2019-2020学年高中数学 第1章 计数原理 1.3.1 二项式定理讲义 新人教B版选修2-3

-1-1.3.1二项式定理学习目标：1.会证明二项式定理．(难点)2.掌握二项式定理及其展开式的通项公式．(重点)教材整理二项式定理阅读教材P26～P27例1以上部分，完成下列问题．二项式定理及相关的概念二项式定理概念公式(a＋b)n＝C0nan＋C1nan－1b＋C2nan－2b2＋…＋Crnan－rbr＋…＋Cnnbn(n∈N＋)称为二项式定理二项式系数各项系数Crn(r＝0,1,2，…，n)叫做展开式的二项式系数二项式通项Crnan－rbr是展开式中的第r＋1项，可记做Tr＋1＝Crnan－rbr(其中0≤r≤n，r∈N，n∈N＋)二项展开式C0nan＋C1nan－1b＋C2nan－2b2＋…＋Crnan－rbr＋…＋Cnnbn(n∈N＋)备注在二项式定理中，如果设a＝1，b＝x，则得到公式(1＋x)n＝1＋C1nx＋C2nx2＋…＋Crnxr＋…＋Cnnxn(n∈N＋)判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)(a＋b)n展开式中共有n项．()(2)在公式中，交换a，b的顺序对各项没有影响．()(3)Crnan－rbr是(a＋b)n展开式中的第r项．()(4)(a－b)n与(a＋b)n的二项式展开式的二项式系数相同．()【解析】(1)×因为(a＋b)n展开式中共有n＋1项．(2)×因为二项式的第r＋1项Crnan－rbr和(b＋a)n的展开式的第r＋1项Crnbn－rar是不同的，其中的a，b是不能随便交换的．(3)×因为Crnan－rbr是(a＋b)n展开式中的第r＋1项．(4)√因为(a－b)n与(a＋b)n的二项式展开式的二项式系数都是Crn.【答案】(1)×(2)×(3)×(4)√-2-二项式定理的正用、逆用【例1】(1)用二项式定理展开2x－32x25；(2)化简：C0n(x＋1)n－C1n(x＋1)n－1＋C2n(x＋1)n－2－…＋(－1)rCrn(x＋1)n－r＋…＋(－1)nCnn.【精彩点拨】(1)二项式的指数为5，且为两项的和，可直接按二项式定理展开；(2)可先把x＋1看成一个整体，分析结构形式，逆用二项式定理求解．【解】(1)2x－32x25＝C05(2x)5＋C15(2x)4·－32x2＋…＋C55－32x25＝32x5－120x2＋180x－135x4＋4058x7－24332x10.(2)原式＝C0n(x＋1)n＋C1n(x＋1)n－1(－1)＋C2n(x＋1)n－2·(－1)2＋…＋Crn(x＋1)n－r(－1)r＋…＋Cnn(－1)n＝[(x＋1)＋(－1)]n＝xn.1．展开二项式可以按照二项式定理进行．展开时注意二项式定理的结构特征，准确理解二项式的特点是展开二项式的前提条件．2．对较复杂的二项式，有时先化简再展开会更简便．3．对于化简多个式子的和时，可以考虑二项式定理的逆用．对于这类问题的求解，要熟悉公式的特点，项数，各项幂指数的规律以及各项的系数．1．(1)求3x＋1x4的展开式；(2)化简：1＋2C1n＋4C2n＋…＋2nCnn.【解】(1)法一：3x＋1x4＝C04(3x)4＋C14(3x)3·1x＋C24(3x)2·1x2＋C34(3x)1x3＋C441x4＝81x2＋108x＋54＋12x＋1x2.法二：3x＋1x4＝3x＋14x2＝1x2(81x4＋108x3＋54x2＋12x＋1)＝81x2＋108x＋54＋12x＋1x2.-3-(2)原式＝1＋2C1n＋22C2n＋…＋2nCnn＝(1＋2)n＝3n.二项式系数与项的系数问题【例2】(1)求二项式2x－1x6的展开式中第6项的二项式系数和第6项的系数；(2)求x－1x9的展开式中x3的系数．【精彩点拨】利用二项式定理求展开式中的某一项，可以通过二项展开式的通项公式进行求解．【解】(1)由已知得二项展开式的通项为Tr＋1＝Cr6(2x)6－r·－1xr＝(－1)rCr6·26－r·x3－32r，∴T6＝－12·x－92.∴第6项的二项式系数为C56＝6，第6项的系数为C56·(－1)·2＝－12.(2)Tr＋1＝Cr9x9－r·－1xr＝(－1)r·Cr9·x9－2r，∴9－2r＝3，∴r＝3，即展开式中第四项含x3，其系数为(－1)3·C39＝－84.1．二项式系数都是组合数Crn(r＝0,1,2，…，n)，它与二项展开式中某一项的系数不一定相等，要注意区分“二项式系数”与二项式展开式中“项的系数”这两个概念．2．第r＋1项的系数是此项字母前的数连同符号，而此项的二项式系数为Crn.例如，在(1＋2x)7的展开式中，第四项是T4＝C3717－3(2x)3，其二项式系数是C37＝35，而第四项的系数是C3723＝280.2．(1＋2x)n的展开式中第六项与第七项的系数相等，求展开式中二项式系数最大的项和系数最大的项．【解】T6＝C5n(2x)5，T7＝C6n(2x)6，依题意有C5n25＝C6n26，∴n＝8.∴(1＋2x)n的展开式中，二项式系数最大的项为T5＝C48(2x)4＝1120x4.-4-设第r＋1项系数最大，则有Cr82r≥Cr－182r－1，Cr82r≥Cr＋182r＋1，∴5≤r≤6.∴r＝5或r＝6(∵r＝0,1,2，…，8)．∴系数最大的项为T6＝1792x5，T7＝1792x6.求展开式中的特定项[探究问题]1．如何求x＋1x4展开式中的常数项？【提示】利用二项展开式的通项Cr4x4－r·1xr＝Cr4x4－2r求解，令4－2r＝0，则r＝2，所以x＋1x4展开式中的常数项为C24＝4×32＝6.2．(a＋b)(c＋d)展开式中的每一项是如何得到的？【提示】(a＋b)(c＋d)展开式中的各项都是由a＋b中的每一项分别乘以c＋d中的每一项而得到．3．如何求x＋1x(2x＋1)3展开式中含x的项？【提示】x＋1x(2x＋1)3展开式中含x的项是由x＋1x中的x与1x分别与(2x＋1)3展开式中常数项C33＝1及x2项C1322x2＝12x2分别相乘再把积相加得x·C33＋1x·C13(2x)2＝x＋12x＝13x.即x＋1x(2x＋1)3展开式中含x的项为13x.【例3】已知在3x－33xn的展开式中，第6项为常数项．(1)求n；(2)求含x2项的系数；(3)求展开式中所有的有理项．【精彩点拨】写出通项Tr＋1→令r＝5，x的指数为零→1求出n值→修正通项公式→2求x2项的系数→考查x指数为整数→分析求出k值-5-→3写出有理项【解】通项公式为：Tr＋1＝Crnxn－r3(－3)rx－r3＝Crn(－3)rxn－2r3.(1)∵第6项为常数项，∴r＝5时，有n－2r3＝0，即n＝10.(2)令10－2r3＝2，得r＝12(10－6)＝2，∴所求的系数为C210(－3)2＝405.(3)由题意得，10－2r3∈Z，0≤r≤10，r∈Z.令10－2r3＝k(k∈Z)，则10－2r＝3k，即r＝5－32k.∵r∈Z，∴k应为偶数，k＝2,0，－2，即r＝2,5,8，所以第3项，第6项与第9项为有理项，它们分别为405x2，－61236,295245x－2.1．求二项展开式的特定项的常见题型(1)求第k项，Tr＝Cr－1nan－r＋1br－1；(2)求含xr的项(或xpyq的项)；(3)求常数项；(4)求有理项．2．求二项展开式的特定项的常用方法(1)对于常数项，隐含条件是字母的指数为0(即0次项)；(2)对于有理项，一般是先写出通项公式，其所有的字母的指数恰好都是整数的项．解这类问题必须合并通项公式中同一字母的指数，根据具体要求，令其属于整数，再根据数的整除性来求解；(3)对于二项展开式中的整式项，其通项公式中同一字母的指数应是非负整数，求解方式与求有理项一致．3．(1)在(1－x3)(1＋x)10的展开式中，x5的系数是________．-6-(2)若x－ax26展开式的常数项为60，则常数a的值为________．【解析】(1)x5应是(1＋x)10中含x5项、含x2项分别与1，－x3相乘的结果，∴其系数为C510＋C210(－1)＝207.(2)x－ax26的展开式的通项是Tr＋1＝Cr6x6－r·(－a)rx－2r＝Cr6x6－3r(－a)r，令6－3r＝0，得r＝2，即当r＝2时，Tr＋1为常数项，即常数项是C26a，根据已知得C26a＝60，解得a＝4.【答案】(1)207(2)41．在(x－3)10的展开式中，含x6的项的系数是()A．－27C610B．27C410C．－9C610D．9C410【解析】含x6的项是T5＝C410x6(－3)4＝9C410x6.【答案】D2．在x2－13x8的展开式中常数项是()A．－28B．－7C．7D．28【解析】Tr＋1＝Cr8·x28－r·－13xr＝(－1)r·Cr8·128－r·x8－43r，当8－43r＝0，即r＝6时，T7＝(－1)6·C68·122＝7.【答案】C3．(2019·全国卷Ⅲ)(1＋2x2)(1＋x)4的展开式中x3的系数为()-7-A．12B．16C．20D．24【解析】展开式中含x3的项可以由“1与x3”和“2x2与x”的乘积组成，则x3的系数为C34＋2C14＝4＋8＝12.【答案】A4．在2x2－1x6的展开式中，中间项是________．【解析】由n＝6知中间一项是第4项，因T4＝C36(2x2)3·－1x3＝C36·(－1)3·23·x3，所以T4＝－160x3.【答案】－160x35．求x3＋23x25的展开式的第三项的系数和常数项．【解】T3＝C25(x3)323x22＝C25·49x5，所以第三项的系数为C25·49＝409.通项Tr＋1＝Cr5(x3)5－r23x2r＝23r·Cr5x15－5r，令15－5r＝0，得r＝3，所以常数项为T4＝C35(x3)223x23＝8027.