1§10.3用样本估计总体考情考向分析主要考查平均数、方差的计算以及茎叶图与频率分布直方图的简单应用;题型以填空题为主,难度为中低档题.1.作频率分布直方图的步骤(1)求极差(即一组数据中最大值与最小值的差).(2)决定组距与组数.(3)将数据分组.(4)列频率分布表.(5)画频率分布直方图.2.频率分布折线图和总体密度曲线(1)频率分布折线图:如果将频率分布直方图中各个相邻的矩形的上底边的中点顺次连结起来,那么就得到频率分布折线图.(2)总体分布的密度曲线:如果将样本容量取得足够大,分组的组距取得足够小,那么相应的频率折线图将趋于一条光滑曲线,我们称这条光滑曲线为总体分布的密度曲线.3.茎叶图统计中还有一种被用来表示数据的图叫做茎叶图,茎是指中间的一列数,叶就是从茎的旁边生长出来的数.4.标准差和方差(1)标准差是样本数据到平均数的一种平均距离.(2)标准差:s=1n[x1-x2+x2-x2+…+xn-x2].(3)方差:s2=1n[(x1-x)2+(x2-x)2+…+(xn-x)2](xn是样本数据,n是样本容量,x是样本平均数).2概念方法微思考1.在频率分布直方图中如何确定中位数?提示在频率分布直方图中,中位数左边和右边的直方图的面积是相等的.2.平均数、标准差与方差反映了数据的哪些特征?提示平均数反映了数据取值的平均水平,标准差、方差反映了数据对平均数的波动情况,即标准差、方差越大,数据的离散程度越大,越不稳定;反之离散程度越小,越稳定.题组一思考辨析1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)平均数、众数与中位数从不同的角度描述了一组数据的集中趋势.(√)(2)一组数据的众数可以是一个或几个,那么中位数也具有相同的结论.(×)(3)从频率分布直方图得不出原始的数据内容,把数据表示成直方图后,原有的具体数据信息就被抹掉了.(√)(4)茎叶图一般左侧的叶按从大到小的顺序写,右侧的叶按从小到大的顺序写,相同的数据可以只记一次.(×)(5)在频率分布直方图中,最高的小长方形底边中点的横坐标是众数.(√)题组二教材改编2.[P58例4]如图是100位居民月均用水量的频率分布直方图,则月均用水量为[2,2.5)范围内的居民有________人.答案25解析0.5×0.5×100=25.3.[P56练习T3]一个容量为32的样本,已知某组样本的频率为0.25,则该组样本的频数为3________.答案8解析设频数为n,则n32=0.25,∴n=32×14=8.4.[P71练习T1]已知一组数据4.7,4.8,5.1,5.4,5.5,则该组数据的方差是________.答案0.1解析x=4.7+4.8+5.1+5.4+5.55=5.1,则该组数据的方差s2=4.7-5.12+4.8-5.12+5.1-5.12+5.4-5.12+5.5-5.125=0.1.题组三易错自纠5.(2018·徐州模拟)一组数据共40个,分为6组,第1组到第4组的频数分别为10,5,7,6,第5组的频率为0.1,则第6组的频数为________.答案8解析因为数据共40个,第5组的频率为0.1,所以第5组的频数为40×0.1=4,所以第6组的频数为40-(10+5+7+6+4)=8.6.为了普及环保知识,增强环保意识,某大学随机抽取30名学生参加环保知识测试,得分(十分制)如图所示,假设得分的中位数为m,众数为n,平均数为x,则m,n,x的大小关系为________.(用“”连接)答案nmx解析由图可知,30名学生得分的中位数为第15个数和第16个数(分别为5,6)的平均数,即m=5.5;又5出现的次数最多,故n=5;4x=2×3+3×4+10×5+6×6+3×7+2×8+2×9+2×1030≈5.97.故nmx.7.某高校调查了200名学生每周的自习时间(单位:小时),制成了如图所示的频率分布直方图,其中自习时间的范围是[17.5,30],样本数据分组为[17.5,20),[20,22.5),[22.5,25),[25,27.5),[27.5,30].根据频率分布直方图,这200名学生中每周的自习时间不少于22.5小时的人数是________.答案140解析由频率分布直方图,知200名学生每周的自习时间不少于22.5小时的频率为1-(0.02+0.10)×2.5=0.7,则这200名学生中每周的自习时间不少于22.5小时的人数为200×0.7=140.题型一茎叶图的应用1.(2018·南通模拟)如图是甲、乙两位同学在5次测试中得分的茎叶图,则成绩较稳定(方差较小)的那一位同学的方差为________.答案2解析由于甲、乙两位同学的平均数均为90,所以甲、乙两位同学的方差分别为15×(4+1+0+1+4)=2,15×(9+1+0+1+9)=42,故成绩较稳定(方差较小)的那一位同学的方差为2.2.(2018·江苏淮阴中学月考)如图所示是一次歌唱大赛上,七位评委为某选手打出的分数的茎叶图,去掉一个最高分和一个最低分后,所剩数据的平均数为85,则a2+b2的最小值是5________.答案32解析方法一根据题意,有4+a+6+b+75=5,得a+b=8,则b=8-a,a2+b2=a2+(8-a)2=2a2-16a+64,其中a,b满足0≤a≤9,0≤b≤9,即0≤a≤9,0≤8-a≤9,即0≤a≤8且a是整数,令f(a)=2a2-16a+64,显然当a=4时,f(a)取得最小值,这个最小值是32.方法二同方法一可得a+b=8,则8≥2ab,故ab≤16,而a2+b2=(a+b)2-2ab≥64-32=32,当且仅当a=b=4时等号成立.3.空气质量指数(AirQualityIndex,简称AQI)是定量描述空气质量状况的指数,空气质量按照AQI大小分为六级,0~50为优;51~100为良;101~150为轻度污染;151~200为中度污染;201~300为重度污染;大于300为严重污染.从某地一环保人士某年的AQI记录数据中,随机抽取10个,用茎叶图记录如下.根据该统计数据,估计此地该年AQI大于100的天数约为________.(该年有365天)答案146解析该样本中AQI大于100的频数是4,频率为25,由此估计该地全年AQI大于100的频率为25,估计此地该年AQI大于100的天数约为365×25=146.思维升华茎叶图的优缺点由茎叶图可以清晰地看到数据的分布情况,这一点同频率分布直方图类似.它优于频率分布直方图的第一点是从茎叶图中能看到原始数据,没有任何信息损失,第二点是茎叶图便于记录和表示.其缺点是当样本容量较大时,作图较烦琐.题型二频率分布直方图的绘制与应用6例1为了研究某药品的疗效,选取若干名志愿者进行临床试验,所有志愿者的舒张压数据(单位:kPa)的分组区间为[12,13),[13,14),[14,15),[15,16),[16,17],将其按从左到右的顺序分别编号为第一组,第二组,…,第五组,如图是根据试验数据制成的频率分布直方图.已知第一组与第二组共有20人,第三组中没有疗效的有6人,则第三组中有疗效的人数为_______.答案12解析志愿者的总人数为200.16+0.24×1=50,所以第三组人数为50×0.36=18,有疗效的人数为18-6=12.思维升华(1)准确理解频率分布直方图的数据特点,频率分布直方图中纵轴上的数据是各组的频率除以组距的结果,不要误以为纵轴上的数据是各组的频率,不要和条形图混淆.(2)在很多题目中,频率分布直方图中各小长方形的面积之和为1,是解题的关键,常利用频率分布直方图估计总体分布.跟踪训练1(1)某商场在国庆黄金周的促销活动中,对10月2日9时至14时的销售额进行统计,其频率分布直方图如图所示.已知9时至10时的销售额为2.5万元,则11时至12时的销售额为________万元.答案10解析设11时至12时的销售额为x,因为9时至10时的销售额为2.5万元,由题意得0.10.4=2.5x,得x=10.(2)某校对高三年级的学生进行体检,现将高三男生的体重(单位:kg)数据进行整理后分成六7组,并绘制频率分布直方图(如图所示).已知图中从左到右第一、第六小组的频率分别为0.16,0.07,第一、第二、第三小组的频率成等比数列,第三、第四、第五、第六小组的频率成等差数列,且第三小组的频数为100,则该校高三年级的男生总数为________.答案400解析因为第一、第二、第三小组的频率成等比数列,设公比为q,则第三小组的频率为0.16q2;又第三、第四、第五、第六小组的频率成等差数列,设公差为d,从而得第六小组的频率为0.16q2+3d=0.07.又因为六组频率之和为1,所以0.16q2+3d=0.07,0.16+0.16q+0.16q2+0.16q2+d+0.16q2+2d+0.07=1.由图知q0,d0,得q=1.25,d=-0.06,得第三小组的频率为0.25,则该校高三年级的男生总数为100÷0.25=400.题型三用样本的数字特征估计总体的数字特征例2(1)(2013·江苏)抽样统计甲、乙两位射击运动员的5次训练成绩(单位:环),结果如下:运动员第1次第2次第3次第4次第5次甲8791908993乙8990918892则成绩较为稳定(方差较小)的那位运动员成绩的方差为________.答案2解析x甲=15(87+91+90+89+93)=90,x乙=15(89+90+91+88+92)=90,s2甲=15[(87-90)2+(91-90)2+(90-90)2+(89-90)2+(93-90)2]=4,8s2乙=15[(89-90)2+(90-90)2+(91-90)2+(88-90)2+(92-90)2]=2.(2)甲、乙二人参加某体育项目训练,近期的五次测试成绩得分情况如图:①分别求出两人得分的平均数与方差;②根据图和上面算得的结果,对两人的训练成绩作出评价.解①由图象可得甲、乙两人五次测试的成绩分别为甲:10分,13分,12分,14分,16分;乙:13分,14分,12分,12分,14分.x甲=10+13+12+14+165=13;x乙=13+14+12+12+145=13,s2甲=15[(10-13)2+(13-13)2+(12-13)2+(14-13)2+(16-13)2]=4;s2乙=15[(13-13)2+(14-13)2+(12-13)2+(12-13)2+(14-13)2]=0.8.②由s2甲s2乙,可知乙的成绩较稳定.从折线图看,甲的成绩基本呈上升状态,而乙的成绩上下波动,可知甲的成绩在不断提高,而乙的成绩则无明显提高.思维升华平均数与方差都是重要的数字特征,是对总体的一种简明的描述,它们所反映的情况有着重要的实际意义,平均数、中位数、众数描述其集中趋势,方差和标准差描述其波动大小.跟踪训练2某企业有甲、乙两个研发小组,为了比较他们的研发水平,现随机抽取这两个小组往年研发新产品的结果如下:(a,b),(a,b),(a,b),(a,b),(a,b),(a,b),(a,b),(a,b),(a,b),(a,b),(a,b),(a,b),(a,b),(a,b),(a,b),其中a,a分别表示甲组研发成功和失败;b,b分别表示乙组研发成功和失败.(1)若某组成功研发一种新产品,则给该组记1分,否则记0分.试计算甲、乙两组研发新产9品的成绩的平均数和方差,并比较甲、乙两组的研发水平;(2)若该企业安排甲、乙两组各自研发一种新产品,试估计恰有一组研发成功的概率.解(1)甲组研发新产品的成绩为1,1,1,0,0,1,1,1,0,1,0,1,1,0,1,其平均数x甲=1015=23;方差为s2甲=1151-232×10+0-232×5=29.乙组研发新产品的成绩为1,0,1,1,0,1,1,0,1,0,0,1,0,1,1,其平均数x乙=915=35;方差为s2乙=115
本文标题:(江苏专用)2020版高考数学大一轮复习 第十章 算法、统计与概率 10.3 用样本估计总体教案(含
链接地址:https://www.777doc.com/doc-8466593 .html