CEF的体积为23.题型三平行关系的综合应用例4如图所示，四边形EFGH为空间四边形ABCD的一个截面，若截面为平行四边形．(1)求证：AB∥平面EFGH，CD∥平面EFGH；(2)若AB＝4，CD＝6，求四边形