-1-第2课时组合的综合应用学习目标:1.学会运用组合的概念分析简单的实际问题.(重点)2.能解决无限制条件的组合问题.3.掌握解决组合问题的常见的方法.(难点)教材整理组合的实际应用阅读教材P19~P21,完成下列问题.1.组合与排列的异同点共同点:排列与组合都是从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素.不同点:排列与元素的顺序有关,组合与元素的顺序无关.2.应用组合知识解决实际问题的四个步骤(1)判断:判断实际问题是否是组合问题.(2)方法:选择利用直接法还是间接法解题.(3)计算:利用组合数公式结合两个计数原理计算.(4)结论:根据计算结果写出方案个数.1.把三张游园票分给10个人中的3人,分法有________种.【解析】把三张票分给10个人中的3人,不同分法有C310=10×9×83×2×1=120(种).【答案】1202.甲、乙、丙三位同学选修课程,从4门课程中,甲选修2门,乙、丙各选修3门,则不同的选修方案共有________种.【解析】甲选修2门,有C24=6(种)不同方案.乙选修3门,有C34=4(种)不同选修方案.丙选修3门,有C34=4(种)不同选修方案.由分步乘法计数原理,不同的选修方案共有6×4×4=96(种).【答案】963.从0,1,2,π2,3,2这六个数字中,任取两个数字作为直线y=xtanα+b的倾斜角和截距,可组成______条平行于x轴的直线.-2-【解析】要使得直线与x轴平行,则倾斜角为0,截距在0以外的五个数字均可.故有C15=5条满足条件.【答案】54.将7名学生分配到甲、乙两个宿舍中,每个宿舍至少安排2名学生,那么互不相同的分配方案共有________种.【解析】每个宿舍至少2名学生,故甲宿舍安排的人数可以为2人,3人,4人,5人,甲宿舍安排好后,乙宿舍随之确定,所以有C27+C37+C47+C57=112种分配方案.【答案】112无限制条件的组合问题【例1】在一次数学竞赛中,某学校有12人通过了初试,学校要从中选出5人参加市级培训.在下列条件下,有多少种不同的选法?(1)任意选5人;(2)甲、乙、丙三人必须参加;(3)甲、乙、丙三人不能参加;(4)甲、乙、丙三人只能有1人参加.【精彩点拨】本题属于组合问题中的最基本的问题,可根据题意分别对不同问题中的“含”与“不含”作出正确分析和判断,弄清每步从哪里选,选出多少等问题.【解】(1)从中任选5人是组合问题,共有C512=792种不同的选法.(2)甲、乙、丙三人必须参加,则只需要从另外9人中选2人,是组合问题,共有C29=36种不同的选法.(3)甲、乙、丙三人不能参加,则只需从另外的9人中选5人,共有C59=126种不同的选法.(4)甲、乙、丙三人只能有1人参加,可分两步:先从甲、乙、丙中选1人,有C13=3种选法;再从另外9人中选4人,有C49种选法.共有C13C49=378种不同的选法.解答简单的组合问题的思考方法1.弄清要做的这件事是什么事.2.选出的元素是否与顺序有关,也就是看看是不是组合问题.3.结合两个计数原理,利用组合数公式求出结果.-3-1.现有10名教师,其中男教师6名,女教师4名.(1)现要从中选2名去参加会议,有多少种不同的选法?(2)选出2名男教师或2名女教师去外地学习的选法有多少种?【解】(1)从10名教师中选2名去参加会议的选法种数,就是从10个不同元素中取出2个元素的组合数,即C210=10×92×1=45.(2)可把问题分两类:第1类,选出的2名是男教师有C26种方法;第2类,选出的2名是女教师有C24种方法,即共有C26+C24=21(种)选法.有限制条件的组合问题【例2】高二(1)班共有35名同学,其中男生20名,女生15名,今从中选出3名同学参加活动.(1)其中某一女生必须在内,不同的选法有多少种?(2)其中某一女生不能在内,不同的选法有多少种?(3)恰有2名女生在内,不同的选法有多少种?(4)至少有2名女生在内,不同的选法有多少种?(5)至多有2名女生在内,不同的选法有多少种?【精彩点拨】可从整体上分析,进行合理分类,弄清关键词“恰有”“至少”“至多”等字眼,使用两个计数原理解决.【解】(1)从余下的34名学生中选取2名,有C234=561(种).∴不同的选法有561种.(2)从34名可选学生中选取3名,有C334种.或者C335-C234=C334=5984种.∴不同的选法有5984种.(3)从20名男生中选取1名,从15名女生中选取2名,有C120C215=2100种.∴不同的选法有2100种.(4)选取2名女生有C120C215种,选取3名女生有C315种,共有选取方法N=C120C215+C315=2100+455=2555种.∴不同的选法有2555种.(5)选取3名的总数有C335,至多有2名女生在内的选取方式共有N=C335-C315=6545-455=6090种.-4-∴不同的选法有6090种.常见的限制条件及解题方法1.特殊元素:若要选取的元素中有特殊元素,则要以有无特殊元素,特殊元素的多少作为分类依据.2.含有“至多”“至少”等限制语句:要分清限制语句中所包含的情况,可以此作为分类依据,或采用间接法求解.3.分类讨论思想:解题的过程中要善于利用分类讨论思想,将复杂问题分类表达,逐类求解.2.“抗震救灾,众志成城”,某医院从10名医疗专家中抽调6名奔赴赈灾前线,其中这10名医疗专家中有4名是外科专家.问:(1)抽调的6名专家中恰有2名是外科专家的抽调方法有多少种?(2)至少有2名外科专家的抽调方法有多少种?(3)至多有2名外科专家的抽调方法有多少种?【解】(1)分步:首先从4名外科专家中任选2名,有C24种选法,再从除外科专家的6人中选取4人,有C46种选法,所以共有C24·C46=90(种)抽调方法.(2)“至少”的含义是不低于,有两种解答方法.法一:(直接法)按选取的外科专家的人数分类:①选2名外科专家,共有C24·C46种选法;②选3名外科专家,共有C34·C36种选法;③选4名外科专家,共有C44·C26种选法.根据分类加法计数原理,共有C24·C46+C34·C36+C44·C26=185(种)抽调方法.法二:(间接法)不考虑是否有外科专家,共有C610种选法,考虑选取1名外科专家参加,有C14·C56种选法;没有外科专家参加,有C66种选法,所以共有:C610-C14·C56-C66=185(种)抽调方法.(3)“至多2名”包括“没有”“有1名”“有2名”三种情况,分类解答.①没有外科专家参加,有C66种选法;②有1名外科专家参加,有C14·C56种选法;③有2名外科专家参加,有C24·C46种选法.所以共有C66+C14·C56+C24·C46=115(种)抽调方法.组合在几何中的应用-5-【例3】平面内有12个点,其中有4个点共线,此外再无任何3点共线.以这些点为顶点,可构成多少个不同的三角形?【精彩点拨】解答本题可以从共线的4个点中选取2个、1个、0个作为分类标准,也可以从反面考虑,任意三点的取法种数减去共线三点的取法种数.【解】法一:以从共线的4个点中取点的多少作为分类标准.第1类:共线的4个点中有2个点为三角形的顶点,共有C24C18=48个不同的三角形;第2类:共线的4个点中有1个点为三角形的顶点,共有C14C28=112个不同的三角形;第3类:共线的4个点中没有点为三角形的顶点,共有C38=56个不同的三角形.由分类加法计数原理知,不同的三角形共有48+112+56=216(个).法二(间接法):从12个点中任意取3个点,有C312=220种取法,而在共线的4个点中任意取3个均不能构成三角形,即不能构成三角形的情况有C34=4种.故这12个点能构成三角形的个数为C312-C34=216个.1.解决几何图形中的组合问题,首先应注意运用处理组合问题的常规方法分析解决问题,其次要注意从不同类型的几何问题中抽象出组合问题,寻找一个组合的模型加以处理.2.图形多少的问题通常是组合问题,要注意共点、共线、共面、异面等情形,防止多算.常用直接法,也可采用排除法.3.四面体的一个顶点为A,从其他顶点和各棱中点中取3个点,使它们与点A在同一平面上,有多少种不同的取法?【解】如图所示,含顶点A的四面体的3个面上,除点A外每个面都有5个点,从中取出3点必与点A共面,共有3C35种取法,含顶点A的三条棱上各有三个点,它们与所对的棱的中点共面,共有3种取法.根据分类加法计数原理,不同的取法有3C35+3=33种.排列、组合的综合应用[探究问题]1.从集合{1,2,3,4}中任取两个不同元素相乘,有多少个不同的结果?完成的“这件事”指的是什么?【提示】共有C24=4×32=6(个)不同结果.-6-完成的“这件事”是指:从集合{1,2,3,4}中任取两个不同元素并相乘.2.从集合{1,2,3,4}中任取两个不同元素相除,有多少个不同结果?这是排列问题,还是组合问题?完成的“这件事”指的是什么?【提示】共有A24-2=10(个)不同结果;这个问题属于排列问题;完成的“这件事”是指:从集合{1,2,3,4}中任取两个不同元素并相除.3.完成“从集合{0,1,2,3,4}中任取三个不同元素组成一个是偶数的三位数”这件事需先分类,还是先分步?有多少个不同的结果?【提示】由于0不能排在百位,而个位必须是偶数.0是否排在个位影响百位与十位的排法,所以完成这件事需按0是否在个位分类进行.第一类:0在个位,则百位与十位共A24种排法;第二类:0不在个位且不在百位,则需先从2,4中任选一个排个位再从剩下非零数字中取一个排百位,最后从剩余数字中任取一个排十位,共C12C13C13=18(种)不同的结果,由分类加法计数原理,完成“这件事”共有A24+C12C13C13=30(种)不同的结果.【例4】有5个男生和3个女生,从中选出5人担任5门不同学科的课代表,求分别符合下列条件的选法数:(1)有女生但人数必须少于男生;(2)某女生一定担任语文课代表;(3)某男生必须包括在内,但不担任数学课代表;(4)某女生一定要担任语文课代表,某男生必须担任课代表,但不担任数学课代表.【精彩点拨】(1)按选中女生的人数多少分类选取.(2)采用先选后排的方法.(3)先安排该男生,再选出其他人担任4科课代表.(4)先安排语文课代表的女生,再安排“某男生”课代表,最后选其他人担任余下三科的课代表.【解】(1)先选后排,先选可以是2女3男,也可以是1女4男,共有C35C23+C45C13种,后排有A55种,共(C35C23+C45C13)·A55=5400种.(2)除去该女生后,先选后排,有C47·A44=840种.(3)先选后排,但先安排该男生,有C47·C14·A44=3360种.(4)先从除去该男生、该女生的6人中选3人有C36种,再安排该男生有C13种,其余3人全排有A33种,共C36·C13·A33=360种.解决排列、组合综合问题要遵循两个原则1.按事情发生的过程进行分步.2.按元素的性质进行分类.解决时通常从以下三个途径考虑:(1)以元素为主考虑,即先满足特殊元素的要求,再考虑其他元素;-7-(2)以位置为主考虑,即先满足特殊位置的要求,再考虑其他位置;(3)先不考虑附加条件,计算出排列或组合数,再减去不符合要求的排列或组合数.4.某班班会准备从甲、乙等7名学生中选派4名学生发言,要求甲、乙两名同学至少有一人参加,且若甲、乙同时参加,则他们发言时不能相邻,那么不同的发言顺序的种数为()A.360B.520C.600D.720【解析】分两类:第一类,甲、乙中只有一人参加,则有C12C35A44=2×10×24=480种选法.第二类,甲、乙都参加时,则有C25(A44-A22A33)=10×(24-12)=120种选法.所以共有480+120=600种选法.【答案】C1.楼道里有12盏灯,为了节约用电,需关掉3盏不相邻的灯,则关灯方案有()A.72种B.84种C.120种D.168种【解析】需关掉3盏不