2019-2020学年高中数学 第3章 数学归纳法与贝努利不等式 3.2.1 用数学归纳法证明不等式

-1-3.2.1用数学归纳法证明不等式3.2.2用数学归纳法证明贝努利不等式学习目标：1.会用数学归纳法证明简单的不等式.2.会用数学归纳法证明贝努利不等式；了解贝努利不等式的应用条件．教材整理1用数学归纳法证明不等式在不等关系的证明中，有多种多样的方法，其中数学归纳法是最常用的方法之一，在运用数学归纳法证不等式时，推导“k＋1”成立时其他的方法如比较法、分析法、综合法、放缩法等常被灵活地运用．教材整理2贝努利不等式1．定理1(贝努利不等式)设x－1，且x≠0，n为大于1的自然数，则(1＋x)n＞1＋nx.2．定理2(选学)设α为有理数，x－1，(1)如果0α1，则(1＋x)α≤1＋αx；(2)如果α0或者α1，则(1＋x)α≥1＋αx.当且仅当x＝0时等号成立．事实上，当α是实数时，也是成立的．设n∈N＋，则2n与n的大小关系是()A．2nnB．2nnC．2n＝nD．不确定[解析]2n＝(1＋1)n，根据贝努利不等式有(1＋1)n≥1＋n×1＝1＋n，上式右边舍去1，得(1＋1)nn，即2nn.[答案]A数学归纳法证明不等式【例1】已知Sn＝1＋12＋13＋…＋1n(n1，n∈N＋)，求证：S2n1＋n2(n≥2，n∈N＋)．[精彩点拨]求Sn再证明比较困难，可运用数学归纳法直接证明，注意Sn表示前n项的和(n1)，首先验证n＝2，然后证明归纳递推．[自主解答](1)当n＝2时，S22＝1＋12＋13＋14＝25121＋22，即n＝2时命题成立．-2-(2)假设n＝k(k≥2，k∈N＋)时命题成立，即S2k＝1＋12＋13＋…＋12k1＋k2.当n＝k＋1时，S2k＋1＝1＋12＋13＋…＋12k＋12k＋1＋…＋12k＋11＋k2＋12k＋1＋12k＋2＋…＋12k＋11＋k2＋2k2k＋2k＝1＋k2＋12＝1＋k＋12.故当n＝k＋1时，命题也成立．由(1)(2)知，对n∈N＋，n≥2，S2n1＋n2都成立．此题容易犯两个错误，一是由n＝k到n＝k＋1项数变化弄错，认为12k的后一项为12k＋1，实际上应为12k＋1；二是12k＋1＋12k＋2＋…＋12k＋1共有多少项之和，实际上2k＋1到2k＋1是自然数递增，项数为2k＋1－(2k＋1)＋1＝2k.1．若在本例中，条件变为“设f(n)＝1＋12＋13＋…＋1n(n∈N＋)，由f(1)＝112，f(3)1，f(7)32，f(15)2，…”.试问：你能得到怎样的结论？并加以证明．[解]数列1,3,7,15，…，通项公式为an＝2n－1，数列12，1，32，2，…，通项公式为an＝n2，∴猜想：f(2n－1)n2.下面用数学归纳法证明：①当n＝1时，f(21－1)＝f(1)＝112，不等式成立．②假设当n＝k(k≥1，k∈N＋)时不等式成立，即f(2k－1)k2，则f(2k＋1－1)＝f(2k－1)＋12k＋12k＋1＋…＋12k＋1－2＋12k＋1－1f(2k－1)＋12k＋1＋…＋12k＋1-3-＝f(2k－1)＋12k2＋12＝k＋12.∴当n＝k＋1时不等式也成立．据①②知对任何n∈N＋原不等式均成立.利用数学归纳法比较大小【例2】设Pn＝(1＋x)n，Qn＝1＋nx＋nn－12x2，n∈N＋，x∈(－1，＋∞)，试比较Pn与Qn的大小，并加以证明．[精彩点拨]本题考查数学归纳法的应用，解答本题需要先对n取特殊值，猜想Pn与Qn的大小关系，然后利用数学归纳法证明．[自主解答](1)当n＝1,2时，Pn＝Qn.(2)当n≥3时，(以下再对x进行分类)．①若x∈(0，＋∞)，显然有Pn＞Qn.②若x＝0，则Pn＝Qn.③若x∈(－1,0)，则P3－Q3＝x3＜0，所以P3＜Q3.P4－Q4＝4x3＋x4＝x3(4＋x)＜0，所以P4＜Q4.假设Pk＜Qk(k≥3)，则Pk＋1＝(1＋x)Pk＜(1＋x)Qk＝Qk＋xQk＝1＋kx＋kk－1x22＋x＋kx2＋kk－1x32＝1＋(k＋1)x＋kk＋12x2＋kk－12x3＝Qk＋1＋kk－12x3＜Qk＋1，即当n＝k＋1时，不等式成立．所以当n≥3，且x∈(－1,0)时，Pn＜Qn.1．利用数学归纳法比较大小，关键是先用不完全归纳法归纳出两个量的大小关系，猜测出证明的方向，再用数学归纳法证明结论成立．2．本题除对n的不同取值会有Pn与Qn之间的大小变化，变量x也影响Pn与Qn的大小关系，这就要求我们在探索大小关系时，不能只顾“n”，而忽视其他变量(参数)的作用．2．已知数列{an}，{bn}与函数f(x)，g(x)，x∈R，满足条件：b1＝b，an＝f(bn)＝g(bn＋1)(n∈N-4-＋)，若函数y＝f(x)为R上的增函数，g(x)＝f－1(x)，b＝1，f(1)＜1，证明：对任意x∈N＋，an＋1＜an.[证明]因为g(x)＝f－1(x)，所以an＝g(bn＋1)＝f－1(bn＋1)，即bn＋1＝f(an)．下面用数学归纳法证明an＋1＜an(n∈N＋)．(1)当n＝1时，由f(x)为增函数，且f(1)＜1，得a1＝f(b1)＝f(1)＜1，b2＝f(a1)＜f(1)＜1，a2＝f(b2)＜f(1)＝a1，即a2＜a1，结论成立．(2)假设n＝k时结论成立，即ak＋1＜ak.由f(x)为增函数，得f(ak＋1)＜f(ak)，即bk＋2＜bk＋1.进而得f(bk＋2)＜f(bk＋1)，即ak＋2＜ak＋1.这就是说当n＝k＋1时，结论也成立．根据(1)和(2)可知，对任意的n∈N＋，an＋1＜an.利用贝努利不等式证明不等式【例3】设n为正整数，记an＝1＋1nn+1，n＝1,2,3，….求证：an＋1an.[精彩点拨]用求商比较法证明an＋1an，其中要用贝努利不等式．[自主解答]由an的意义知对一切n＝1,2,3，…都成立．∴只需证明anan＋11，n＝1,2,3，….由于anan＋1＝1＋1nn+11＋1n＋1n+2＝1＋1n1＋1n＋1n+1×1＋1n＋1-1＝n＋1n＋1nn＋2n+1×n＋1n＋2＝1＋nn＋2nn＋2n+1×n＋1n＋2＝1＋1nn＋2n+1×n＋1n＋2，因此，根据贝努利不等式，有anan＋11＋n＋1×1nn＋2×n＋1n＋21＋n＋1n2＋2n＋1×n＋1n＋2-5-＝1＋1n＋1×n＋1n＋2＝1.∴anan＋1对于一切正整数n都成立．本题在证明的过程中，综合运用了求商比较法，放缩法，进而通过贝努利不等式证明不等式成立．3．设a为有理数，x－1.如果0a1，证明：(1＋x)a≤1＋ax，当且仅当x＝0时等号成立．[证明]0a1，令a＝mn，1≤mn，其中m，n为正整数，则由平均值不等式，得(1＋x)a＝(1＋x)mn≤m1＋x＋n－mn＝mx＋nn＝1＋mnx＝1＋ax，当且仅当1＋x＝1，即x＝0时，等号成立．放缩法在数学归纳法证明不等式中的应用[探究问题]1．用数学归纳法证明不等式时，如何利用放缩法？[提示]放缩法是不等式证明中最重要的变形方法之一，放缩必须有目标．而且要恰到好处，目标往往要从证明的结论考虑．常用的放缩方法有增项、减项、利用分式的性质、利用不等式的性质、利用已知不等式、利用函数的性质进行放缩等．比如：舍去或加上一些项：a＋122＋34＞a＋122；将分子或分母放大(缩小)：1k2＜1kk－1，1k2＞1kk＋1，1k＜2k＋k－1，1k＞2k＋k＋1(k∈R，k＞1)等．【例4】证明：2n＋2n2(n∈N＋)．[精彩点拨]验证n＝1，2，3时不等式成立⇒-6-假设n＝k成立，推证n＝k＋1⇒n＝k＋1成立，结论得证[自主解答](1)当n＝1时，左边＝21＋2＝4；右边＝1，左边右边；当n＝2时，左边＝22＋2＝6，右边＝22＝4，所以左边右边；当n＝3时，左边＝23＋2＝10，右边＝32＝9，所以左边右边．因此当n＝1,2,3时，不等式成立．(2)假设当n＝k(k≥3且k∈N＋)时，不等式成立，即2k＋2k2(k∈N＋)．当n＝k＋1时，2k＋1＋2＝2·2k＋2＝2(2k＋2)－22k2－2＝k2＋2k＋1＋k2－2k－3＝(k2＋2k＋1)＋(k＋1)(k－3)≥k2＋2k＋1＝(k＋1)2.(因为k≥3，则k－3≥0，k＋10)所以2k＋1＋2(k＋1)2，故当n＝k＋1时，原不等式也成立．根据(1)(2)知，原不等式对于任何n∈N＋都成立．1．本例中，针对目标k2＋2k＋1，由于k的取值范围(k≥1)太大，不便于缩小．因此，用增加奠基步骤(把验证n＝1扩大到验证n＝1,2,3)的方法，使假设中k的取值范围适当缩小到k≥3，促使放缩成功，达到目标．2．利用数学归纳法证明数列型不等式的关键是由n＝k到n＝k＋1的变形．为满足题目的要求，常常要采用“放”与“缩”等手段，但是放缩要有度，这是一个难点，解决这个难题一是要仔细观察题目结构，二是要靠经验积累．4．设x＞－1，且x≠0，n为大于1的自然数，用数学归纳法证明(1＋x)n＞1＋nx.[证明](1)当n＝2时，由x≠0，知(1＋x)2＝1＋2x＋x2＞1＋2x，因此n＝2时命题成立．(2)假设n＝k(k≥2为正整数)时命题成立，即(1＋x)k＞1＋kx，则当n＝k＋1时，(1＋x)k＋1＝(1＋x)k(1＋x)＞(1＋kx)(1＋x)＝1＋x＋kx＋kx2＞1＋(k＋1)x.即n＝k＋1时，命题也成立．-7-由(1)(2)及数学归纳法知原命题成立.不等式中的探索、猜想、证明[探究问题]2．利用数学归纳法解决探索型不等式的思路是什么？[提示]利用数学归纳法解决探索型不等式的思路是先通过观察、判断，猜想出结论，然后用数学归纳法证明．这种分析问题和解决问题的思路是非常重要的，特别是在求解存在型或探索型问题时．【例5】若不等式1n＋1＋1n＋2＋1n＋3＋…＋13n＋1a24对一切正整数n都成立，求正整数a的最大值，并证明你的结论．[精彩点拨]先通过n取值计算，求出a的最大值，再用数学归纳法进行证明，证明时，根据不等式特征，在第二步，运用比差法较方便．[自主解答]当n＝1时，11＋1＋11＋2＋13×1＋1a24，则2624a24，∴a26.又a∈N＋，∴取a＝25.下面用数学归纳法证明1n＋1＋1n＋2＋…＋13n＋12524.(1)n＝1时，已证．(2)假设当n＝k时(k≥1，k∈N＋)，1k＋1＋1k＋2＋…＋13k＋12524，∴当n＝k＋1时，1k＋1＋1＋1k＋1＋2＋…＋13k＋1＋13k＋2＋13k＋3＋13k＋1＋1＝1k＋1＋1k＋2＋…＋13k＋1＋13k＋2＋13k＋3＋13k＋4－1k＋12524＋13k＋2＋13k＋4－23k＋1.∵13k＋2＋13k＋4＝6k＋19k2＋18k＋823k＋1，∴13k＋2＋13k＋4－23k＋10，∴1k＋1＋1＋1k＋1＋2＋…＋13k＋1＋12524也成立．由(1)(2)可知，对一切n∈N＋，-8-都有1n＋1＋1n＋2＋…＋13n＋12524，∴a的最大值为25.1．不完全归纳的作用在于发现规律，探究结论，但结论必须证明．2．本题中从n＝k到n＝k＋1时，左边添加项是13k＋2＋13k＋3＋13k＋4－1k＋1，这一点必须清楚．5．设an＝1＋12＋13＋…＋1n(n∈N＋)，是否存在n的整式g(n)，使得等式a1＋a2＋a3＋…＋an－1＝g(n)(an－1)对大于1的一切正整数n都成立？证明你的结论．[解]假设g(n)存在，那么当n＝2时，由a1＝g(2)(a2－1)，即1＝g(2)1＋12