2019-2020学年高中数学 第2章 平面解析几何初步 2.2.2 直线方程的几种形式学案 新人教

-1-2.2.2直线方程的几种形式学习目标核心素养1．会求直线的点斜式，斜截式，两点式和一般式的方程．(重点)2．掌握确定直线位置的几何要素，掌握直线方程的几种基本形式及它们之间的关系．(重点)3．灵活选用恰当的方式求直线方程．(难点)1．通过直线方程的几种形式的学习，培养数学抽象的核心素养．2．通过直线方程的几种形式适用范围的学习，提升逻辑推理、数学运算的核心素养.直线方程的几种形式形式条件方程应用范围点斜式直线l上一点P(x0，y0)及斜率ky－y0＝k(x－x0)直线l的斜率k存在斜截式直线l的斜率k及在y轴上的截距by＝kx＋b两点式直线l上两点A(x1，y1)，B(x2，y2)y－y1y2－y1＝x－x1x2－x1(x1≠x2，y1≠y2)直线l不与坐标轴平行或重合截距式直线l在x轴，y轴上的截距分别为a和bxa＋yb＝1直线l不与坐标轴平行或重合，且不过原点一般式二元一次方程系数A、B、C的值Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)平面内任何一条直线思考：直线的点斜式、斜截式、两点式，截距式方程均能化为一般式方程吗？[提示]是．1．一条直线不与坐标轴平行或重合，则它的方程()A．可以写成两点式或截距式B．可以写成两点式或斜截式或点斜式C．可以写成点斜式或截距式D．可以写成两点式或截距式或斜截式或点斜式-2-B[由于直线不与坐标轴平行或重合，所以直线的斜率存在，且直线上任意两点的横坐标及纵坐标都不相同，所以直线能写成两点式或斜截式或点斜式．由于直线在坐标轴上的截距有可能为0，所以直线不一定能写成截距式，故选B.]2．已知直线的方程是y＋2＝－x－1，则()A．直线经过点(－1,2)，斜率为－1B．直线经过点(2，－1)，斜率为－1C．直线经过点(－1，－2)，斜率为－1D．直线经过点(－2，－1)，斜率为1C[方程变形为y＋2＝－(x＋1)，∴直线过点(－1，－2)，斜率为－1.]3．过点A(3,2)，B(4,3)的直线方程是()A．x＋y＋1＝0B．x＋y－1＝0C．x－y＋1＝0D．x－y－1＝0D[由直线的两点式方程，得y－23－2＝x－34－3，化简得x－y－1＝0.]4．若方程Ax＋By＋C＝0表示直线，则A、B应满足的条件为________．A2＋B2≠0[由二元一次方程表示直线的条件知A、B至少有一个不为零即A2＋B2≠0.]求直线的点斜式方程【例1】求满足下列条件的直线的点斜式方程．(1)过点P(－4,3)，斜率k＝－3；(2)过点P(3，－4)，且与x轴平行；(3)过P(－2,3)，Q(5，－4)两点．[解](1)∵直线过点P(－4,3)，斜率k＝－3，由直线方程的点斜式得直线方程为y－3＝－3(x＋4)．(2)与x轴平行的直线，其斜率k＝0，由直线方程的点斜式可得直线方程为y－(－4)＝0×(x－3)，即y＋4＝0.(3)过点P(－2,3)，Q(5，－4)的直线的斜率kPQ＝－4－35－－2＝－77＝－1.又∵直线过点P(－2,3)，∴直线的点斜式方程为y－3＝－(x＋2)．-3-求直线的点斜式方程的方法步骤1．求直线的点斜式方程的步骤：定点(x0，y0)→定斜率k→写出方程y－y0＝k(x－x0)．2．点斜式方程y－y0＝k(x－x0)可表示过点P(x0，y0)的所有直线，但x＝x0除外．1．(1)一条直线经过点(2,5)，倾斜角为45°，则这条直线的点斜式方程为________．(2)经过点(－5,2)且平行于y轴的直线方程为________．(3)经过点(2，－3)，倾斜角是直线y＝13x倾斜角的2倍的直线的点斜式方程是________．(1)y－5＝x－2(2)x＝－5(3)y＋3＝3(x－2)[(1)因为倾斜角为45°，所以斜率k＝tan45°＝1，所以直线的方程为y－5＝x－2.(2)因为直线平行于y轴，所以直线不存在斜率，所以方程为x＝－5.(3)因为直线y＝13x的斜率为13，所以倾斜角为30°.所以所求直线的倾斜角为60°，其斜率为3.所以所求直线方程为y＋3＝3(x－2)．]求直线的斜截式方程【例2】根据条件写出下列直线的斜截式方程．(1)斜率为2，在y轴上的截距是5；(2)倾斜角为150°，在y轴上的截距是－2.[思路探究]确定直线的斜率k―→确定直线在y轴上的截距b―→得方程y＝kx＋b[解](1)由直线方程的斜截式可知，所求直线的斜截式方程为y＝2x＋5.(2)∵倾斜角为150°，∴斜率k＝tan150°＝－33.由斜截式可得方程为y＝－33x－2.1．用斜截式求直线方程，只要确定直线的斜率和截距即可，要特别注意截距和距离的区-4-别．2．直线的斜截式方程y＝kx＋b不仅形式简单，而且特点明显，k是直线的斜率，b是直线在y轴上的截距，只要确定了k和b的值，直线的图象就一目了然．因此，在解决直线的图象问题时，常通过把直线方程化为斜截式方程，利用k，b的几何意义进行判断．2．(1)写出直线斜率为－1，在y轴上截距为－2的直线的斜截式方程；(2)求过点A(6，－4)，斜率为－43的直线的斜截式方程；(3)已知直线l的方程为2x＋y－1＝0，求直线的斜率，在y轴上的截距以及与y轴交点的坐标．[解](1)易知k＝－1，b＝－2，故直线的斜截式方程为y＝－x－2.(2)由于直线的斜率k＝－43，且过点A(6，－4)，根据直线的点斜式方程得直线方程为y＋4＝－43(x－6)，化成斜截式为y＝－43x＋4.(3)直线方程2x＋y－1＝0可化为y＝－2x＋1，由直线的斜截式方程知：直线的斜率k＝－2，在y轴上的截距b＝1，直线与y轴交点的坐标为(0,1)．直线的两点式方程【例3】在△ABC中，A(－3,2)，B(5，－4)，C(0，－2)，(1)求BC所在直线的方程；(2)求BC边上的中线所在直线的方程．[思路探究](1)由两点式直接求BC所在直线的方程；(2)先求出BC的中点，再由两点式求直线方程．[解](1)∵BC边过两点B(5，－4)，C(0，－2)，∴由两点式得y－－4－2－－4＝x－50－5，即2x＋5y＋10＝0.故BC所在直线的方程为2x＋5y＋10＝0.(2)设BC的中点为M(x0，y0)，则x0＝5＋02＝52，-5-y0＝－4＋－22＝－3.∴M52，－3，又BC边上的中线经过点A(－3,2)．∴由两点式得y－2－3－2＝x－－352－－3，即10x＋11y＋8＝0.故BC边上的中线所在直线的方程为10x＋11y＋8＝0.1．由两点式求直线方程的步骤(1)设出直线所经过点的坐标．(2)根据题中的条件，找到有关方程，解出点的坐标．(3)由直线的两点式方程写出直线的方程．2．求直线的两点式方程的策略以及注意点当已知两点坐标，求过这两点的直线方程时，首先要判断是否满足两点式方程的适用条件：两点的连线不平行于坐标轴，若满足，则考虑用两点式求方程．3．求过定点P(2,3)且在两坐标轴上的截距相等的直线l的方程．[解]设直线的两截距都是a，则有①当a＝0时，直线为y＝kx，将P(2,3)代入得k＝32，∴l：3x－2y＝0；②当a≠0时，直线设为xa＋ya＝1，即x＋y＝a，把P(2,3)代入得a＝5，∴l：x＋y＝5.∴直线l的方程为3x－2y＝0或x＋y－5＝0.直线的一般式方程[探究问题]1．平面直角坐标系中的每一条直线都可以用一个关于x，y的二元一次方程表示吗？为-6-什么？[提示]都可以，原因如下：(1)直线和y轴相交于点(0，b)时：此时倾斜角α≠π2，直线的斜率k存在．直线可表示成y＝kx＋b，可转化为kx＋(－1)y＋b＝0，这是关于x，y的二元一次方程．(2)直线和y轴平行(包含重合)时：此时倾斜角a＝π2，直线的斜率k不存在，不能用y＝kx＋b表示，而只能表示成x－a＝0，它可以认为是关于x，y的二元一次方程，此时方程中y的系数为0.2．每一个关于x，y的二元一次方程Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为零)都能表示一条直线吗？为什么？[提示]能表示一条直线，原因如下：当B≠0时，方程Ax＋By＋C＝0可变形为y＝－ABx－CB，它表示过点0，－CB，斜率为－AB的直线．当B＝0时，方程Ax＋By＋C＝0变成Ax＋C＝0.即x＝－CA，它表示与y轴平行或重合的一条直线．【例4】设直线l的方程为(a－1)x＋y－2－a＝0(a∈R)．若直线l不过第三象限，则a的取值范围为________．[思路探究]含有参数的一般式直线方程问题⇒化为直线方程的相应形式，根据实际情况求解．[1，＋∞)[把直线l化成斜截式，得y＝(1－a)x＋a＋2，因为直线l不过第三象限，故该直线的斜率小于等于零，且直线在y轴上的截距大于等于零．即1－a≤0，a＋2≥0，解得a≥1.所以a的取值范围为[1，＋∞)．]1．例题中若将方程改为“x＋(a－1)y－2－a＝0(a∈R)”，其他条件不变，又如何求解？[1，＋∞)[(1)当a－1＝0，即a＝1时，直线为x＝3，该直线不过第三象限，符合．(2)当a－1≠0，即a≠1时，直线化为斜截式方程为y＝11－ax－2＋a1－a，因为直线l不过第三象限，故该直线的斜率小于等于零，且直线在y轴上的截距大于等于零．-7-即11－a≤0，－2＋a1－a≥0，解得a＞1.由(1)(2)可知a≥1.]2．若例题中的方程不变，当a取何值时，直线不过第二象限？(－∞，－2][把直线l化成斜截式，得y＝(1－a)x＋a＋2，因为直线l不过第二象限，故该直线的斜率大于等于零，且直线在y轴上的截距小于等于零．即1－a≥0，a＋2≤0，解得a≤－2.所以a的取值范围为(－∞，－2]．]直线恒过定点的求解策略1．将方程化为点斜式，求得定点的坐标．2．将方程变形，把x，y作为参数的系数，因为此式子对任意的参数的值都成立，故需系数为零，解方程组可得x，y的值，即为直线过的定点．1．本节课的重点是了解直线方程的五种形式，难点是根据条件求直线的方程并能在几种形式间相互转化．2．本节课要重点掌握的规律方法(1)求点斜式方程与斜截式方程的方法．(2)求截距式方程与两点式方程的方法．(3)求一般式方程的方法．3．本节课的易错点是利用斜截式方程求参数时漏掉斜率不存在的情况．1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)直线y－3＝m(x＋1)恒过定点(－1,3)．()(2)直线y＝2x＋3在y轴上的截距为3.()(3)斜率不存在的直线能用两点式方程表示．()(4)经过任意两个不同的点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直线都可以用方程(y－y1)(x2－x1)＝(x－x1)(y2－y1)表示．()-8-[答案](1)√(2)√(3)×(4)√[提示](1)由点斜式方程的形式知正确．(2)由斜截式方程的形式知正确．(3)两点式方程不能表示与坐标轴平行或重合的直线，错误．(4)正确．2．直线3x－2y＝4的截距式方程是()A．3x4－y2＝1B．x13－y12＝4C．3x4－y－2＝1D．x43＋y－2＝1D[求直线方程的截距式，必须把方程化为xa＋yb＝1的形式，即右边为1，左边是和的形式．]3．(1)若直线l经过点A(2，－1)，B(2,7)，则直线l的方程为________；(2)若点P(3，m)在过点A(2，－1)，B(－3,4)的直线上，则m＝________.(1)x＝2(2)－2[(1)由于点A与点B的横坐标相等，所以直线l没有两点式方程，所求的直线方程为x＝2.(2)由两点式方程得，过A，B两点的直线方程为y－－14－－1＝x－2－3－2，即x＋y－1＝0.又点P(3，m)在直线AB上，所以3＋m－1＝0，得m＝－2.]4．设直线l的方程为2x＋(k－3)y－2k＋6＝0(k≠3)，根据下列条件分别确定k的值：(1)直线l的斜率为－1.(2)直线l在x轴，y轴上的截距之和等于0.[解](1)因为直线l的斜率存在，所以直线l的方程可化为y＝－2k－3x＋2.由题意得－2k－3＝