2019-2020学年高中数学 第2章 平面解析几何初步 2.3.1 圆的标准方程学案 新人教B版必

-1-2.3.1圆的标准方程学习目标核心素养1．会用定义推导圆的标准方程并掌握圆的标准方程的特征．(重点)2．能根据所给条件求圆的标准方程．(重点)3．掌握点与圆的位置关系．(重点)4．圆的标准方程的求解．(难点)1．通过圆的标准方程及其特征的学习，培养数学抽象的核心素养．2．借助圆的标准方程的求解与应用，提升数学运算的核心素养.1．圆的标准方程(1)以C(a，b)为圆心，r(r0)为半径的圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2.(2)以原点为圆心，r为半径的圆的标准方程为x2＋y2＝r2.2．点与圆的位置关系设点P到圆心的距离为d，圆的半径为r，则点与圆的位置关系对应如下：位置关系点在圆外点在圆上点在圆内d与r的大小关系d＞rd＝rd＜r思考：若点P(x0，y0)在圆C：(x－a)2＋(y－b)2上，需要满足(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2，那么P在圆C内和圆C外又满足怎样的关系？[提示]若点P在圆C内，则有(x0－a)2＋(y0－b)2＜r2.若点P在圆C外，则有(x0－a)2＋(y0－b)2＞r2.1．已知圆的方程是(x－2)2＋(y－3)2＝4，则点P(3,2)()A．是圆心B．在圆上C．在圆内D．在圆外C[圆心M(2,3)，半径r＝2，∵|PM|＝3－22＋2－32＝2＜r，∴点P在圆内．]2．点P(m,5)与圆x2＋y2＝16的位置关系是()A．在圆外B．在圆内C．在圆上D．不确定A[圆心为(0,0)，半径r＝4，P到圆心的距离d＝m2＋25＞4，所以P在圆外．]3．圆(x－2)2＋(y＋3)2＝2的圆心和半径分别是()-2-A．(－2,3)，1B．(2，－3)，3C．(－2,3)，2D．(2，－3)，2D[由圆的标准方程可得圆心坐标为(2，－3)，半径为2.]4．经过原点，圆心在x轴的负半轴上，半径为2的圆的方程是________．(x＋2)2＋y2＝4[圆心是(－2,0)，半径是2，所以圆的方程是(x＋2)2＋y2＝4.]直接法求圆的标准方程【例1】(1)圆心在y轴上，半径为1，且过点(1,2)的圆的方程为()A．x2＋(y－2)2＝1B．x2＋(y＋2)2＝1C．(x－1)2＋(y－3)2＝1D．x2＋(y－3)2＝1(2)已知一圆的圆心为点(2，－3)，一条直径的两个端点分别在x轴和y轴上，则此圆的标准方程是()A．(x－2)2＋(y＋3)2＝13B．(x＋2)2＋(y－3)2＝13C．(x－2)2＋(y＋3)2＝52D．(x＋2)2＋(y－3)2＝52[思路探究](1)设出圆心坐标，利用两点间的距离公式求圆心坐标，再写出圆的标准方程．(2)根据中点坐标公式求出直径两端点坐标，进而求出圆的半径，再写出圆的标准方程．(1)A(2)A[(1)设圆心坐标为(0，b)，则由题意知0－12＋b－22＝1，解得b＝2.故圆的方程为x2＋(y－2)2＝1.(2)设此直径两端点分别为(a,0)，(0，b)，由于圆心坐标为(2，－3)，所以a＝4，b＝－6，所以圆的半径r＝4－22＋0＋32＝13，从而所求圆的方程是(x－2)2＋(y＋3)2＝13.]1．确定圆的标准方程只需确定圆心坐标和半径，因此用直接法求圆的标准方程时，一般先从确定圆的两个要素入手，即首先求出圆心坐标和半径，然后直接写出圆的标准方程．2．确定圆心和半径时，常用到中点坐标公式、两点间距离公式，有时还用到平面几何知识，如“弦的中垂线必过圆心”“过切点与切线垂直的直线必过圆心”等．提醒：当圆与坐标轴相切时要特别注意圆心的坐标与圆的半径的关系．1．以点A(－5,4)为圆心，且与x轴相切的圆的方程是()A．(x＋5)2＋(y－4)2＝25-3-B．(x－5)2＋(y＋4)2＝16C．(x＋5)2＋(y－4)2＝16D．(x－5)2＋(y＋4)2＝25C[因该圆与x轴相切，则圆的半径r等于圆心纵坐标的绝对值，所以圆的方程为(x＋5)2＋(y－4)2＝16.]待定系数法求圆的标准方程【例2】求圆心在直线x－2y－3＝0上，且过点A(2，－3)，B(－2，－5)的圆的标准方程．[思路探究]解答本题可以先根据所给条件确定圆心和半径，再写方程，也可以设出方程用待定系数法求解，也可以利用几何性质求出圆心和半径．[解]法一：设点C为圆心，∵点C在直线：x－2y－3＝0上，∴可设点C的坐标为(2a＋3，a)．又∵该圆经过A，B两点，∴|CA|＝|CB|.∴2a＋3－22＋a＋32＝2a＋3＋22＋a＋52，解得a＝－2.∴圆心坐标为C(－1，－2)，半径r＝10.故所求圆的标准方程为(x＋1)2＋(y＋2)2＝10.法二：设所求圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，由条件知2－a2＋－3－b2＝r2，－2－a2＋－5－b2＝r2，a－2b－3＝0，解得a＝－1，b＝－2，r2＝10.故所求圆的标准方程为(x＋1)2＋(y＋2)2＝10.法三：线段AB的中点为(0，－4)，kAB＝－3－－52－－2＝12，所以弦AB的垂直平分线的斜率k＝－2，所以线段AB的垂直平分线的方程为：y＋4＝－2x，即y＝－2x－4.故圆心是直线y＝－2x－4与直线x－2y－3＝0的交点，由y＝－2x－4，x－2y－3＝0，得-4-x＝－1，y＝－2.即圆心为(－1，－2)，圆的半径为r＝－1－22＋－2＋32＝10，所以所求圆的标准方程为(x＋1)2＋(y＋2)2＝10.1．待定系数法求圆的标准方程的一般步骤设方程((x－a)2＋(y－b)2＝r2)→列方程组(由已知条件，建立关于a、b、r的方程组)→解方程组(解方程组，求出a、b、r)→得方程(将a、b、r代入所设方程，得所求圆的标准方程)．2．充分利用圆的几何性质，可使问题计算简单．2．求圆心在x轴上，且过点A(5,2)和B(3，－2)的圆的标准方程．[解]法一：设圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0)．则b＝0，5－a2＋2－b2＝r2，3－a2＋－2－b2＝r2，解得a＝4，b＝0，r＝5.所以所求圆的方程为(x－4)2＋y2＝5.法二：因为圆过A(5,2)，B(3，－2)两点，所以圆心一定在线段AB的中垂线上．AB中垂线的方程为y＝－12(x－4)，令y＝0，得x＝4.即圆心坐标为C(4,0)，所以r＝|CA|＝5－42＋2－02＝5.所以所求圆的方程为(x－4)2＋y2＝5.与圆有关的最值问题[探究问题]1．若P(x，y)为圆C(x＋1)2＋y2＝14上任意一点，请求出P(x，y)到原点的距离的最大值-5-和最小值．[提示]原点到圆心C(－1,0)的距离d＝1，圆的半径为12，故圆上的点到坐标原点的最大距离为1＋12＝32，最小距离为1－12＝12.2．若P(x，y)是圆C(x－3)2＋y2＝4上任意一点，请求出P(x，y)到直线x－y＋1＝0的距离的最大值和最小值．[提示]P(x，y)是圆C上的任意一点，而圆C的半径为2，圆心C(3,0)，圆心C到直线x－y＋1＝0的距离d＝|3－0＋1|12＋－12＝22，所以点P到直线x－y＋1＝0的距离的最大值为22＋2，最小值为22－2.【例3】已知实数x，y满足方程(x－2)2＋y2＝3.求yx的最大值和最小值．[思路探究]yx的几何意义是圆上的点与原点构成直线的斜率，根据直线与圆相切求得．[解]原方程表示以点(2,0)为圆心，以3为半径的圆，设yx＝k，即y＝kx，当直线y＝kx与圆相切时，斜率k取最大值和最小值，此时|2k－0|k2＋1＝3，解得k＝±3.故yx的最大值为3，最小值为－3.1．在本例条件下，求y－x的最大值和最小值．[解]设y－x＝b，即y＝x＋b，当y＝x＋b与圆相切时，纵截距b取得最大值和最小值，此时|2－0＋b|2＝3，即b＝－2±6.故y－x的最大值为－2＋6，最小值为－2－6.2．在本例条件下，求x2＋y2的最大值和最小值．-6-[解]x2＋y2表示圆上的点与原点距离的平方，由平面几何知识知，它在原点与圆心所在直线与圆的两个交点处取得最大值和最小值，又圆心到原点的距离为2，故(x2＋y2)max＝(2＋3)2＝7＋43，(x2＋y2)min＝(2－3)2＝7－43.与圆有关的最值问题，常见的有以下几种类型：1．形如u＝y－bx－a形式的最值问题，可转化为过点(x，y)和(a，b)的动直线斜率的最值问题．2．形如l＝ax＋by形式的最值问题，可转化为动直线y＝－abx＋lb截距的最值问题．3．形如(x－a)2＋(y－b)2形式的最值问题，可转化为动点(x，y)到定点(a，b)的距离的平方的最值问题．1．本节课的重点是会用定义推导圆的标准方程并掌握圆的标准方程的特征，能根据所给条件求圆的标准方程，掌握点与圆的位置关系．难点是根据所给条件求圆的标准方程．2．本节课要重点掌握的规律方法(1)直接法求圆的标准方程，(2)待定系数法求圆的标准方程，(3)求与圆有关的最值的方法．3．本节课的易错点是求圆的标准方程中易漏解．1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)圆心位置和圆的半径确定，圆就唯一确定．()(2)方程(x－a)2＋(y－b)2＝m2一定表示圆．()(3)圆(x＋2)2＋(y＋3)2＝9的圆心坐标是(2,3)，半径是9.()[答案](1)√(2)×(3)×[提示](1)正确．确定圆的几何要素就是圆心和半径．(2)错误．当m＝0时，不表示圆．(3)错误．圆(x＋2)2＋(y＋3)2＝9的圆心为(－2，－3)，半径为3.-7-2．圆(x－3)2＋(y＋2)2＝13的周长是()A．13πB．213πC．2πD．23πB[因为圆的半径为13，所以圆的周长为213π.]3．点(2a，a－1)在圆x2＋(y－1)2＝5的内部，则a的取值范围是()A．－1＜a＜1B．0＜a＜1C．－1＜a＜15D．－15＜a＜1D[因为(2a，a－1)在圆x2＋(y－1)2＝5的内部，所以4a2＋(a－2)2＜5，解得－15＜a＜1.]4．已知圆M的圆心坐标为(3,4)，且A(－1,1)，B(1,0)，C(－2，3)三点一个在圆M内，一个在圆M上，一个在圆M外，求圆M的方程．[解]∵|MA|＝－1－32＋1－42＝5，|MB|＝1－32＋0－42＝25，|MC|＝－2－32＋3－42＝26，∴|MB|＜|MA|＜|MC|，∴点B在圆M内，点A在圆M上，点C在圆M外，∴圆的半径r＝|MA|＝5，∴圆M的方程为(x－3)2＋(y－4)2＝25.