2019-2020学年高中数学 第1章 计数原理 1.3.2 杨辉三角讲义 新人教B版选修2-3

-1-1.3.2杨辉三角学习目标：1.了解杨辉三角，并探索其中的规律．(难点)2.掌握二项式系数的性质及其应用．(重点)3.掌握“赋值法”并会灵活运用．教材整理1杨辉三角阅读教材P29，完成下列问题．杨辉三角的特点(1)在同一行中，每行两端都是1，与这两个1等距离的项的系数相等．(2)在相邻的两行中，除1以外的每一个数都等于它“肩上”两个数的和，即Cmn＋1＝Cm－1n＋Cmn.1．如图是一个类似杨辉三角的图形，则第n行的首尾两个数均为________．13356571111791822189……【解析】由1,3,5,7,9，…可知它们成等差数列，所以an＝2n－1.【答案】2n－12．如图，由二项式系数构成的杨辉三角中，第________行从左到右第14与第15个数之比为2∶3.111121133114641……【解析】设第n行从左到右第14与第15个数之比为2∶3，则3C13n＝2C14n，-2-即3·n！13！n－13！＝2·n！14！n－14！，解得n＝34.【答案】34教材整理2二项式系数的性质阅读教材P29后半部分，完成下列问题．1．每一行的两端都是1，其余每个数都等于它“肩上”两个数的和．2．每一行中，与首末两端“等距离”的两个数相等．3．如果二项式的幂指数n是偶数，那么其展开式中间一项Tn2＋1的二项式系数最大；如果n是奇数，那么其展开式中间两项Tn＋12与Tn＋12＋1的二项式系数相等且最大．4．二项展开式的二项式系数的和等于2n.1．已知(a＋b)n展开式中只有第5项的二项式系数最大，则n等于________．【解析】因为只有第5项的二项式系数最大，所以n2＋1＝5，所以n＝8.【答案】82．已知(ax＋1)n的展开式中，二项式系数和为32，则n等于________．【解析】二项式系数之和为C0n＋C1n＋…＋Cnn＝2n＝32，所以n＝5.【答案】53．(2x－1)10展开式中x的奇次幂项的系数之和为________．【解析】因为(2x－1)10＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a10x10，令x＝1，得a0＋a1＋a2＋…＋a10＝1，再令x＝－1，得310＝a0－a1＋a2－a3＋…＋a10，两式相减，可得a1＋a3＋…＋a9＝1－3102.【答案】1－3102与“杨辉三角”有关的问题-3-【例1】如图所示，在“杨辉三角”中斜线AB的上方，从1开始箭头所示的数组成一个锯齿形数列：1,2,3,3,6,4,10,5，….记其前n项和为Sn，求S19的值．【精彩点拨】由图知，数列中的首项是C22，第2项是C12，第3项是C23，第4项是C13，…，第17项是C210，第18项是C110，第19项是C211.【解】S19＝(C22＋C12)＋(C23＋C13)＋(C24＋C14)＋…＋(C210＋C110)＋C211＝(C12＋C13＋C14＋…＋C110)＋(C22＋C23＋…＋C210＋C211)＝(2＋3＋4＋…＋10)＋C312＝2＋10×92＋220＝274.“杨辉三角”问题解决的一般方法观察—分析；试验—猜想；结论—证明，要得到杨辉三角中蕴含的诸多规律，取决于我们的观察能力，观察能力有：横看、竖看、斜看、连续看、隔行看，从多角度观察．如表所示：1．如图所示，满足如下条件：①第n行首尾两数均为n；②表中的递推关系类似“杨辉三角”．则第10行的第2个数是________，第n行的第2个数是________．【解析】由图表可知第10行的第2个数为：(1＋2＋3＋…＋9)＋1＝46，第n行的第2个数为：[1＋2＋3＋…＋(n－1)]＋1＝nn－12＋1＝n2－n＋22.-4-【答案】46n2－n＋22求展开式的系数和【例2】设(1－2x)2019＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a2019·x2019(x∈R)．(1)求a0＋a1＋a2＋…＋a2019的值；(2)求a1＋a3＋a5＋…＋a2019的值；(3)求|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a2019|的值．【精彩点拨】先观察所求式子与展开式各项的特点，利用赋值法求解．【解】(1)令x＝1，得a0＋a1＋a2＋…＋a2019＝(－1)2019＝－1.①(2)令x＝－1，得a0－a1＋a2－…－a2019＝32019.②①－②得2(a1＋a3＋…＋a2019)＝－1－32019，∴a1＋a3＋a5＋…＋a2019＝－1－320192.(3)∵Tr＋1＝Cr2019(－2x)r＝(－1)r·Cr2019·(2x)r，∴a2k－1＜0(k∈N＋)，a2k＞0(k∈N)．∴|a0|＋|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|a2019|＝a0－a1＋a2－a3＋…－a2019＝32019.1．解决二项式系数和问题思维流程2．“赋值法”是解决二项展开式中项的系数常用的方法，根据题目要求，灵活赋给字母不同值．一般地，要使展开式中项的关系变为系数的关系，令x＝0可得常数项，令x＝1可得所有项系数之和，令x＝－1可得偶次项系数之和与奇次项系数之和的差．2．若(3x－1)7＝a7x7＋a6x6＋…＋a1x＋a0，求：(1)a1＋a2＋…＋a7；(2)a1＋a3＋a5＋a7；-5-(3)a0＋a2＋a4＋a6.【解】(1)令x＝0，则a0＝－1；令x＝1，得a7＋a6＋…＋a1＋a0＝27＝128，①所以a1＋a2＋…＋a7＝129.(2)令x＝－1，得－a7＋a6－a5＋a4－a3＋a2－a1＋a0＝(－4)7，②由①－②得2(a1＋a3＋a5＋a7)＝128－(－4)7，∴a1＋a3＋a5＋a7＝8256.(3)由①＋②得2(a0＋a2＋a4＋a6)＝128＋(－4)7，∴a0＋a2＋a4＋a6＝－8128.二项式系数性质的应用[探究问题]1．根据杨辉三角的特点，在杨辉三角同一行中与两个1等距离的项的系数相等，你可以得到二项式系数的什么性质？【提示】对称性，因为Cmn＝Cn－mn.2．计算CknCk－1n，并说明你得到的结论．【提示】CknCk－1n＝n－k＋1k.当kn＋12时，CknCk－1n1，说明二项式系数逐渐增大；同理，当kn＋12时，二项式系数逐渐减小．3．二项式系数何时取得最大值？【提示】当n是偶数时，中间的一项取得最大值；当n是奇数时，中间的两项Cn－12n，Cn+12n相等，且同时取得最大值．【例3】已知f(x)＝(3x2＋3x2)n展开式中各项的系数和比各项的二项式系数和大992.(1)求展开式中二项式系数最大的项；(2)求展开式中系数最大的项．【精彩点拨】求二项式系数最大的项，利用性质知展开式中中间项(或中间两项)是二项式系数最大的项；求展开式中系数最大的项，必须将x，y的系数均考虑进去，包括-6-“＋”“－”号．【解】令x＝1，则二项式各项系数的和为f(1)＝(1＋3)n＝4n，又展开式中各项的二项式系数之和为2n，由题意知，4n－2n＝992.∴(2n)2－2n－992＝0，∴(2n＋31)(2n－32)＝0，∴2n＝－31(舍去)或2n＝32，∴n＝5.(1)由于n＝5为奇数，所以展开式中二项式系数最大的项为中间两项，它们分别是T3＝C25(x23)3(3x2)2＝90x6，T4＝C35(x23)2(3x2)3＝270x223.(2)展开式的通项公式为Tr＋1＝Cr53r·x23(5＋2r)．假设Tr＋1项系数最大，则有Cr53r≥Cr－15·3r－1，Cr53r≥Cr＋15·3r＋1，∴5！5－r！r！×3≥5！6－r！r－1！，5！5－r！r！≥5！4－r！r＋1！×3，∴3r≥16－r，15－r≥3r＋1.∴72≤r≤92，∵r∈N，∴r＝4.∴展开式中系数最大的项为T5＝C45x23(3x2)4＝405x263.1．求二项式系数最大的项，根据二项式系数的性质，当n为奇数时，中间两项的二项式系数最大；当n为偶数时，中间一项的二项式系数最大．2．求展开式中系数最大项与求二项式系数最大项是不同的，需根据各项系数的正、负变化情况，一般采用列不等式组，解不等式的方法求得．-7-3．已知(a2＋1)n展开式中的各项系数之和等于165x2＋1x5的展开式的常数项，而(a2＋1)n的展开式的系数最大的项等于54，求a的值．【解】由165x2＋1x5，得Tr＋1＝Cr5165x25－r1xr＝1655－r·Cr5·x20－5r2，令Tr＋1为常数项，则20－5r＝0，所以r＝4，常数项T5＝C45×165＝16.又(a2＋1)n展开式中的各项系数之和等于2n，由此得到2n＝16，n＝4.所以(a2＋1)4展开式中系数最大项是中间项T3＝C24a4＝54，所以a＝±3.1．(1＋x)2n＋1的展开式中，二项式系数最大的项所在项数是()A．n，n＋1B．n－1，nC．n＋1，n＋2D．n＋2，n＋3【解析】该展开式共2n＋2项，中间两项为第n＋1项与第n＋2项，所以第n＋1项与第n＋2项为二项式系数最大的项．【答案】C2．已知C0n＋2C1n＋22C2n＋…＋2nCnn＝729，则C1n＋C3n＋C5n的值等于()A．64B．32C．63D．31【解析】C0n＋2C1n＋…＋2nCnn＝(1＋2)n＝3n＝729，-8-∴n＝6，∴C16＋C36＋C56＝32.【答案】B3．若(x＋3y)n的展开式中各项系数的和等于(7a＋b)10的展开式中二项式系数的和，则n的值为________．【解析】(7a＋b)10的展开式中二项式系数的和为C010＋C110＋…＋C1010＝210，令(x＋3y)n中x＝y＝1，则由题设知，4n＝210，即22n＝210，解得n＝5.【答案】54．已知(a－x)5＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a5x5，若a2＝80，则a0＋a1＋a2＋…＋a5＝________.【解析】(a－x)5展开式的通项为Tr＋1＝(－1)rCr5a5－rxr，令r＝2，得a2＝(－1)2C25a3＝80，解得a＝2，即(2－x)5＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a5x5，令x＝1，得a0＋a1＋a2＋…＋a5＝1.【答案】15．在x－2x28的展开式中，求：(1)系数的绝对值最大的项；(2)二项式系数最大的项；(3)系数最大的项；(4)系数最小的项．【解】Tr＋1＝Cr8(x)8－r－2x2r＝(－1)rCr82rx4－5r2.(1)设第r＋1项系数的绝对值最大，则Cr8·2r≥Cr＋18·2r＋1，Cr8·2r≥Cr－18·2r－1，∴18－r≥2r＋1，2r≥19－r.解得5≤r≤6.故系数绝对值最大的项是第6项和第7项．(2)二项式系数最大的项为中间项，即为第5项．所以T5＝C48·24·x4－202＝1120x－6.(3)由(1)知，展开式中的第6项和第7项系数的绝对值最大，而第6项的系数为负，第7项的系数为正．则系数最大的项为T7＝C68·26·x－11＝1792x－11.(4)系数最小的项为-9-T6＝(－1)5C58·25x－172＝－1792x－172.